登录
7.郑州二七纪念塔作为郑州的城市地标，坐落在距离郑州火车站不远的二七广场，共14层，为仿古联体双塔.某数学活动小组欲测量其高度.如图，组员在点B处放置一个平面镜，站在A处恰好能从平面镜中看到塔的顶端D，分别测出:组员到平面镜的距离$AB=2\ \mathrm{m}$，平面镜到塔底部中心的距离$BC=84\ \mathrm{m}$，组员眼睛到地面的距离$AE=1.5\ \mathrm{m}$，且$AE⊥ AC$，$CD⊥ AC$，点A，B，C在一条水平线上.请据此求出二七纪念塔的高度CD.
答案
7. 解:根据题意,得$∠ EBA=∠ DBC.\because EA⊥ AC,DC⊥ AC,\therefore∠ EAB=∠ DCB=90°.\therefore△ ABE∽△ CBD.\therefore\dfrac{AE}{CD}=\dfrac{AB}{CB}.\because AB=2\ \mathrm{m},BC=84\ \mathrm{m},AE=1.5\ \mathrm{m},\therefore\dfrac{1.5}{CD}=\dfrac{2}{84}.\therefore CD=63\ \mathrm{m}.$答:二七纪念塔的高度$CD$为$63\ \mathrm{m}.$
解析
【分析】
解题时首先结合平面镜反射的原理，可得反射角对应的∠EBA=∠DBC；再结合已知的AE⊥AC、CD⊥AC，可得到两个直角∠EAB=∠DCB=90°，由此可判定△ABE和△CBD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段的长度，即可求出CD的高度。
【解析】
解：根据题意，得$∠ EBA=∠ DBC$。
$\because EA⊥ AC,DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ EAB=∠ DCB=90°$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AE}{CD}=\dfrac{AB}{CB}$。
$\because AB=2\ \mathrm{m},BC=84\ \mathrm{m},AE=1.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{1.5}{CD}=\dfrac{2}{84}$，
解得$CD=63\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{63\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平面镜反射性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的应用，解题核心是将实际问题转化为几何中的相似三角形模型，利用相似的性质列比例式求解未知量，很好地体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合平面镜反射的原理，可得反射角对应的∠EBA=∠DBC；再结合已知的AE⊥AC、CD⊥AC，可得到两个直角∠EAB=∠DCB=90°，由此可判定△ABE和△CBD相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知线段的长度，即可求出CD的高度。
【解析】
解：根据题意，得$∠ EBA=∠ DBC$。
$\because EA⊥ AC,DC⊥ AC$，
$\therefore ∠ EAB=∠ DCB=90°$，
$\therefore △ ABE ∽ △ CBD$，
$\therefore \dfrac{AE}{CD}=\dfrac{AB}{CB}$。
$\because AB=2\ \mathrm{m},BC=84\ \mathrm{m},AE=1.5\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{1.5}{CD}=\dfrac{2}{84}$，
解得$CD=63\ \mathrm{m}$。
【答案】
$\boxed{63\ \mathrm{m}}$
【知识点】
平面镜反射性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量场景中的应用，解题核心是将实际问题转化为几何中的相似三角形模型，利用相似的性质列比例式求解未知量，很好地体现了数学知识在生活中的实用价值。
【难度系数】
0.8
8. 数学文化·四分仪 四分仪是一种十分古老的测量仪器，其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》. 图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F，窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H. 图2中，四分仪为正方形ABCD，方井为矩形BEFG. 若测量员从四分仪中读得AB为2，BH为1，实地测得BE为5，则井深BG为 （
A.7
B.8
C.9
D.10
B
）A.7
B.8
C.9
D.10
答案
8.B
解析
【分析】
解题时首先结合图形和已知条件寻找相似三角形：正方形ABCD和矩形BEFG中可得∠ABH与∠AGF均为直角，且∠BAH是△ABH和△AGF的公共角，可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和矩形对边相等的性质，列出比例式即可求解井深BG。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，四边形BEFG是矩形，
∴∠ABH=∠AGF=90°，
又
∵∠BAH=∠GAF（公共角），
∴△ABH∽△AGF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AG}=\frac{BH}{GF}$。
由矩形对边相等可得$GF=BE=5$，设井深$BG=x$，则$AG=AB+BG=2+x$，
将$AB=2$，$BH=1$，$GF=5$代入比例式得：
$\frac{2}{2+x}=\frac{1}{5}$，
交叉相乘得：$2+x=10$，
解得$x=8$，即$BG=8$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以古代测量仪器为背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用边的比例关系建立方程求解，贴近生活实际，能让学生体会数学的实用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合图形和已知条件寻找相似三角形：正方形ABCD和矩形BEFG中可得∠ABH与∠AGF均为直角，且∠BAH是△ABH和△AGF的公共角，可判定两个三角形相似；再利用相似三角形对应边成比例的性质，结合已知边长和矩形对边相等的性质，列出比例式即可求解井深BG。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，四边形BEFG是矩形，
∴∠ABH=∠AGF=90°，
又
∵∠BAH=∠GAF（公共角），
∴△ABH∽△AGF（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{AG}=\frac{BH}{GF}$。
由矩形对边相等可得$GF=BE=5$，设井深$BG=x$，则$AG=AB+BG=2+x$，
将$AB=2$，$BH=1$，$GF=5$代入比例式得：
$\frac{2}{2+x}=\frac{1}{5}$，
交叉相乘得：$2+x=10$，
解得$x=8$，即$BG=8$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以古代测量仪器为背景，考查相似三角形在实际测量中的应用，解题核心是准确识别相似三角形，利用边的比例关系建立方程求解，贴近生活实际，能让学生体会数学的实用价值。
【难度系数】
0.7
9. 为测量池塘边两点A,B之间的距离,小明设计了如下的方案:在地面取一点O,使AC,BD交于点O,且$CD// AB$.若测得$OB:OD=3:2$,$CD=40$米,则A,B两点之间的距离为
60
米.答案
9. 60
解析
【分析】
要测量无法直接到达的A、B两点距离，可通过构造相似三角形将未知线段转化为可计算的量。首先观察到AB//CD，可得两三角形的内错角相等，再结合对顶角相等，即可证明△ABO和△CDO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长比例和CD的长度，就能求出AB的距离。
【解析】
解：$\because CD// AB$
$\therefore ∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等）
$\therefore △ ABO∽△ CDO$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$
已知$OB:OD=3:2$，$CD=40$米，代入比例式得：
$\frac{AB}{40}=\frac{3}{2}$
解得$AB=\frac{3}{2}×40=60$（米）
【答案】
60
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题关键是借助平行线构造相似三角形，将不可直接测量的线段长度转化为比例计算问题，侧重对相似三角形基础知识点的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要测量无法直接到达的A、B两点距离，可通过构造相似三角形将未知线段转化为可计算的量。首先观察到AB//CD，可得两三角形的内错角相等，再结合对顶角相等，即可证明△ABO和△CDO相似，最后利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的边长比例和CD的长度，就能求出AB的距离。
【解析】
解：$\because CD// AB$
$\therefore ∠ A=∠ C$，$∠ B=∠ D$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ AOB=∠ COD$（对顶角相等）
$\therefore △ ABO∽△ CDO$（两角分别相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$
已知$OB:OD=3:2$，$CD=40$米，代入比例式得：
$\frac{AB}{40}=\frac{3}{2}$
解得$AB=\frac{3}{2}×40=60$（米）
【答案】
60
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的基础应用，解题关键是借助平行线构造相似三角形，将不可直接测量的线段长度转化为比例计算问题，侧重对相似三角形基础知识点的理解和应用。
【难度系数】
0.8
10. 如图,在某小区内拐角处的一段道路上,有一儿童在点C处玩耍,一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来($CM ⊥ DM$,$BD ⊥ DM$,$BC$与$DM$相交于点$O$),已知$OM=4$米,$CO=5$米,$DO=3$米,$AO=\sqrt{73}$米,则汽车从点A处前行的距离$AB=$
5.75
米时,才能发现点C处的儿童. 答案
10. 5.75
解析
【分析】
解题思路可分为四步：①先在Rt△COM中利用勾股定理求出CM的长度；②根据垂直关系得到直角相等，结合对顶角相等证明△COM∽△BOD，再由相似三角形对应边成比例求出BD的长度；③在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长度；④用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
1. 求CM的长度：
在Rt△COM中，∠CMO=90°，OM=4米，CO=5米，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{CO^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$米。
2. 求BD的长度：
∵$CM⊥DM$，$BD⊥DM$，
∴$∠ CMO=∠ BDO=90°$，
又
∵$∠ COM=∠ BOD$（对顶角相等），
∴$△ COM ∽ △ BOD$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}$，
代入CM=3，OM=4，OD=3，得$\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$，解得$BD=\frac{9}{4}=2.25$米。
3. 求AD的长度：
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，$AO=\sqrt{73}$米，OD=3米，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2-OD^2}=\sqrt{(\sqrt{73})^2-3^2}=\sqrt{73-9}=\sqrt{64}=8$米。
4. 求AB的长度：
$AB=AD-BD=8-2.25=5.75$米。
【答案】
5.75
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是准确识别图中的直角三角形和相似三角形，结合对应性质逐步计算线段长度，能较好地考查学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为四步：①先在Rt△COM中利用勾股定理求出CM的长度；②根据垂直关系得到直角相等，结合对顶角相等证明△COM∽△BOD，再由相似三角形对应边成比例求出BD的长度；③在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长度；④用AD减去BD即可得到AB的长度。
【解析】
1. 求CM的长度：
在Rt△COM中，∠CMO=90°，OM=4米，CO=5米，由勾股定理得：
$CM=\sqrt{CO^2-OM^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3$米。
2. 求BD的长度：
∵$CM⊥DM$，$BD⊥DM$，
∴$∠ CMO=∠ BDO=90°$，
又
∵$∠ COM=∠ BOD$（对顶角相等），
∴$△ COM ∽ △ BOD$，
根据相似三角形对应边成比例得：$\frac{CM}{BD}=\frac{OM}{OD}$，
代入CM=3，OM=4，OD=3，得$\frac{3}{BD}=\frac{4}{3}$，解得$BD=\frac{9}{4}=2.25$米。
3. 求AD的长度：
在Rt△AOD中，∠ADO=90°，$AO=\sqrt{73}$米，OD=3米，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AO^2-OD^2}=\sqrt{(\sqrt{73})^2-3^2}=\sqrt{73-9}=\sqrt{64}=8$米。
4. 求AB的长度：
$AB=AD-BD=8-2.25=5.75$米。
【答案】
5.75
【知识点】
勾股定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的核心是准确识别图中的直角三角形和相似三角形，结合对应性质逐步计算线段长度，能较好地考查学生的几何应用能力。
【难度系数】
0.7
11.某校社会实践小组为了测量某古建筑的高度，如图，在地面上点C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，此时地面上的点E，标杆的顶端D，该古建筑的塔尖B正好在同一条直线上，测得$EC＝4$米.将标杆CD向后平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端H，该古建筑的塔尖B正好在同一条直线上(点F，G，E，C与塔底处的点A在同一条直线上)，这时测得$FG＝6$米，$GC＝53$米，请你根据以上数据，求出该古建筑的高度AB.
答案
11. 解:由题意,得$HG⊥ FG,DC⊥ EC,BA⊥ FA,\therefore∠ HGF=∠ DCE=∠ BAF=90°,HG// DC// BA.\therefore△ EDC∽△ EBA,△ FHG∽△ FBA.\therefore\dfrac{HG}{BA}=\dfrac{FG}{FA},\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}.\because DC=HG,\therefore\dfrac{FG}{FA}=\dfrac{EC}{EA}.\therefore\dfrac{6}{53+6+CA}=\dfrac{4}{4+CA}.\therefore CA=106\ \mathrm{米}.\because\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA},\therefore\dfrac{2}{BA}=\dfrac{4}{4+106}.\therefore AB=55\ \mathrm{米}.$答:该古建筑的高度$AB$为$55$米.
解析
【分析】
首先观察图形和已知条件，标杆与古建筑均垂直于地面，因此二者互相平行，可推导出两组相似三角形：$△ EDC ∽ △ EBA$，$△ FHG ∽ △ FBA$。由于两根标杆高度相等，可将两个相似三角形的对应边比例式联立，先设$CA$的长度为未知数列方程求解，再将$CA$的长度代入比例式即可求出古建筑高度$AB$。
【解析】
解：由题意，得$HG⊥ FG,DC⊥ EC,BA⊥ FA$，
$\therefore ∠ HGF=∠ DCE=∠ BAF=90°$，$HG// DC// BA$，
$\therefore △ EDC ∽ △ EBA$，$△ FHG ∽ △ FBA$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{HG}{BA}=\dfrac{FG}{FA}$，$\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}$，
$\because DC=HG=2$米，$\therefore \dfrac{FG}{FA}=\dfrac{EC}{EA}$，
设$CA=x$米，则$FA=6+53+x=59+x$，$EA=4+x$，代入比例式得：
$\dfrac{6}{59+x}=\dfrac{4}{4+x}$，
交叉相乘得：$6(4+x)=4(59+x)$，
整理得：$24+6x=236+4x$，解得$x=106$，即$CA=106$米，
将$CA=106$代入$\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}$得：
$\dfrac{2}{BA}=\dfrac{4}{4+106}$，解得$BA=55$米。
【答案】
该古建筑的高度$AB$为$55$米。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是利用相似三角形测高的典型题型，通过平行线构造相似三角形，结合两次相似的比例关系联立方程求解未知量，解题关键是准确找到相似三角形的对应边，列出正确的比例式。
【难度系数】
0.7
首先观察图形和已知条件，标杆与古建筑均垂直于地面，因此二者互相平行，可推导出两组相似三角形：$△ EDC ∽ △ EBA$，$△ FHG ∽ △ FBA$。由于两根标杆高度相等，可将两个相似三角形的对应边比例式联立，先设$CA$的长度为未知数列方程求解，再将$CA$的长度代入比例式即可求出古建筑高度$AB$。
【解析】
解：由题意，得$HG⊥ FG,DC⊥ EC,BA⊥ FA$，
$\therefore ∠ HGF=∠ DCE=∠ BAF=90°$，$HG// DC// BA$，
$\therefore △ EDC ∽ △ EBA$，$△ FHG ∽ △ FBA$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\dfrac{HG}{BA}=\dfrac{FG}{FA}$，$\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}$，
$\because DC=HG=2$米，$\therefore \dfrac{FG}{FA}=\dfrac{EC}{EA}$，
设$CA=x$米，则$FA=6+53+x=59+x$，$EA=4+x$，代入比例式得：
$\dfrac{6}{59+x}=\dfrac{4}{4+x}$，
交叉相乘得：$6(4+x)=4(59+x)$，
整理得：$24+6x=236+4x$，解得$x=106$，即$CA=106$米，
将$CA=106$代入$\dfrac{DC}{BA}=\dfrac{EC}{EA}$得：
$\dfrac{2}{BA}=\dfrac{4}{4+106}$，解得$BA=55$米。
【答案】
该古建筑的高度$AB$为$55$米。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是利用相似三角形测高的典型题型，通过平行线构造相似三角形，结合两次相似的比例关系联立方程求解未知量，解题关键是准确找到相似三角形的对应边，列出正确的比例式。
【难度系数】
0.7
