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20. (10 分)某公司将一批衬衫分配给甲、乙两家分店共同销售,因地段不同,甲店一天可售出 20 件,每件盈利 40 元,乙店一天可售出 32 件,每件盈利 30 元. 经调查发现,每件衬衫每降价 1 元,甲、乙两家店一天都可多售出 2 件. 设甲店每件衬衫降价 $ a $ 元,一天可盈利 $ y_{1} $ 元,乙店每件衬衫降价 $ b $ 元,一天可盈利 $ y_{2} $ 元.
(1)当 $ a = 5 $ 时,求 $ y_{1} $ 的值.
(2)求 $ y_{2} $ 关于 $ b $ 的函数表达式.
(3)若某公司规定两家分店下降的价格必须相同,问：当每件衬衫降价多少元时,两家分店一天的盈利和最大？最大是多少元？
(1)当 $ a = 5 $ 时,求 $ y_{1} $ 的值.
(2)求 $ y_{2} $ 关于 $ b $ 的函数表达式.
(3)若某公司规定两家分店下降的价格必须相同,问：当每件衬衫降价多少元时,两家分店一天的盈利和最大？最大是多少元？
答案
(1) 当 $ a = 5 $ 时，甲店每件盈利 $ 40 - 5 = 35 $ 元，销售量为 $ 20 + 2 × 5 = 30 $ 件，故 $ y_1 = 35 × 30 = 1050 $。
(2) 乙店每件盈利 $ (30 - b) $ 元，销售量为 $ (32 + 2b) $ 件，因此 $ y_2 = (30 - b)(32 + 2b) $，展开化简得 $ y_2 = -2b^2 + 28b + 960 $。
(3) 设两家分店降价均为 $ x $ 元，总盈利 $ Y = y_1 + y_2 $。
甲店盈利 $ y_1 = (40 - x)(20 + 2x) = -2x^2 + 60x + 800 $，
乙店盈利 $ y_2 = (30 - x)(32 + 2x) = -2x^2 + 28x + 960 $，
总盈利 $ Y = (-2x^2 + 60x + 800) + (-2x^2 + 28x + 960) = -4x^2 + 88x + 1760 $。
二次函数 $ Y = -4x^2 + 88x + 1760 $ 开口向下，对称轴 $ x = -\frac{88}{2 × (-4)} = 11 $。
当 $ x = 11 $ 时，$ Y_{max} = -4 × 11^2 + 88 × 11 + 1760 = 2244 $。
答：当每件衬衫降价 11 元时，盈利和最大，最大为 2244 元。
(1) 1050
(2) $ y_2 = -2b^2 + 28b + 960 $
(3) 降价 11 元，最大盈利 2244 元。
(2) 乙店每件盈利 $ (30 - b) $ 元，销售量为 $ (32 + 2b) $ 件，因此 $ y_2 = (30 - b)(32 + 2b) $，展开化简得 $ y_2 = -2b^2 + 28b + 960 $。
(3) 设两家分店降价均为 $ x $ 元，总盈利 $ Y = y_1 + y_2 $。
甲店盈利 $ y_1 = (40 - x)(20 + 2x) = -2x^2 + 60x + 800 $，
乙店盈利 $ y_2 = (30 - x)(32 + 2x) = -2x^2 + 28x + 960 $，
总盈利 $ Y = (-2x^2 + 60x + 800) + (-2x^2 + 28x + 960) = -4x^2 + 88x + 1760 $。
二次函数 $ Y = -4x^2 + 88x + 1760 $ 开口向下，对称轴 $ x = -\frac{88}{2 × (-4)} = 11 $。
当 $ x = 11 $ 时，$ Y_{max} = -4 × 11^2 + 88 × 11 + 1760 = 2244 $。
答：当每件衬衫降价 11 元时，盈利和最大，最大为 2244 元。
(1) 1050
(2) $ y_2 = -2b^2 + 28b + 960 $
(3) 降价 11 元，最大盈利 2244 元。
21. (10 分)如图,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于 $ C $ 点,顶点为 $ D $,其中点 $ A $,$ C $ 的坐标分别是 $ (-1, 0) $,$ (0, 3) $.
(1)求抛物线的表达式与顶点 $ D $ 的坐标；
(2)连接 $ BD $,过点 $ O $ 作 $ OE \perp BD $ 于点 $ E $,求 $ OE $ 的长.
(1)求抛物线的表达式与顶点 $ D $ 的坐标；
(2)连接 $ BD $,过点 $ O $ 作 $ OE \perp BD $ 于点 $ E $,求 $ OE $ 的长.
答案
(1)将$A(-1,0)$，$C(0,3)$代入$y = -x^{2} + bx + c$，
得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$
所以抛物线表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$。
因为$y = -x^{2} + 2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，
所以顶点$D$的坐标为$(1,4)$。
(2)令$y = 0$，则$-x^{2} + 2x + 3 = 0$，
即$x^{2}-2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2=-1$，
所以$B(3,0)$。
已知$D(1,4)$，$B(3,0)$，
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，
可得$BD=\sqrt{(3 - 1)^2+(0 - 4)^2}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$。
设直线$BD$的表达式为$y = kx + m$，
把$B(3,0)$，$D(1,4)$代入得$\begin{cases}3k + m = 0\\k + m = 4\end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，$k = -2$，
把$k = -2$代入$k + m = 4$得$m = 6$，
所以直线$BD$的表达式为$y=-2x + 6$。
因为$O(0,0)$，$B(3,0)$，
所以$OB = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}OB\cdot|y_D|=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，
又因为$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}BD\cdot OE$，
即$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}\cdot OE = 6$，
解得$OE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
综上，答案为：(1)抛物线表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$，$D(1,4)$；(2)$OE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
得$\begin{cases}-1 - b + c = 0\\c = 3\end{cases}$
解得$\begin{cases}b = 2\\c = 3\end{cases}$
所以抛物线表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$。
因为$y = -x^{2} + 2x + 3=-(x - 1)^{2}+4$，
所以顶点$D$的坐标为$(1,4)$。
(2)令$y = 0$，则$-x^{2} + 2x + 3 = 0$，
即$x^{2}-2x - 3 = 0$，
因式分解得$(x - 3)(x + 1)=0$，
解得$x_1 = 3$，$x_2=-1$，
所以$B(3,0)$。
已知$D(1,4)$，$B(3,0)$，
根据两点间距离公式$d=\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}$，
可得$BD=\sqrt{(3 - 1)^2+(0 - 4)^2}=\sqrt{4 + 16}=2\sqrt{5}$。
设直线$BD$的表达式为$y = kx + m$，
把$B(3,0)$，$D(1,4)$代入得$\begin{cases}3k + m = 0\\k + m = 4\end{cases}$
两式相减得$2k=-4$，$k = -2$，
把$k = -2$代入$k + m = 4$得$m = 6$，
所以直线$BD$的表达式为$y=-2x + 6$。
因为$O(0,0)$，$B(3,0)$，
所以$OB = 3$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，
$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}OB\cdot|y_D|=\frac{1}{2}×3×4 = 6$，
又因为$S_{\triangle OBD}=\frac{1}{2}BD\cdot OE$，
即$\frac{1}{2}×2\sqrt{5}\cdot OE = 6$，
解得$OE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
综上，答案为：(1)抛物线表达式为$y = -x^{2} + 2x + 3$，$D(1,4)$；(2)$OE=\frac{6\sqrt{5}}{5}$。
