25. (12 分)如图,一次函数 $ y = -\frac{1}{2}x + 2 $ 分别交 $ y $ 轴、 $ x $ 轴于 $ A $, $ B $ 两点,抛物线 $ y = -x^{2} + bx + c $ 过 $ A $, $ B $ 两点.
(1) 求这个抛物线的表达式.
(2) 作垂直于 $ x $ 轴的直线 $ x = t $,在第一象限交直线 $ AB $ 于点 $ M $,交抛物线于点 $ N $,当 $ t $ 取何值时, $ MN $ 有最大值? 最大值是多少?
(3) 在(2)的情况下,以 $ A $, $ M $, $ N $, $ D $ 为顶点作平行四边形,求顶点 $ D $ 的坐标.

(1)$y=-x^2+\frac{7}{2}x+2$；(2)$t=2$，最大值$4$；(3)$(4,4)$，$(0,6)$，$(0,-2)$。

(1) 对于一次函数$y=-\frac{1}{2}x+2$，令$x=0$，得$y=2$，则$A(0,2)$；令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+2$，解得$x=4$，则$B(4,0)$。
将$A(0,2)$代入抛物线$y=-x^2+bx+c$，得$c=2$。
将$B(4,0)$，$c=2$代入，得$0=-16+4b+2$，解得$b=\frac{7}{2}$。
故抛物线表达式为$y=-x^2+\frac{7}{2}x+2$。
(2) 直线$x=t$交$AB$于$M$，交抛物线于$N$。
$M(t,-\frac{1}{2}t+2)$，$N(t,-t^2+\frac{7}{2}t+2)$。
$MN=(-t^2+\frac{7}{2}t+2)-(-\frac{1}{2}t+2)=-t^2+4t$。
$MN=-t^2+4t=-(t-2)^2+4$，当$t=2$时，$MN$最大值为$4$。
(3) 由(2)知$t=2$，则$M(2,1)$，$N(2,5)$，$A(0,2)$。设$D(x,y)$。
① 以$AM$，$AN$为邻边：$D=M+N-A=(2+2-0,1+5-2)=(4,4)$。
② 以$AM$，$MN$为邻边：$D=A+N-M=(0+2-2,2+5-1)=(0,6)$。
③ 以$AN$，$MN$为邻边：$D=A+M-N=(0+2-2,2+1-5)=(0,-2)$。
故$D$的坐标为$(4,4)$或$(0,6)$或$(0,-2)$。