1. [教材P54练习第3题改编]如图，点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上，过点B分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为点A，C，则矩形OABC的面积为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

1.B

【分析】
解题时首先观察题目特征：已知点B在反比例函数图象上，过B作两坐标轴的垂线形成矩形，求矩形面积。我们可以从两个角度思考：①回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积等于$|k|$，直接代入k的值计算即可；②也可以设出点B的坐标，用坐标表示矩形的长和宽，结合点在反比例函数上满足解析式，计算长宽的乘积得到面积，两种方法都能快速得到结果。
【解析】
方法1：利用反比例函数k的几何意义求解
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，过图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，所得矩形的面积为$\left|k\right|$。
本题中反比例函数解析式为$y=\frac{2}{x}$，即$k=2$，因此矩形OABC的面积$=\left|k\right|=2$。
方法2：设点坐标求解
设点B的坐标为$(m,n)$，其中$m＞0,n＞0$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象上，
∴将$x=m,y=n$代入解析式得：$n=\frac{2}{m}$，整理得$mn=2$。
由图可知，矩形OABC的长$OA=m$，宽$OC=n$，
∴矩形OABC的面积$=OA· OC=mn=2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数k的几何意义；矩形的面积计算；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，核心考查反比例函数中k的几何意义，熟练掌握该性质可以直接得出结果，无需复杂计算。
【难度系数】
0.9

2. 如图,在平面直角坐标系中,A 是函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$图象上的点,过点 A 作 y 轴的垂线交 y 轴于点 B,点 C 在 x 轴上.若$△ ABC$的面积为 1,则 k 的值为.

2.-2

【分析】
首先回忆反比例函数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作x轴或y轴的垂线，所得直角三角形的面积为$\frac{1}{2}|k|$。观察图形可知，AB垂直于y轴，因此AB平行于x轴，$△ ABC$和以AB、OB为直角边的$△ OAB$同底等高，二者面积相等，由此可建立面积和k的关系，再结合函数图象所在象限确定k的符号即可求解。
【解析】
设点A的坐标为$(x,y)$，其中$x＜0,y＞0$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象上，
∴ $k=xy$。
∵ AB垂直y轴，
∴ $AB=|x|=-x$，且直线AB平行于x轴，点C在x轴上，因此点C到直线AB的距离等于A点的纵坐标$y$。
已知$△ ABC$的面积为1，由三角形面积公式得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × \mathrm{高} = \frac{1}{2} × (-x) × y =1$，
整理得$-xy=2$，即$xy=-2$，
∴ $k=xy=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
反比例函数k的几何意义，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是利用平行线间距离处处相等，将$△ ABC$的面积转化为和反比例函数k相关的三角形面积，结合图象所在象限即可快速得到k的值，解题时注意不要遗漏k的符号判断。
【难度系数】
0.7

3. [2026·芜湖二模]如图，一次函数$y=ax+b$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于M，N两点，则关于x的不等式$ax+b≥\frac{k}{x}$的解集为（）

A.$x≤2$
B.$x≤-1$或$x≥2$
C.$-1≤x≤2$
D.$-1≤x＜0$或$x≥2$

3.D

【分析】
要解不等式$ax+b≥\frac{k}{x}$，可利用数形结合思想：该不等式的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方（含交点）时对应的$x$的取值范围。首先需要先确定两个交点的横坐标：先通过已知的N点坐标求出反比例函数的解析式，再求出M点的横坐标，最后分$x＞0$和$x＜0$两个区间观察图象位置，注意反比例函数中$x≠0$，即可得到解集。
【解析】
1. 求反比例函数解析式：由图可知交点$N$的坐标为$(-1,-4)$，代入$y=\frac{k}{x}$得$k=(-1)×(-4)=4$，即反比例函数为$y=\frac{4}{x}$。
2. 求M点横坐标：已知M点纵坐标为2，代入$y=\frac{4}{x}$得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$，即M点横坐标为2。
3. 结合图象找解集：不等式$ax+b≥\frac{k}{x}$对应一次函数图象不低于反比例函数图象的$x$范围：
当$x＜0$时，满足条件的$x$范围是$-1≤x＜0$（$x=0$时分式无意义，需排除）；
当$x＞0$时，满足条件的$x$范围是$x≥2$。
综上，不等式的解集为$-1≤x＜0$或$x≥2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，数形结合解不等式，反比例函数性质
【点评】
本题重点考查数形结合思想的应用，解题的核心是将不等式问题转化为函数图象的高低位置关系，解题时需注意反比例函数自变量$x$不能为0，避免因忽略定义域导致错选。
【难度系数】
0.7

4.如图，点A，B分别在反比例函数$y=\frac{5}{x}$和$y=\frac{k}{x}$的图象上，且$AB// x$轴.若$△ OAB$的面积是$\frac{3}{2}$，则k的值是.

4.8

【分析】
首先观察到AB平行于x轴，可知A、B两点纵坐标相同，结合反比例函数中k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，该点、垂足与原点构成的直角三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$。我们可以延长BA交y轴于点C，构造出两个分别对应两个反比例函数的直角三角形$△ OAC$和$△ OBC$，$△ OAB$的面积恰好是这两个直角三角形的面积差，据此列方程即可求出k的值。
【解析】
延长BA交y轴于点C。
∵$AB// x$轴，
∴$BC⊥ y$轴。
∵点A在反比例函数$y=\frac{5}{x}$的图象上，根据反比例函数k的几何意义，得$S_{△ OAC}=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
∵点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，且函数图象位于第一象限，$k＞0$，同理得$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}k$。
由图可知$S_{△ OAB}=S_{△ OBC}-S_{△ OAC}$，已知$S_{△ OAB}=\frac{3}{2}$，代入得：
$\frac{1}{2}k - \frac{5}{2} = \frac{3}{2}$
两边同乘2得：$k - 5 = 3$，解得$k=8$。
【答案】
8
【知识点】
1.反比例函数k的几何意义
2.坐标与图形性质
【点评】
本题是反比例函数的常见题型，解题关键是通过辅助线将所求三角形面积转化为两个与反比例函数k值相关的直角三角形的面积差，熟练掌握反比例函数k的几何意义能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7

5. 将正方形①和②在同一平面直角坐标系中按如图所示的方式摆放，它们分别有一个顶点A，B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上。
若正方形①的面积是4，则正方形②的边长是。

5.$\sqrt{5}-1$

【分析】
解题思路分为两步：第一步，先根据正方形①的面积求出其边长，结合图形得到点A的坐标，代入反比例函数解析式求出k的值，确定反比例函数的表达式；第二步，设正方形②的边长为a，根据两个正方形的位置关系表示出点B的坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式，得到关于a的一元二次方程，取正根即可得到正方形②的边长。
【解析】
1. 求正方形①的边长及反比例函数解析式：
已知正方形①的面积是4，因此正方形①的边长为$\sqrt{4}=2$。
结合图形可知，点A的横坐标和纵坐标均等于正方形①的边长，即$A(2,2)$。
将$A(2,2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$2=\frac{k}{2}$，解得$k=4$，因此反比例函数解析式为$y=\frac{4}{x}$。
2. 列方程求正方形②的边长：
设正方形②的边长为$a(a＞0)$，结合图形可知，点B的横坐标为正方形①的边长加a，纵坐标为a，即$B(2+a,a)$。
因为点B在$y=\frac{4}{x}$的图象上，代入得：
$a=\frac{4}{2+a}$
去分母整理得：$a^2+2a-4=0$
由求根公式解得：$a=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4×1×(-4)}}{2×1}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}$
因为边长为正数，所以舍去负根，得$a=\sqrt{5}-1$。
【答案】
$\sqrt{5}-1$
【知识点】
反比例函数图象与性质；正方形的性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题是反比例函数与几何图形的综合题，核心是结合正方形的性质准确表示出反比例函数图象上点的坐标，再代入解析式列方程求解，很好地考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6

6. [2024·东营中考]如图,一次函数$y=mx+n(m≠0)$的图象与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(-3,a),B(1,3)$,且一次函数与$x$轴、$y$轴分别交于点$C,D$.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)根据图象直接写出不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集;
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点$P$,使得$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}$,求点$P$的坐标.

(1)反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$,一次函数的表达式为$y=x+2$.
(2)$-3＜x＜0$或$x＞1$.
(3)点 P 的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$.

【分析】
(1)求函数表达式用待定系数法：先将点B坐标代入反比例函数解析式求出k，得到反比例函数表达式；再将点A代入反比例函数求出a的值，得到点A坐标，最后将A、B两点坐标代入一次函数解析式，解二元一次方程组求出m、n即可得到一次函数表达式。
(2)不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的几何意义是一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围，结合两个函数的交点坐标，分x＜0和x＞0两个区间观察图象即可得到解集。
(3)先求出一次函数与坐标轴的交点C、D的坐标，计算$△ OBD$的面积，再根据面积关系得到$△ OCP$的面积，结合OC的长度求出点P的纵坐标，最后代入反比例函数解析式求出点P的横坐标即可，注意点P在第三象限，横纵坐标均为负数。
【解析】
(1) 将$B(1,3)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{1}$，解得$k=3$，
∴ 反比例函数的表达式为$y=\frac{3}{x}$。
∵ 点$A(-3,a)$在反比例函数图象上，
∴ $a=\frac{3}{-3}=-1$，即$A(-3,-1)$。
将$A(-3,-1)$、$B(1,3)$代入一次函数$y=mx+n$，得：
$\begin{cases}-3m+n=-1 \\ m+n=3 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得$4m=4$，解得$m=1$，
将$m=1$代入$m+n=3$，得$n=2$，
∴ 一次函数的表达式为$y=x+2$。
(2) 观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围为：$-3＜x＜0$或$x＞1$，
即不等式$mx+n＞\frac{k}{x}$的解集为$-3＜x＜0$或$x＞1$。
(3) 对于一次函数$y=x+2$：
令$y=0$，得$x=-2$，
∴ $C(-2,0)$，$OC=2$；
令$x=0$，得$y=2$，
∴ $D(0,2)$，$OD=2$。
$△ OBD$中，以$OD$为底，点$B$到$y$轴的距离为高，
∴ $S_{△ OBD}=\frac{1}{2} × OD × 1=\frac{1}{2} × 2 × 1=1$。
由题意得$S_{△ OCP}=4S_{△ OBD}=4×1=4$。
设点$P$的坐标为$(t,\frac{3}{t})$，
∵ $P$在第三象限，
∴ $t＜0$，$\frac{3}{t}＜0$。
$△ OCP$中，以$OC$为底，点$P$到$x$轴的距离（即$|y_P|=-\frac{3}{t}$）为高，
∴ $S_{△ OCP}=\frac{1}{2} × OC × |y_P|=\frac{1}{2} × 2 × (-\frac{3}{t})=-\frac{3}{t}=4$，
解得$t=-\frac{3}{4}$，
则$\frac{3}{t}=\frac{3}{-\frac{3}{4}}=-4$，
∴ 点$P$的坐标为$(-\frac{3}{4},-4)$。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=\frac{3}{x}}$，一次函数的表达式为$\boldsymbol{y=x+2}$；
(2) $\boldsymbol{-3＜x＜0}$或$\boldsymbol{x＞1}$；
(3) 点P的坐标为$\boldsymbol{(-\frac{3}{4},-4)}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，函数图象解不等式，反比例函数面积计算
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，既考查了函数解析式的常规求解方法，也考查了数形结合思想在解不等式中的应用，最后一问结合面积求点坐标，需要注意象限内点坐标的符号特征，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.7