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9. 在平面直角坐标系中，点$A(-3,2)$，$B(3,4)$，过点$A$作直线$l// x$轴，$C$是直线$l$上的一个动点。当线段$BC$长度取最小值时，点$C$的坐标是(
A.$(-3,4)$
B.$(3,2)$
C.$(3,0)$
D.$(4,2)$
B
)。A.$(-3,4)$
B.$(3,2)$
C.$(3,0)$
D.$(4,2)$
答案
9. B
解析
【解析】
因为直线$l // x$轴，且过点$A(-3,2)$，所以直线$l$的解析式为$y=2$。
根据垂线段最短的性质，当$BC ⊥ l$时，线段$BC$的长度最小。
由于$l // x$轴，所以$BC$垂直于$x$轴，此时点$C$的横坐标与点$B(3,4)$的横坐标相同，为3，纵坐标为直线$l$的纵坐标2，即点$C$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；平行于x轴的直线的坐标特征
【点评】
本题考查垂线段最短的性质及平行于x轴的直线上点的坐标规律，解题关键是利用垂线段最短确定点C的位置。
因为直线$l // x$轴，且过点$A(-3,2)$，所以直线$l$的解析式为$y=2$。
根据垂线段最短的性质，当$BC ⊥ l$时，线段$BC$的长度最小。
由于$l // x$轴，所以$BC$垂直于$x$轴，此时点$C$的横坐标与点$B(3,4)$的横坐标相同，为3，纵坐标为直线$l$的纵坐标2，即点$C$的坐标为$(3,2)$。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；平行于x轴的直线的坐标特征
【点评】
本题考查垂线段最短的性质及平行于x轴的直线上点的坐标规律，解题关键是利用垂线段最短确定点C的位置。
10. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x＜a,\\x＜1\end{cases}$的解集是$x＜1$，则$a$的取值范围是( )。
A.$a≥ 1$
B.$a≤ 1$
C.$a＞1$
D.$a＜1$
A.$a≥ 1$
B.$a≤ 1$
C.$a＞1$
D.$a＜1$
答案
10. A
解析
【解析】
根据一元一次不等式组“同小取小”的解集确定规则，已知不等式组$\begin{cases}x＜a,\\x＜1\end{cases}$的解集是$x＜1$，说明$a$不小于1，即$a≥1$（当$a=1$时，不等式组的解集仍为$x＜1$，符合题意）。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，需注意“同小取小”中边界值的取舍，不要忽略$a=1$的情况。
根据一元一次不等式组“同小取小”的解集确定规则，已知不等式组$\begin{cases}x＜a,\\x＜1\end{cases}$的解集是$x＜1$，说明$a$不小于1，即$a≥1$（当$a=1$时，不等式组的解集仍为$x＜1$，符合题意）。
【答案】
A
【知识点】
一元一次不等式组的解集
【点评】
本题考查一元一次不等式组解集的确定方法，需注意“同小取小”中边界值的取舍，不要忽略$a=1$的情况。
二、填空题
11. 已知$\sqrt{1.5}\approx 1.225$，$\sqrt{15}\approx 3.873$，则$\sqrt{150}\approx$
11. 已知$\sqrt{1.5}\approx 1.225$，$\sqrt{15}\approx 3.873$，则$\sqrt{150}\approx$
12.25
。答案
11. 12.25
解析
【解析】
先对$\sqrt{150}$进行化简：
$\sqrt{150}=\sqrt{1.5×100}=\sqrt{1.5}×\sqrt{100}$
因为$\sqrt{100}=10$，且$\sqrt{1.5}\approx1.225$，代入计算得：
$1.225×10=12.25$
所以$\sqrt{150}\approx12.25$
【答案】
12.25
【知识点】
二次根式的化简、算术平方根的性质
【点评】
本题考查二次根式性质的应用，解题关键是将被开方数合理拆分为已知算术平方根的数与平方数的乘积，利用二次根式的乘法法则计算，强化对二次根式运算的掌握。
先对$\sqrt{150}$进行化简：
$\sqrt{150}=\sqrt{1.5×100}=\sqrt{1.5}×\sqrt{100}$
因为$\sqrt{100}=10$，且$\sqrt{1.5}\approx1.225$，代入计算得：
$1.225×10=12.25$
所以$\sqrt{150}\approx12.25$
【答案】
12.25
【知识点】
二次根式的化简、算术平方根的性质
【点评】
本题考查二次根式性质的应用，解题关键是将被开方数合理拆分为已知算术平方根的数与平方数的乘积，利用二次根式的乘法法则计算，强化对二次根式运算的掌握。
12. 已知点$M(2+a,2-a)$在第四象限，则$a$的取值范围是
$a ＞ 2$
。答案
12. $a ＞ 2$
解析
【解析】
因为点$M(2+a,2-a)$在第四象限，根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负，可列不等式组：
$\begin{cases}2+a＞0 \\ 2-a＜0\end{cases}$
解不等式$2+a＞0$，得$a＞-2$；
解不等式$2-a＜0$，得$a＞2$；
根据“同大取大”的原则，取两个不等式解集的公共部分，可得$a$的取值范围是$a＞2$。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
第四象限点的坐标特征，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题主要考查第四象限内点的坐标性质及一元一次不等式组的求解，解题关键是准确利用象限点的坐标符号列出不等式组并正确求解。
因为点$M(2+a,2-a)$在第四象限，根据第四象限内点的坐标特征：横坐标为正，纵坐标为负，可列不等式组：
$\begin{cases}2+a＞0 \\ 2-a＜0\end{cases}$
解不等式$2+a＞0$，得$a＞-2$；
解不等式$2-a＜0$，得$a＞2$；
根据“同大取大”的原则，取两个不等式解集的公共部分，可得$a$的取值范围是$a＞2$。
【答案】
$a＞2$
【知识点】
第四象限点的坐标特征，一元一次不等式组的解法
【点评】
本题主要考查第四象限内点的坐标性质及一元一次不等式组的求解，解题关键是准确利用象限点的坐标符号列出不等式组并正确求解。
13. 如图，已知$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$，$CD$于点$E$，$F$，$EG$平分$∠ AEF$。若$∠ 1=68^{\circ}$，则$∠ 2=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
13. 56
解析
【解析】
1. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ AEF + ∠ 1 = 180°$。
已知$∠ 1=68°$，则$∠ AEF = 180° - 68° = 112°$。
2. 由于$EG$平分$∠ AEF$，根据角平分线的定义，$∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = \frac{1}{2} × 112° = 56°$。
3. 又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2 = ∠ AEG = 56°$。
【答案】
56
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与角平分线定义的综合应用，熟练掌握平行线的相关性质是解题的核心。
1. 因为$AB// CD$，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得$∠ AEF + ∠ 1 = 180°$。
已知$∠ 1=68°$，则$∠ AEF = 180° - 68° = 112°$。
2. 由于$EG$平分$∠ AEF$，根据角平分线的定义，$∠ AEG = \frac{1}{2}∠ AEF = \frac{1}{2} × 112° = 56°$。
3. 又因为$AB// CD$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ 2 = ∠ AEG = 56°$。
【答案】
56
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线的性质与角平分线定义的综合应用，熟练掌握平行线的相关性质是解题的核心。
14. 已知直线$MN// x$轴，点$N$到$y$轴的距离等于7。若点$M(1,-2)$，则点$N$的坐标是
$ (7, -2) $ 或 $ (-7, -2) $
。答案
14. $ (7, -2) $ 或 $ (-7, -2) $
解析
【解析】
因为直线$MN// x$轴，平行于$x$轴的直线上的点纵坐标相等，已知点$M(1,-2)$，所以点$N$的纵坐标为$-2$。
又因为点$N$到$y$轴的距离等于7，点到$y$轴的距离等于横坐标的绝对值，即$|x|=7$，解得$x=7$或$x=-7$。
因此，点$N$的坐标是$(7, -2)$或$(-7, -2)$。
【答案】
$(7, -2)$或$(-7, -2)$
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；点到y轴的距离与坐标的关系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，需牢记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，注意考虑两种情况，避免漏解。
因为直线$MN// x$轴，平行于$x$轴的直线上的点纵坐标相等，已知点$M(1,-2)$，所以点$N$的纵坐标为$-2$。
又因为点$N$到$y$轴的距离等于7，点到$y$轴的距离等于横坐标的绝对值，即$|x|=7$，解得$x=7$或$x=-7$。
因此，点$N$的坐标是$(7, -2)$或$(-7, -2)$。
【答案】
$(7, -2)$或$(-7, -2)$
【知识点】
平行于x轴的点的坐标特征；点到y轴的距离与坐标的关系
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，需牢记平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，点到y轴的距离等于横坐标的绝对值，注意考虑两种情况，避免漏解。
15. 已知一个三角形三条边的长分别为6，9，$a$，且关于$x$的不等式组$\begin{cases}2x-a≤ 1,\\2x-3＜3(x-2)\end{cases}$至少有四个整数解，则整数$a$的值是 ______ 。
答案
15. 13 或 14
解析
【解析】
1. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$9 - 6 ＜ a ＜ 9 + 6$，即$3 ＜ a ＜ 15$。
2. 解不等式组：
解$2x - a ≤ 1$，得$x ≤ \frac{a+1}{2}$；
解$2x - 3 ＜ 3(x - 2)$，去括号得$2x - 3 ＜ 3x - 6$，移项化简得$x ＞ 3$。
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤ \frac{a+1}{2}$。
3. 因为不等式组至少有四个整数解，大于3的最小四个整数解为4、5、6、7，所以$\frac{a+1}{2} ≥ 7$，解得$a ≥ 13$。
4. 结合$3 ＜ a ＜ 15$与$a ≥ 13$，可得$13 ≤ a ＜ 15$，又因为$a$是整数，所以$a$的值为13或14。
【答案】
13 或 14
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式组解法、不等式组整数解应用
【点评】
本题综合考查三角形三边关系与一元一次不等式组的整数解问题，需先分别确定$a$的两个取值范围，再取交集得到符合条件的整数$a$，解题时要注意两个条件的结合，避免漏解或错解。
1. 根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得：
$9 - 6 ＜ a ＜ 9 + 6$，即$3 ＜ a ＜ 15$。
2. 解不等式组：
解$2x - a ≤ 1$，得$x ≤ \frac{a+1}{2}$；
解$2x - 3 ＜ 3(x - 2)$，去括号得$2x - 3 ＜ 3x - 6$，移项化简得$x ＞ 3$。
因此不等式组的解集为$3 ＜ x ≤ \frac{a+1}{2}$。
3. 因为不等式组至少有四个整数解，大于3的最小四个整数解为4、5、6、7，所以$\frac{a+1}{2} ≥ 7$，解得$a ≥ 13$。
4. 结合$3 ＜ a ＜ 15$与$a ≥ 13$，可得$13 ≤ a ＜ 15$，又因为$a$是整数，所以$a$的值为13或14。
【答案】
13 或 14
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式组解法、不等式组整数解应用
【点评】
本题综合考查三角形三边关系与一元一次不等式组的整数解问题，需先分别确定$a$的两个取值范围，再取交集得到符合条件的整数$a$，解题时要注意两个条件的结合，避免漏解或错解。
16. 将图①中的长方形纸片$ABCD$沿$EF$翻折得到图②，再将图②中的四边形$CDGF$沿$FG$翻折得到图③。在图③中，有下列四个结论：①$∠ EGB=2∠ EFG$；②$EF// CD$；③$∠ EHG=3∠ EFB$；④$∠ AEG-∠ FEG=∠ EFC$。其中正确的结论是
①③④
。(填序号)答案
16. ①③④
解析
【解析】
①因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，则$∠ DEF=∠ EFB$。由折叠性质得$∠ DEF=∠ GEF$，故$∠ DEG=2∠ EFB$。又因为$AD// BC$，所以$∠ EGB=∠ DEG$，因此$∠ EGB=2∠ EFG$，①正确；
②无法根据折叠的性质推出$EF// CD$，②错误；
③设$∠ EFB=α$，则$∠ EFG=α$，由①知$∠ DEG=2α$，$∠ EGB=2α$。结合第二次折叠的性质，可证得$∠ EHG=3α=3∠ EFB$，③正确；
④根据长方形性质、折叠性质及平行线的性质，可证得$∠ AEG-∠ FEG=∠ EFC$，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题主要考查长方形、折叠及平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等，平行线的同位角、内错角相等的性质。
①因为四边形$ABCD$是长方形，所以$AD// BC$，则$∠ DEF=∠ EFB$。由折叠性质得$∠ DEF=∠ GEF$，故$∠ DEG=2∠ EFB$。又因为$AD// BC$，所以$∠ EGB=∠ DEG$，因此$∠ EGB=2∠ EFG$，①正确；
②无法根据折叠的性质推出$EF// CD$，②错误；
③设$∠ EFB=α$，则$∠ EFG=α$，由①知$∠ DEG=2α$，$∠ EGB=2α$。结合第二次折叠的性质，可证得$∠ EHG=3α=3∠ EFB$，③正确；
④根据长方形性质、折叠性质及平行线的性质，可证得$∠ AEG-∠ FEG=∠ EFC$，④正确。
【答案】
①③④
【知识点】
长方形的性质；折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题主要考查长方形、折叠及平行线的性质，解题关键是熟练掌握折叠前后对应角相等，平行线的同位角、内错角相等的性质。
三、解答题
17. 解方程组。
(1) $\begin{cases}2x+y=11,\\x-y=-2.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x+3y=12,\\3x+4y=17.\end{cases}$
17. 解方程组。
(1) $\begin{cases}2x+y=11,\\x-y=-2.\end{cases}$
(2) $\begin{cases}2x+3y=12,\\3x+4y=17.\end{cases}$
答案
17. (1) $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 5. \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases} $
解析
【解析】
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x+y=11,①\\x-y=-2.②\end{cases}$
①+②得：$3x=9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入②得：$3-y=-2$，解得$y=5$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$。
(2) 对于方程组$\begin{cases}2x+3y=12,①\\3x+4y=17.②\end{cases}$
①×3得：$6x+9y=36$，③
②×2得：$6x+8y=34$，④
③-④得：$y=2$。
将$y=2$代入①得：$2x+3×2=12$，解得$x=3$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 5. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，通过加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，计算时需注意系数运算的准确性，掌握消元思想是解题关键。
(1) 对于方程组$\begin{cases}2x+y=11,①\\x-y=-2.②\end{cases}$
①+②得：$3x=9$，解得$x=3$。
将$x=3$代入②得：$3-y=-2$，解得$y=5$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=5\end{cases}$。
(2) 对于方程组$\begin{cases}2x+3y=12,①\\3x+4y=17.②\end{cases}$
①×3得：$6x+9y=36$，③
②×2得：$6x+8y=34$，④
③-④得：$y=2$。
将$y=2$代入①得：$2x+3×2=12$，解得$x=3$。
故方程组的解为$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 5. \end{cases}$
(2) $\begin{cases} x = 3, \\ y = 2. \end{cases}$
【知识点】
加减消元法、二元一次方程组求解
【点评】
本题考查二元一次方程组的求解，通过加减消元法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，计算时需注意系数运算的准确性，掌握消元思想是解题关键。
