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6. 用反证法证明：过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. 如图29.1-15所示，有如下步骤：
①∴$∠ PAB + ∠ PBA + ∠ APB ＞ 180°$，这与三角形的内角和等于$180°$相矛盾.
②∴假设不成立，原命题成立.
③假设过点P不止有一条直线与已知直线垂直，不妨设$PH ⊥ l$，垂足为A，$PB ⊥ l$，垂足为B.
④∴$∠ PAB = 90°$，$∠ PBA = 90°$.
下列排列顺序正确的是（
A.①②③④
B.②③④①
C.③④①②
D.④①②③
①∴$∠ PAB + ∠ PBA + ∠ APB ＞ 180°$，这与三角形的内角和等于$180°$相矛盾.
②∴假设不成立，原命题成立.
③假设过点P不止有一条直线与已知直线垂直，不妨设$PH ⊥ l$，垂足为A，$PB ⊥ l$，垂足为B.
④∴$∠ PAB = 90°$，$∠ PBA = 90°$.
下列排列顺序正确的是（
C
）.A.①②③④
B.②③④①
C.③④①②
D.④①②③
答案
6. C
解析
【分析】
要确定反证法的步骤排序，首先回忆反证法的基本流程：第一步先假设原命题的结论不成立；第二步从假设出发进行推导，得出和已知定理、公理等矛盾的结果；第三步判定假设不成立，从而得到原命题成立。按照这个逻辑依次对应题干中的四个步骤即可得出正确排序。
【解析】
反证法的证明过程分为三步：
1. 反设：假设原命题“过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直”不成立，即假设过点P不止有一条直线与已知直线垂直，不妨设$PH ⊥ l$，垂足为A，$PB ⊥ l$，垂足为B，对应步骤③；
2. 归谬：根据垂直的定义，可得$∠ PAB = 90°$，$∠ PBA = 90°$，对应步骤④；在$△ PAB$中，三个内角和为$∠ PAB + ∠ PBA + ∠ APB = 90°+90°+∠APB＞180°$，这与三角形内角和等于$180°$相矛盾，对应步骤①；
3. 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题成立，对应步骤②。
因此正确的排序为③④①②。
【答案】
C
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题考查反证法的证明流程，解题核心是熟记反证法“反设-归谬-结论”的三步逻辑，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要确定反证法的步骤排序，首先回忆反证法的基本流程：第一步先假设原命题的结论不成立；第二步从假设出发进行推导，得出和已知定理、公理等矛盾的结果；第三步判定假设不成立，从而得到原命题成立。按照这个逻辑依次对应题干中的四个步骤即可得出正确排序。
【解析】
反证法的证明过程分为三步：
1. 反设：假设原命题“过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直”不成立，即假设过点P不止有一条直线与已知直线垂直，不妨设$PH ⊥ l$，垂足为A，$PB ⊥ l$，垂足为B，对应步骤③；
2. 归谬：根据垂直的定义，可得$∠ PAB = 90°$，$∠ PBA = 90°$，对应步骤④；在$△ PAB$中，三个内角和为$∠ PAB + ∠ PBA + ∠ APB = 90°+90°+∠APB＞180°$，这与三角形内角和等于$180°$相矛盾，对应步骤①；
3. 结论：由矛盾判定假设不成立，因此原命题成立，对应步骤②。
因此正确的排序为③④①②。
【答案】
C
【知识点】
反证法的步骤；三角形内角和定理；垂直的定义
【点评】
本题考查反证法的证明流程，解题核心是熟记反证法“反设-归谬-结论”的三步逻辑，掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
7. 用反证法证明“若|a|＜2，则$a^2＜4$”是真命题，第一步应先假设
$a^2≥4$
。答案
7. $a^2≥4$
解析
【分析】
解这道题首先要回忆反证法的证明步骤：反证法证明一个命题是真命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。我们先拆分原命题，找到它的结论：原命题“若|a|＜2，则a²＜4”中，条件是|a|＜2，结论是a²＜4，接下来只需要写出结论的反面表述即可，“小于”的反面是“大于或等于”，因此就能得到第一步的假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，首先需假设所证命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为$a^2＜4$，其反面为$a^2≥4$，因此第一步应先假设$a^2≥4$。
【答案】
$a^2≥4$
【知识点】
反证法，命题与证明
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确找到命题的结论并正确写出结论的反面，注意“小于”的否定是“大于或等于”，不要遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.9
解这道题首先要回忆反证法的证明步骤：反证法证明一个命题是真命题时，第一步需要先假设命题的结论不成立，即结论的反面成立。我们先拆分原命题，找到它的结论：原命题“若|a|＜2，则a²＜4”中，条件是|a|＜2，结论是a²＜4，接下来只需要写出结论的反面表述即可，“小于”的反面是“大于或等于”，因此就能得到第一步的假设内容。
【解析】
根据反证法的步骤，首先需假设所证命题的结论不成立，即结论的反面成立。
原命题的结论为$a^2＜4$，其反面为$a^2≥4$，因此第一步应先假设$a^2≥4$。
【答案】
$a^2≥4$
【知识点】
反证法，命题与证明
【点评】
本题考查反证法的基础步骤，解题关键是准确找到命题的结论并正确写出结论的反面，注意“小于”的否定是“大于或等于”，不要遗漏等号的情况。
【难度系数】
0.9
8. 用反证法证明“两直线平行，内错角相等”.
已知：如图29.1-16，AB//CD，直线EF交AB于点O.
求证：$∠ 1=∠ 2$.
已知：如图29.1-16，AB//CD，直线EF交AB于点O.
求证：$∠ 1=∠ 2$.
答案
8. 证明：假设∠1≠∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
这与对顶角相等矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，
∴∠1=∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
这与对顶角相等矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，
∴∠1=∠2.
解析
【分析】
本题使用反证法证明，遵循反证法的三步解题逻辑：第一步反设，否定待证结论，假设∠1≠∠2；第二步推导矛盾，结合已知AB//CD的条件，根据平行线的性质可得同位角∠EOB=∠2，结合反设的∠1≠∠2可推出∠1≠∠EOB，而∠1和∠EOB是对顶角，根据对顶角相等的性质二者一定相等，此时就出现了和已有定理矛盾的结论；第三步判定原结论成立，矛盾说明假设不成立，因此∠1=∠2。
【解析】
证明：假设∠1≠∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
又
∵∠1与∠EOB是对顶角，根据对顶角相等可得∠1=∠EOB，二者矛盾.
因此假设∠1≠∠2不成立，原结论正确。
【答案】
证明：假设∠1≠∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
这与对顶角相等矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，
∴∠1=∠2.
【知识点】
反证法；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心考查反证法的证明逻辑，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤，结合所学几何性质找到推导过程中的矛盾点，掌握方法后即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
本题使用反证法证明，遵循反证法的三步解题逻辑：第一步反设，否定待证结论，假设∠1≠∠2；第二步推导矛盾，结合已知AB//CD的条件，根据平行线的性质可得同位角∠EOB=∠2，结合反设的∠1≠∠2可推出∠1≠∠EOB，而∠1和∠EOB是对顶角，根据对顶角相等的性质二者一定相等，此时就出现了和已有定理矛盾的结论；第三步判定原结论成立，矛盾说明假设不成立，因此∠1=∠2。
【解析】
证明：假设∠1≠∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
又
∵∠1与∠EOB是对顶角，根据对顶角相等可得∠1=∠EOB，二者矛盾.
因此假设∠1≠∠2不成立，原结论正确。
【答案】
证明：假设∠1≠∠2.
∵AB//CD，
∴∠EOB=∠2.
∵∠1≠∠2，
∴∠1≠∠EOB.
这与对顶角相等矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，
∴∠1=∠2.
【知识点】
反证法；平行线的性质；对顶角的性质
【点评】
本题是反证法的基础应用题型，核心考查反证法的证明逻辑，解题的关键是熟练掌握反证法的步骤，结合所学几何性质找到推导过程中的矛盾点，掌握方法后即可轻松解决。
【难度系数】
0.7
