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1. 对于二次函数 $ y = - 5 x ^ { 2 } + 6 x - 1 $,下列说法中正确的是(
A.有最小值 $ 0.8 $
B.有最大值 $ 0.8 $
C.有最小值 $ - 2.8 $
D.有最大值 $ - 2.8 $
B
)A.有最小值 $ 0.8 $
B.有最大值 $ 0.8 $
C.有最小值 $ - 2.8 $
D.有最大值 $ - 2.8 $
答案
B
解析
对于二次函数 $y = -5x^2 + 6x - 1$，其二次项系数 $a = -5 ＜ 0$，所以该二次函数有最大值。
根据二次函数的顶点公式，顶点的 $x$ 坐标为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 × (-5)} = 0.6$。
将 $x = 0.6$ 代入原函数，得到顶点的 $y$ 坐标：
$y = -5 × (0.6)^2 + 6 × 0.6 - 1 = -5 × 0.36 + 3.6 - 1 = -1.8 + 3.6 - 1 = 0.8$。
因此，该二次函数有最大值 $0.8$。
根据二次函数的顶点公式，顶点的 $x$ 坐标为 $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 × (-5)} = 0.6$。
将 $x = 0.6$ 代入原函数，得到顶点的 $y$ 坐标：
$y = -5 × (0.6)^2 + 6 × 0.6 - 1 = -5 × 0.36 + 3.6 - 1 = -1.8 + 3.6 - 1 = 0.8$。
因此，该二次函数有最大值 $0.8$。
2. 某公司准备修建一个长方体的污水处理池,池底矩形的周长为 $ 100 \mathrm { m } $,则池底的最大面积是(
A.$ 600 \mathrm { m } ^ { 2 } $
B.$ 625 \mathrm { m } ^ { 2 } $
C.$ 650 \mathrm { m } ^ { 2 } $
D.$ 675 \mathrm { m } ^ { 2 } $
B
)A.$ 600 \mathrm { m } ^ { 2 } $
B.$ 625 \mathrm { m } ^ { 2 } $
C.$ 650 \mathrm { m } ^ { 2 } $
D.$ 675 \mathrm { m } ^ { 2 } $
答案
B
解析
设池底矩形的一边长为 $x$ 米，则另一边长为 $50 - x$ 米（因为周长为 $100$ 米，所以两邻边之和为 $50$ 米）。
池底的面积 $S$ 可表示为：
$S = x(50 - x) = -x^2 + 50x$
这是一个关于 $x$ 的二次函数，且二次项系数为负，因此函数有最大值。
最大值出现在对称轴上，即 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-50}{2 × (-1)} = 25$。
将 $x = 25$ 代入 $S$ 的表达式，得到最大面积为：
$S = -25^2 + 50 × 25 = 625 m^2$
池底的面积 $S$ 可表示为：
$S = x(50 - x) = -x^2 + 50x$
这是一个关于 $x$ 的二次函数，且二次项系数为负，因此函数有最大值。
最大值出现在对称轴上，即 $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-50}{2 × (-1)} = 25$。
将 $x = 25$ 代入 $S$ 的表达式，得到最大面积为：
$S = -25^2 + 50 × 25 = 625 m^2$
3. 二次函数 $ y = - \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + 4 x - 1 $,当 $ x = $
3
时,取到最大值.答案
3
解析
对于二次函数$y=ax^{2}+bx+c$（$a\neq0$），其对称轴公式为$x = -\frac{b}{2a}$，当$a\lt0$时，函数在对称轴处取得最大值。
在二次函数$y = -\frac{2}{3}x^{2}+4x - 1$中，$a=-\frac{2}{3}$，$b = 4$，将其代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$x=-\frac{4}{2×(-\frac{2}{3})}=-\frac{4}{-\frac{4}{3}} = 3$
即当$x = 3$时，函数取到最大值。
在二次函数$y = -\frac{2}{3}x^{2}+4x - 1$中，$a=-\frac{2}{3}$，$b = 4$，将其代入对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$可得：
$x=-\frac{4}{2×(-\frac{2}{3})}=-\frac{4}{-\frac{4}{3}} = 3$
即当$x = 3$时，函数取到最大值。
4. 某学生推铅球,铅球飞行的高度 $ y ( \mathrm { m } ) $ 与水平距离 $ x ( \mathrm { m } ) $ 之间的函数表达式是 $ y = - \frac { 1 } { 32 } x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 16 } x + \frac { 3 } { 2 } $,则铅球落地的水平距离为
8
$ \mathrm { m } $.答案
8
解析
铅球落地时高度$y=0$，令$-\frac{1}{32}x^2 + \frac{1}{16}x + \frac{3}{2}=0$，两边同乘32得$-x^2 + 2x + 48=0$，即$x^2 - 2x - 48=0$，因式分解得$(x - 8)(x + 6)=0$，解得$x_1=8$，$x_2=-6$（舍去），故铅球落地的水平距离为8m。
5. 已知当 $ x = 3 $ 时,二次函数有最大值 $ - 1 $,且图象与 $ y $ 轴交于点 $ ( 0, - 4 ) $,求该二次函数的表达式.
答案
设二次函数的表达式为$y=a(x-h)^2+k$。
因为当$x = 3$时，二次函数有最大值$-1$，所以顶点坐标为$(3,-1)$，即$h=3$，$k=-1$，函数表达式为$y=a(x - 3)^2 - 1$。
又因为图象与$y$轴交于点$(0,-4)$，将$x=0$，$y=-4$代入表达式得：
$-4=a(0 - 3)^2 - 1$
$-4 = 9a - 1$
$9a = -3$
$a=-\dfrac{1}{3}$
所以二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 - 1$，展开得$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x - 4$。
结论：该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x - 4$。
因为当$x = 3$时，二次函数有最大值$-1$，所以顶点坐标为$(3,-1)$，即$h=3$，$k=-1$，函数表达式为$y=a(x - 3)^2 - 1$。
又因为图象与$y$轴交于点$(0,-4)$，将$x=0$，$y=-4$代入表达式得：
$-4=a(0 - 3)^2 - 1$
$-4 = 9a - 1$
$9a = -3$
$a=-\dfrac{1}{3}$
所以二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}(x - 3)^2 - 1$，展开得$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x - 4$。
结论：该二次函数的表达式为$y=-\dfrac{1}{3}x^2 + 2x - 4$。
6. 已知二次函数的图象 $ ( 0 \leqslant x \leqslant 3 ) $ 如图所示,该函数在所给自变量取值范围内,下列说法正确的是(
A.有最小值 $ 0 $,有最大值 $ 3 $
B.有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 0 $
C.有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 3 $
D.有最小值 $ - 1 $,无最大值
C
)A.有最小值 $ 0 $,有最大值 $ 3 $
B.有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 0 $
C.有最小值 $ - 1 $,有最大值 $ 3 $
D.有最小值 $ - 1 $,无最大值
答案
C
解析
由图可知，二次函数在$0 \leqslant x \leqslant 3$范围内，顶点坐标为$(1,-1)$，此为最小值点，最小值为$-1$；当$x=3$时，函数值为$3$，为该区间内最大值。
