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6. 有一个数字游戏,其规则是：对一个“数列”中任意相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得的差写在这两个数之间,产生一个新“数列”,这称为一次操作。例如：对于数列1,3,5,第1次操作后产生的新数列为1,2,3,2,5；第2次操作后产生的新数列为1,1,2,1,3,-1,2,3,5。对数列3,1,5也进行这样的操作,第20次操作后所产生的新数列中所有的数字的和是
49
。答案
49
解析
初始数列3,1,5，和S₀=3+1+5=9。每次操作新增数的和为末项减首项，即5-3=2。第n次操作后和Sₙ=S₀+2n。第20次操作后和S₂₀=9+2×20=49。
7. “回文诗”即正读倒读都有意思,均成文章的诗,如“云边月影沙边雁,水外天光山外树”,倒过来念即“树外山光天外水,雁边沙影月边云”,其意境与韵味读起来都是一种美的享受。在数学中也有这样一类数有这样的特征,即正读倒读都一样的自然数,我们称之为“回文数”。例如4,11,343等。
(1)请写出一个四位数的“回文数”：
(2)试说明任意四位数的“回文数”是11的倍数。
(1)请写出一个四位数的“回文数”：
1221（答案不唯一，如1331、2002等均可）
；(2)试说明任意四位数的“回文数”是11的倍数。
设任意四位数的回文数的千位数字为$a$（$a$为1 - 9的整数），百位数字为$b$（$b$为0 - 9的整数），则该回文数的十位数字为$b$，个位数字为$a$。
此四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10b + a$
化简得：
$1001a + 110b$
$=11×91a + 11×10b$
$=11(91a + 10b)$
因为$a$、$b$为整数，所以$91a + 10b$为整数，
故该四位数是11的倍数。
此四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10b + a$
化简得：
$1001a + 110b$
$=11×91a + 11×10b$
$=11(91a + 10b)$
因为$a$、$b$为整数，所以$91a + 10b$为整数，
故该四位数是11的倍数。
答案
(1)1221（答案不唯一，如1331、2002等均可）
(2)设任意四位数的回文数的千位数字为$a$（$a$为1 - 9的整数），百位数字为$b$（$b$为0 - 9的整数），则该回文数的十位数字为$b$，个位数字为$a$。
此四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10b + a$
化简得：
$1001a + 110b$
$=11×91a + 11×10b$
$=11(91a + 10b)$
因为$a$、$b$为整数，所以$91a + 10b$为整数，
故该四位数是11的倍数。
(2)设任意四位数的回文数的千位数字为$a$（$a$为1 - 9的整数），百位数字为$b$（$b$为0 - 9的整数），则该回文数的十位数字为$b$，个位数字为$a$。
此四位数可表示为：
$1000a + 100b + 10b + a$
化简得：
$1001a + 110b$
$=11×91a + 11×10b$
$=11(91a + 10b)$
因为$a$、$b$为整数，所以$91a + 10b$为整数，
故该四位数是11的倍数。
