2. 二次函数$y=x^{2}-4x$、$y=x^{2}-4x+4$、$y=x^{2}-4x+5$的图像如图所示.根据图像判断一元二次方程$x^{2}-4x=0$、$x^{2}-4x+4=0$、$x^{2}-4x+5=0$根的情况,并解方程验证.
答案
解：
1. 对于方程$x^{2}-4x=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x$的图像与x轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根。
解方程：
$x(x-4)=0$
得$x_1=0$，$x_2=4$。
2. 对于方程$x^{2}-4x+4=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x+4$的图像与x轴有一个交点，故方程有两个相等的实数根。
解方程：
$(x-2)^2=0$
得$x_1=x_2=2$。
3. 对于方程$x^{2}-4x+5=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x+5$的图像与x轴没有交点，故方程没有实数根。
验证：
$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，
所以该方程没有实数根。
1. 对于方程$x^{2}-4x=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x$的图像与x轴有两个交点，故方程有两个不相等的实数根。
解方程：
$x(x-4)=0$
得$x_1=0$，$x_2=4$。
2. 对于方程$x^{2}-4x+4=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x+4$的图像与x轴有一个交点，故方程有两个相等的实数根。
解方程：
$(x-2)^2=0$
得$x_1=x_2=2$。
3. 对于方程$x^{2}-4x+5=0$：
根据图像，二次函数$y=x^{2}-4x+5$的图像与x轴没有交点，故方程没有实数根。
验证：
$\Delta=(-4)^2-4×1×5=16-20=-4＜0$，
所以该方程没有实数根。
3. 分别求下列函数的图像与x轴的交点坐标,并画出图像加以验证.
(1) $y=x^{2}-3x-4$; (2) $y=2x^{2}+x-6$.
(1) $y=x^{2}-3x-4$; (2) $y=2x^{2}+x-6$.
答案
解：
(1) 令$y=0$，则$x^{2}-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$，
∴函数$y=x^{2}-3x-4$的图像与x轴的交点坐标为$(4,0)$，$(-1,0)$。
画图验证：画出该二次函数的图像，可观察到图像与x轴的交点为$(4,0)$和$(-1,0)$，与所求坐标一致。
(2) 令$y=0$，则$2x^{2}+x-6=0$，
因式分解得$(2x-3)(x+2)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$，
∴函数$y=2x^{2}+x-6$的图像与x轴的交点坐标为$(\frac{3}{2},0)$，$(-2,0)$。
画图验证：画出该二次函数的图像，可观察到图像与x轴的交点为$(\frac{3}{2},0)$和$(-2,0)$，与所求坐标一致。
(1) 令$y=0$，则$x^{2}-3x-4=0$，
因式分解得$(x-4)(x+1)=0$，
解得$x_1=4$，$x_2=-1$，
∴函数$y=x^{2}-3x-4$的图像与x轴的交点坐标为$(4,0)$，$(-1,0)$。
画图验证：画出该二次函数的图像，可观察到图像与x轴的交点为$(4,0)$和$(-1,0)$，与所求坐标一致。
(2) 令$y=0$，则$2x^{2}+x-6=0$，
因式分解得$(2x-3)(x+2)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-2$，
∴函数$y=2x^{2}+x-6$的图像与x轴的交点坐标为$(\frac{3}{2},0)$，$(-2,0)$。
画图验证：画出该二次函数的图像，可观察到图像与x轴的交点为$(\frac{3}{2},0)$和$(-2,0)$，与所求坐标一致。
4. 试说明一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$与二次函数$y=x^{2}-2x-3$的关系.
答案
解：
1. 当二次函数$y=x^{2}-2x-3$的函数值$y=0$时，对应的方程为$x^{2}-2x-3=0$，即一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$是二次函数$y=x^{2}-2x-3$中函数值为0时所得的方程。
2. 解方程$x^{2}-2x-3=0$：
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
3. 二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图像是抛物线，其与x轴的交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)$，这两个交点的横坐标即为一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的两个根。
综上，一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的解是二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图像与x轴交点的横坐标；当二次函数$y=x^{2}-2x-3$的函数值为0时，自变量$x$的取值就是一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的解。
1. 当二次函数$y=x^{2}-2x-3$的函数值$y=0$时，对应的方程为$x^{2}-2x-3=0$，即一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$是二次函数$y=x^{2}-2x-3$中函数值为0时所得的方程。
2. 解方程$x^{2}-2x-3=0$：
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$。
3. 二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图像是抛物线，其与x轴的交点坐标为$(3,0)$和$(-1,0)$，这两个交点的横坐标即为一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的两个根。
综上，一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的解是二次函数$y=x^{2}-2x-3$的图像与x轴交点的横坐标；当二次函数$y=x^{2}-2x-3$的函数值为0时，自变量$x$的取值就是一元二次方程$x^{2}-2x-3=0$的解。
5. 如图,某矩形相框长为26 cm,宽为20 cm,其四周相框边的宽度相同,都是x cm,相框内部的面积为$y\ \mathrm{cm}^{2}$.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)已知相框内部的面积为$280\ \mathrm{cm}^{2}$,求相框边的宽度.
(1)写出y与x之间的函数表达式;
(2)已知相框内部的面积为$280\ \mathrm{cm}^{2}$,求相框边的宽度.
答案
解：(1) 内部矩形的长为$(26-2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(20-2x)\ \mathrm{cm}$，
则$y=(26-2x)(20-2x)$，
展开整理得：$y=4x^2-92x+520$，其中$0＜x＜10$。
(2) 当$y=280$时，代入函数表达式得：
$4x^2-92x+520=280$，
整理得：$x^2-23x+60=0$，
因式分解得：$(x-20)(x-3)=0$，
解得：$x_1=20$，$x_2=3$。
因为$0＜x＜10$，所以$x=20$不符合题意，舍去。
答：相框边的宽度为3 cm。
则$y=(26-2x)(20-2x)$，
展开整理得：$y=4x^2-92x+520$，其中$0＜x＜10$。
(2) 当$y=280$时，代入函数表达式得：
$4x^2-92x+520=280$，
整理得：$x^2-23x+60=0$，
因式分解得：$(x-20)(x-3)=0$，
解得：$x_1=20$，$x_2=3$。
因为$0＜x＜10$，所以$x=20$不符合题意，舍去。
答：相框边的宽度为3 cm。
6. 二次函数$y=ax^{2}+bx+c(a≠ 0)$的图像如图所示,根据图像解答下列问题:
(1)写出方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根;
(2)写出不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(4)若方程$ax^{2}+bx+c=k$有两个不相等的实数根,根据图像写出k的取值范围.
(1)写出方程$ax^{2}+bx+c=0$的两个根;
(2)写出不等式$ax^{2}+bx+c＞0$的解集;
(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围;
(4)若方程$ax^{2}+bx+c=k$有两个不相等的实数根,根据图像写出k的取值范围.
答案
解：
(1) 由图像可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，
所以方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由图像可知，当$1＜x＜3$时，二次函数的图像在x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，
所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$1＜x＜3$。
(3) 由图像可知，抛物线的对称轴为直线$x=2$，且抛物线开口向下，
所以当$x≥2$时，y随x的增大而减小。
(4) 由图像可知，二次函数的顶点纵坐标为2，
当直线$y=k$与抛物线$y=ax^2+bx+c$有两个不相等的交点时，$k＜2$，
即方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根时，k的取值范围是$k＜2$。
(1) 由图像可知，二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像与x轴交于点$(1,0)$和$(3,0)$，
所以方程$ax^2+bx+c=0$的两个根为$x_1=1$，$x_2=3$。
(2) 由图像可知，当$1＜x＜3$时，二次函数的图像在x轴上方，即$ax^2+bx+c＞0$，
所以不等式$ax^2+bx+c＞0$的解集为$1＜x＜3$。
(3) 由图像可知，抛物线的对称轴为直线$x=2$，且抛物线开口向下，
所以当$x≥2$时，y随x的增大而减小。
(4) 由图像可知，二次函数的顶点纵坐标为2，
当直线$y=k$与抛物线$y=ax^2+bx+c$有两个不相等的交点时，$k＜2$，
即方程$ax^2+bx+c=k$有两个不相等的实数根时，k的取值范围是$k＜2$。
