24. （14 分）如图，点 $ P $ 为函数 $ y = \frac{1}{2}x + 1 $ 与函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 图象的交点，点 $ P $ 的纵坐标为 4，$ PB \perp x $ 轴，垂足为点 $ B $.
（1）求 $ m $ 的值；
（2）点 $ M $ 是函数 $ y = \frac{m}{x}(x ＞ 0) $ 图象上一动点，过点 $ M $ 作 $ MD \perp BP $ 于点 $ D $.若 $ \tan \angle PMD = \frac{1}{2} $，求点 $ M $ 的坐标.

（1）$m=24$；（2）$M(8,3)$。

（1）∵点P在函数$y=\frac{1}{2}x + 1$上，且纵坐标为4，
∴$4=\frac{1}{2}x + 1$，解得$x=6$，∴$P(6,4)$。
∵点P在$y=\frac{m}{x}$上，∴$4=\frac{m}{6}$，解得$m=24$。
（2）设$M(a,\frac{24}{a})$，$a＞0$，$PB$为$x=6$，则$D(6,\frac{24}{a})$。
$MD=|a - 6|$，$PD=|4 - \frac{24}{a}|$，$∠PMD$在$Rt\triangle PMD$中，$\tan∠PMD=\frac{PD}{MD}=\frac{1}{2}$。
当$a＞6$时，$MD=a - 6$，$PD=4 - \frac{24}{a}$，
$\frac{4 - \frac{24}{a}}{a - 6}=\frac{1}{2}$，化简得$\frac{4(a - 6)}{a(a - 6)}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{a}=\frac{1}{2}$，$a=8$，
∴$M(8,3)$。
当$a＜6$时，$MD=6 - a$，$PD=\frac{24}{a} - 4$，
$\frac{\frac{24}{a} - 4}{6 - a}=\frac{1}{2}$，化简得$\frac{4(6 - a)}{a(6 - a)}=\frac{1}{2}$，$\frac{4}{a}=\frac{1}{2}$，$a=8$（舍去）。
综上，$M(8,3)$。