登录
1.如图，$\odot O$的半径为5，AB为弦，$OC⊥ AB$，垂足为C.如果$OC=3$，那么弦AB的长为.
答案
$\boldsymbol{8}$
解析
解：连接OA。
∵ $\odot O$的半径为5，
∴ $OA=5$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ OCA=90°$，$OA=5$，$OC=3$，
∴ $AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴ $AB=2AC=8$。
∵ $\odot O$的半径为5，
∴ $OA=5$。
∵ $OC⊥ AB$，
∴ 由垂径定理得：$AC=BC=\frac{1}{2}AB$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ OCA=90°$，$OA=5$，$OC=3$，
∴ $AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=4$，
∴ $AB=2AC=8$。
2.如图，点A在$\odot O$上，弦BC垂直平分OA，垂足为D.若$OA=4$，则BC的长为.
答案
$\boldsymbol{4\sqrt{3}}$
解析
解：连接OB。
∵ 弦BC垂直平分OA，OA=4，
∴ OD = $\frac{1}{2}$OA = 2，OB=OA=4，BC⊥OA，
由垂径定理得：BC = 2BD。
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
BD = $\sqrt{OB^2 - OD^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $2\sqrt{3}$，
∴ BC = 2BD = $4\sqrt{3}$。
最终
∵ 弦BC垂直平分OA，OA=4，
∴ OD = $\frac{1}{2}$OA = 2，OB=OA=4，BC⊥OA，
由垂径定理得：BC = 2BD。
在Rt△ODB中，由勾股定理得：
BD = $\sqrt{OB^2 - OD^2}$ = $\sqrt{4^2 - 2^2}$ = $2\sqrt{3}$，
∴ BC = 2BD = $4\sqrt{3}$。
最终
3. 提升题 半径为13的一个圆内有两条弦的长分别为10和24，这两条弦的中点间的距离d的取值范围是。
答案
$\boldsymbol{7≤ d≤17}$
解析
解：设该圆的圆心为O，长度为10的弦的中点为M，长度为24的弦的中点为N，连接OM、ON。
由垂径定理可知，OM垂直平分长为10的弦，ON垂直平分长为24的弦。
计算弦心距：
$OM=\sqrt{13^2-(\frac{10}{2})^2}=\sqrt{169-25}=12$
$ON=\sqrt{13^2-(\frac{24}{2})^2}=\sqrt{169-144}=5$
根据三角形三边关系，两点M、N的距离满足：
$|OM-ON|≤ d≤ OM+ON$
代入数值得：
$|12-5|≤ d≤ 12+5$
即$7≤ d≤17$。
由垂径定理可知，OM垂直平分长为10的弦，ON垂直平分长为24的弦。
计算弦心距：
$OM=\sqrt{13^2-(\frac{10}{2})^2}=\sqrt{169-25}=12$
$ON=\sqrt{13^2-(\frac{24}{2})^2}=\sqrt{169-144}=5$
根据三角形三边关系，两点M、N的距离满足：
$|OM-ON|≤ d≤ OM+ON$
代入数值得：
$|12-5|≤ d≤ 12+5$
即$7≤ d≤17$。
4.如图,两个圆都是以O为圆心,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.
(1)求证:AC=BD;
(2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5,求大圆的半径.
(1)求证:AC=BD;
(2)若AB=8,BD=1,小圆的半径为5,求大圆的半径.
答案
(1) 证明：
过点$ O $作$ OE ⊥ AB $，垂足为$ E $。
∵ 圆心为$ O $，由垂径定理可得：
在大圆中，$ AE = BE $；
在小圆中，$ CE = DE $。
∴ $ AE - CE = BE - DE $，
即 $ AC = BD $。
(2) 解：
∵ $ AB=8 $，$ BD=1 $，且由(1)知$ AC=BD=1 $，
∴ $ CD = AB - AC - BD = 8 - 1 - 1 = 6 $，
∴ $ CE = \frac{1}{2}CD = 3 $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCE $中，小圆半径$ OC=5 $，$ CE=3 $，
由勾股定理得：
$ OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $。
由垂径定理得$ BE = \frac{1}{2}AB = 4 $，
在$ \mathrm{Rt}△ OBE $中，由勾股定理得：
$ OB = \sqrt{OE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} $。
答：大圆的半径为$ 4\sqrt{2} $。
过点$ O $作$ OE ⊥ AB $，垂足为$ E $。
∵ 圆心为$ O $，由垂径定理可得：
在大圆中，$ AE = BE $；
在小圆中，$ CE = DE $。
∴ $ AE - CE = BE - DE $，
即 $ AC = BD $。
(2) 解：
∵ $ AB=8 $，$ BD=1 $，且由(1)知$ AC=BD=1 $，
∴ $ CD = AB - AC - BD = 8 - 1 - 1 = 6 $，
∴ $ CE = \frac{1}{2}CD = 3 $。
在$ \mathrm{Rt}△ OCE $中，小圆半径$ OC=5 $，$ CE=3 $，
由勾股定理得：
$ OE = \sqrt{OC^2 - CE^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4 $。
由垂径定理得$ BE = \frac{1}{2}AB = 4 $，
在$ \mathrm{Rt}△ OBE $中，由勾股定理得：
$ OB = \sqrt{OE^2 + BE^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} $。
答：大圆的半径为$ 4\sqrt{2} $。
5. 提升题 隧道的示意图如图所示.某学习小组用一根长为7 m的笔直竹竿CD去辅助测量,点C在圆弧上,点D在地面AB上,且CD⊥AB.测得AB=8 m,AD=1 m.
(1)若OE⊥AB于点E,求DE的长;
(2)求隧道轮廓的最大高度.
(1)若OE⊥AB于点E,求DE的长;
(2)求隧道轮廓的最大高度.
答案
解：
(1) ∵ $OE⊥ AB$，OE为圆的半径，
由垂径定理得：$AE = \frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=8\ \mathrm{m}$，
∴ $AE=4\ \mathrm{m}$，
又∵ $AD=1\ \mathrm{m}$，
∴ $DE=AE-AD=4-1=3\ \mathrm{m}$。
(2) 连接OC，设圆O的半径为$R\ \mathrm{m}$，$OE=y\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + AE^2 = OA^2$，即 $y^2 + 4^2 = R^2$ ①
过点O作$OF⊥ CD$于点F，
∵ $CD⊥ AB$，$OE⊥ AB$，
∴ 四边形ODEF是矩形，
∴ $OF=DE=3\ \mathrm{m}$，$DF=OE=y\ \mathrm{m}$，
∴ $CF=CD-DF=(7-y)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$，即 $3^2 + (7-y)^2 = R^2$ ②
将①代入②，得：
$9 + (7-y)^2 = y^2 + 16$
整理得：$14y=42$，解得$y=3$。
将$y=3$代入①，得$3^2 + 4^2 = R^2$，
∵ $R＞0$，∴ $R=5$。
隧道轮廓的最大高度为$R + OE = 5 + 3 = 8\ \mathrm{m}$。
答：(1) DE的长为3 m；(2) 隧道轮廓的最大高度为8 m。
(1) ∵ $OE⊥ AB$，OE为圆的半径，
由垂径定理得：$AE = \frac{1}{2}AB$，
∵ $AB=8\ \mathrm{m}$，
∴ $AE=4\ \mathrm{m}$，
又∵ $AD=1\ \mathrm{m}$，
∴ $DE=AE-AD=4-1=3\ \mathrm{m}$。
(2) 连接OC，设圆O的半径为$R\ \mathrm{m}$，$OE=y\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AOE$中，由勾股定理得：
$OE^2 + AE^2 = OA^2$，即 $y^2 + 4^2 = R^2$ ①
过点O作$OF⊥ CD$于点F，
∵ $CD⊥ AB$，$OE⊥ AB$，
∴ 四边形ODEF是矩形，
∴ $OF=DE=3\ \mathrm{m}$，$DF=OE=y\ \mathrm{m}$，
∴ $CF=CD-DF=(7-y)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理得：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$，即 $3^2 + (7-y)^2 = R^2$ ②
将①代入②，得：
$9 + (7-y)^2 = y^2 + 16$
整理得：$14y=42$，解得$y=3$。
将$y=3$代入①，得$3^2 + 4^2 = R^2$，
∵ $R＞0$，∴ $R=5$。
隧道轮廓的最大高度为$R + OE = 5 + 3 = 8\ \mathrm{m}$。
答：(1) DE的长为3 m；(2) 隧道轮廓的最大高度为8 m。
