用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 + x = 0$；
(2)$4x^2 - 121 = 0$。

(1)$x_1=0$，$x_2=-1$
(2)$x_1=-\frac{11}{2}$，$x_2=\frac{11}{2}$

【分析】
用因式分解法解一元二次方程的核心思路是“降次”，通用步骤为：①将方程右边整理为0；②把方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；④分别解这两个一元一次方程，所得解就是原方程的根。
第(1)题左边两项有公因式$x$，可通过提公因式法分解；第(2)题左边是两个平方项的差，符合平方差公式的形式，可用平方差公式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 + x = 0$提取公因式$x$进行因式分解，得：
$x(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x=0$ 或 $x+1=0$
分别求解上述一元一次方程，得$x_1=0$，$x_2=-1$。
(2) 先将$4x^2 - 121 = 0$变形为$(2x)^2 - 11^2 = 0$，利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$因式分解，得：
$(2x+11)(2x-11)=0$
同理可得：
$2x+11=0$ 或 $2x-11=0$
分别求解上述一元一次方程，得$x_1=-\frac{11}{2}$，$x_2=\frac{11}{2}$。
【答案】
(1)$x_1=0$，$x_2=-1$
(2)$x_1=-\frac{11}{2}$，$x_2=\frac{11}{2}$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
3. 平方差公式因式分解
【点评】
这两道题是因式分解法解方程的基础题型，分别对应两种常见的因式分解方法，掌握“右化0，左分解，两因式，各求解”的步骤即可快速解题。
【难度系数】
0.8

例2 用适当的方法解下列一元二次方程：
(1)$3x(x+2)=5(x+2)$；
(2)$2x^2+7x+4=0$；
(3)$16(3x-2)^2=(x+5)^2$。

(1)$3x(x+2)=5(x+2)$。
移项，得$3x(x+2)−5(x+2)=0$。
左边分解因式，得$(x+2)(3x−5)=0$。
∴$x+2=0$，或$3x−5=0$。
∴$x_1=-2$，$x_2=\frac{5}{3}$。
(2)$2x^2+7x+4=0$。
∵$a=2$，$b=7$，$c=4$，
∴$\Delta=b^2−4ac=7^2−4×2×4=17＞0$。
∴方程有两个不相等的实数根。
∴$x=\frac{-7±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-7±\sqrt{17}}{4}$。
∴$x_1=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}$。
(3)$16(3x−2)^2=(x+5)^2$。
两边开平方，得$4(3x−2)=±(x+5)$。
∴$4(3x−2)=x+5$ 或$4(3x−2)=-(x+5)$。
∴$x_1=\frac{13}{11}$，$x_2=\frac{3}{13}$。

【分析】
解一元二次方程需先观察方程特征选择最优解法：
(1) 方程左右两边都含有公因式$(x+2)$，优先选择因式分解法，注意不能直接两边同时除以$(x+2)$，否则会漏掉$x=-2$这个根，先移项提取公因式，再转化为两个一次方程求解；
(2) 该方程各项系数无特殊规律，尝试十字相乘法无法分解时，选择公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式求解；
(3) 方程左右两边均是完全平方的形式，选择直接开平方法最简便，开平方时注意右边要带正负号，转化为两个一次方程分别求解。
【解析】
(1) $3x(x+2)=5(x+2)$
移项，得$3x(x+2)−5(x+2)=0$
左边分解因式，得$(x+2)(3x−5)=0$
∴$x+2=0$，或$3x−5=0$
∴$x_1=-2$，$x_2=\frac{5}{3}$
(2) $2x^2+7x+4=0$
∵$a=2$，$b=7$，$c=4$，
∴$\Delta=b^2−4ac=7^2−4×2×4=17＞0$
∴方程有两个不相等的实数根
∴$x=\frac{-7±\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-7±\sqrt{17}}{4}$
∴$x_1=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}$
(3) $16(3x−2)^2=(x+5)^2$
两边开平方，得$4(3x−2)=±(x+5)$
∴$4(3x−2)=x+5$ 或$4(3x−2)=-(x+5)$
分别求解得：$x_1=\frac{13}{11}$，$x_2=\frac{3}{13}$
【答案】
(1) $x_1=-2$，$x_2=\frac{5}{3}$；
(2) $x_1=\frac{-7+\sqrt{17}}{4}$，$x_2=\frac{-7-\sqrt{17}}{4}$；
(3) $x_1=\frac{13}{11}$，$x_2=\frac{3}{13}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程、直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时需根据方程的结构特征灵活选择简便解法，减少计算量，同时要注意规避易错点：含公因式的方程不能直接约去公因式防止丢根，开平方时不要遗漏负号情况，公式法求解要先判断判别式的符号。
【难度系数】
0.7

选择适当的方法解下列方程：
(1)$25(x-2)^2=49$；
(2)$4x^2-5x-7=0$；
(3)$(x-\sqrt{2})^2=5(\sqrt{2}-x)$。

(1)$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=\frac{3}{5}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{137}}{8}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{137}}{8}$
(3)$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{2}-5$

【分析】
解一元二次方程需根据方程结构选择最优解法：
(1) 方程左边为含未知数的完全平方形式，右边为正的常数，适用直接开平方法：先将$(x-2)^2$的系数化为1，再开平方得到两个一元一次方程，分别求解即可。
(2) 方程为一元二次方程一般形式，且判别式不是完全平方数，无法快速因式分解，适用公式法：先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算。
(3) 方程两边含有公因式$(x-\sqrt{2})$（注意$\sqrt{2}-x=-(x-\sqrt{2})$），适用因式分解法：先移项将右侧化为0，再提取公因式，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) $25(x-2)^2=49$
系数化为1，得：$\displaystyle (x-2)^2=\frac{49}{25}$
开平方，得：$\displaystyle x-2=\pm\frac{7}{5}$
即 $\displaystyle x-2=\frac{7}{5}$ 或 $\displaystyle x-2=-\frac{7}{5}$
解得：$\displaystyle x_1=2+\frac{7}{5}=\frac{17}{5}$，$\displaystyle x_2=2-\frac{7}{5}=\frac{3}{5}$
(2) $4x^2-5x-7=0$
由方程得$a=4$，$b=-5$，$c=-7$
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-4×4×(-7)=25+112=137＞0$
代入求根公式$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$\displaystyle x=\frac{5\pm\sqrt{137}}{2×4}=\frac{5\pm\sqrt{137}}{8}$
即$\displaystyle x_1=\frac{5+\sqrt{137}}{8}$，$\displaystyle x_2=\frac{5-\sqrt{137}}{8}$
(3) $(x-\sqrt{2})^2=5(\sqrt{2}-x)$
移项，得：$(x-\sqrt{2})^2+5(x-\sqrt{2})=0$
提取公因式$(x-\sqrt{2})$，得：$(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{2}+5)=0$
则$x-\sqrt{2}=0$或$x-\sqrt{2}+5=0$
解得：$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{2}-5$
【答案】
(1)$x_1=\frac{17}{5}$，$x_2=\frac{3}{5}$
(2)$x_1=\frac{5+\sqrt{137}}{8}$，$x_2=\frac{5-\sqrt{137}}{8}$
(3)$x_1=\sqrt{2}$，$x_2=\sqrt{2}-5$
【知识点】
直接开平方法，公式法，因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的解法，可有效提升解题速度和准确率，熟练掌握各类解法的适用场景是解题的关键。
【难度系数】
0.8

请根据本课所学，构建知识体系.
用因式分解法解一元二次方程
适用类型
当方程右边为时，左边可以分解因式
解法特点
直接开平方法
配方法

当方程形如$(mx+n)^2=p(p≥0)$时，用直接开平方法
当方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法
当方程用直接开平方法和法不能求解时，通常用公式法
选择解一元二次方程的方法技巧
选择顺序
法→因式分解法→法(或配方法)

用因式分解法解一元二次方程
适用类型：当方程右边为0时，左边可以分解因式
解法特点：直接开平方法、配方法
选择解一元二次方程的方法技巧：
当方程形如$(mx+n)^2=p(p≥0)$时，用直接开平方法
当方程二次项系数为1，一次项系数为偶数时，通常用配方法
当方程用直接开平方法和因式分解法不能求解时，通常用公式法
选择顺序：直接开平方法→因式分解法→公式法(或配方法)

【分析】
本题考查一元二次方程的解法相关基础知识，解题时需回忆各类解法的适用条件及选择逻辑：
1. 因式分解法的核心是将方程转化为“两个一次式乘积为0”的形式，因此首先要保证方程右边为0；
2. 公式法是解一元二次方程的通用方法，当前两种更简便的方法（直接开平方法、因式分解法）无法求解时使用；
3. 解一元二次方程的选择顺序遵循“从简到繁”的原则，优先选计算量最小的直接开平方法，再选因式分解法，最后选公式法或配方法。
【解析】
我们逐个分析填空：
1. 因式分解法解方程时，需先将方程整理为右边等于0的形式，再对左边因式分解，因此第一个空填$\boldsymbol{0}$；
2. 公式法是通用解法，当更简便的直接开平方法、因式分解法都无法求解时使用，因此第二个空填$\boldsymbol{因式分解}$；
3. 解法选择按从易到难排序，优先选计算最简单的直接开平方法，再用因式分解法，最后用公式法或配方法，因此第三个空填$\boldsymbol{直接开平}$，第四个空填$\boldsymbol{公式}$。
【答案】
0；因式分解；直接开平；公式
【知识点】
一元二次方程的解法；因式分解法；解法选择技巧
【点评】
本题属于基础识记类题目，主要考查一元二次方程各类解法的适用条件和选择顺序，牢记各类解法的特点即可快速完成作答，是后续熟练解方程的基础。
【难度系数】
0.9