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4. 一个棱长6厘米的正方体，如果按1：2的比缩小，缩小后的正方体表面积是（
54
）平方厘米，体积是（27
）立方厘米。答案
54 27
解析
【分析】
解题时首先要明确按1:2的比缩小的含义，即缩小后的图形棱长是原棱长的$\frac{1}{2}$。第一步先计算出缩小后正方体的棱长，第二步再分别代入正方体表面积、体积的计算公式，就能求出对应的结果。
【解析】
1. 计算缩小后正方体的棱长：
原棱长为6厘米，按1:2缩小后，新棱长 = $6×\frac{1}{2}=3$（厘米）
2. 计算缩小后的正方体表面积：
正方体表面积公式：$S=6a^2$（$a$为棱长）
代入数据得：$S=6×3×3=54$（平方厘米）
3. 计算缩小后的正方体体积：
正方体体积公式：$V=a^3$（$a$为棱长）
代入数据得：$V=3×3×3=27$（立方厘米）
【答案】
54；27
【知识点】
图形的缩放；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题重点考察对图形缩放比例的理解和正方体表面积、体积公式的应用，解题的关键是先准确求出缩小后的棱长，计算时注意不要混淆表面积和体积的计算公式。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确按1:2的比缩小的含义，即缩小后的图形棱长是原棱长的$\frac{1}{2}$。第一步先计算出缩小后正方体的棱长，第二步再分别代入正方体表面积、体积的计算公式，就能求出对应的结果。
【解析】
1. 计算缩小后正方体的棱长：
原棱长为6厘米，按1:2缩小后，新棱长 = $6×\frac{1}{2}=3$（厘米）
2. 计算缩小后的正方体表面积：
正方体表面积公式：$S=6a^2$（$a$为棱长）
代入数据得：$S=6×3×3=54$（平方厘米）
3. 计算缩小后的正方体体积：
正方体体积公式：$V=a^3$（$a$为棱长）
代入数据得：$V=3×3×3=27$（立方厘米）
【答案】
54；27
【知识点】
图形的缩放；正方体表面积计算；正方体体积计算
【点评】
本题重点考察对图形缩放比例的理解和正方体表面积、体积公式的应用，解题的关键是先准确求出缩小后的棱长，计算时注意不要混淆表面积和体积的计算公式。
【难度系数】
0.8
5. 用3根相同的小棒可以摆成一个正三角形。若要摆成一个边长为原来4倍的正三角形，还需要多少根这样的小棒？
答案
$3×4−3=9$(根)
答:还需要9根这样的小棒。
答:还需要9根这样的小棒。
解析
【分析】
首先回忆正三角形的特征：正三角形三条边长度相等。原来的正三角形每条边对应1根小棒，要摆成边长为原来4倍的正三角形，每条边就需要4根小棒。我们可以先算出边长扩大4倍后的正三角形一共需要多少根小棒，再减去已经有的3根小棒，就能得到还需要的小棒数量。
【解析】
步骤1：计算边长为原来4倍的正三角形总共需要的小棒数量。
正三角形有3条边，每条边需要4根小棒，总数量为：$3×4=12$（根）
步骤2：减去已有的3根小棒，得到还需要的数量：$12-3=9$（根）
列综合算式：$3×4-3=9$（根）
【答案】
还需要9根这样的小棒。
【知识点】
1. 正三角形的特征
2. 倍数的实际应用
3. 整数两步计算
【点评】
本题重点考查对正三角形基本特征的掌握，以及倍数关系在实际问题中的应用，解题时需注意题干问的是“还需要”的小棒数，不要漏减已有的3根，避免直接将总根数当作结果的错误。
【难度系数】
0.8
首先回忆正三角形的特征：正三角形三条边长度相等。原来的正三角形每条边对应1根小棒，要摆成边长为原来4倍的正三角形，每条边就需要4根小棒。我们可以先算出边长扩大4倍后的正三角形一共需要多少根小棒，再减去已经有的3根小棒，就能得到还需要的小棒数量。
【解析】
步骤1：计算边长为原来4倍的正三角形总共需要的小棒数量。
正三角形有3条边，每条边需要4根小棒，总数量为：$3×4=12$（根）
步骤2：减去已有的3根小棒，得到还需要的数量：$12-3=9$（根）
列综合算式：$3×4-3=9$（根）
【答案】
还需要9根这样的小棒。
【知识点】
1. 正三角形的特征
2. 倍数的实际应用
3. 整数两步计算
【点评】
本题重点考查对正三角形基本特征的掌握，以及倍数关系在实际问题中的应用，解题时需注意题干问的是“还需要”的小棒数，不要漏减已有的3根，避免直接将总根数当作结果的错误。
【难度系数】
0.8
6. 如图，哥哥和弟弟分别将小区内同一个圆形花坛的平面图画在了数学本上。如果圆$O_1$是哥哥按$1:n$（其中$n＞1$）的比缩小画的，那么圆$O_2$是弟弟按(
A.$1:2n$
B.$1:\frac{1}{2}n$
C.$2n:1$
D.$2:1$
B
)的比缩小画的。A.$1:2n$
B.$1:\frac{1}{2}n$
C.$2n:1$
D.$2:1$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先要明确：同一个圆形花坛的实际半径是固定不变的，比例尺的计算公式为“比例尺=图上距离:实际距离”。我们可以先根据哥哥画图的图上半径和对应的比例尺，算出花坛的实际半径，再结合弟弟画图的图上半径，就能求出弟弟所用的缩小比例尺。
【解析】
1. 计算花坛的实际半径：
已知哥哥画的圆$O_1$图上半径为10cm，比例尺为$1:n$，根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，可得花坛实际半径为：
$10÷ \frac{1}{n}=10n$（cm）
2. 计算弟弟画图的比例尺：
弟弟画的圆$O_2$图上半径为20cm，实际半径为$10n$cm，根据比例尺公式可得：
$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}=\frac{20}{10n}=\frac{2}{n}=1:\frac{1}{2}n$
所以弟弟是按$1:\frac{1}{2}n$的比缩小画的。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例尺的计算
2. 图形的放大与缩小
【点评】
本题将比例尺的知识和圆的特征结合，解题核心是抓住实际长度不变这一隐藏条件，既考查对比例尺基本概念的理解，也考查灵活运用公式解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：同一个圆形花坛的实际半径是固定不变的，比例尺的计算公式为“比例尺=图上距离:实际距离”。我们可以先根据哥哥画图的图上半径和对应的比例尺，算出花坛的实际半径，再结合弟弟画图的图上半径，就能求出弟弟所用的缩小比例尺。
【解析】
1. 计算花坛的实际半径：
已知哥哥画的圆$O_1$图上半径为10cm，比例尺为$1:n$，根据“实际距离=图上距离÷比例尺”，可得花坛实际半径为：
$10÷ \frac{1}{n}=10n$（cm）
2. 计算弟弟画图的比例尺：
弟弟画的圆$O_2$图上半径为20cm，实际半径为$10n$cm，根据比例尺公式可得：
$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}=\frac{20}{10n}=\frac{2}{n}=1:\frac{1}{2}n$
所以弟弟是按$1:\frac{1}{2}n$的比缩小画的。
【答案】
B
【知识点】
1. 比例尺的计算
2. 图形的放大与缩小
【点评】
本题将比例尺的知识和圆的特征结合，解题核心是抓住实际长度不变这一隐藏条件，既考查对比例尺基本概念的理解，也考查灵活运用公式解决问题的能力。
【难度系数】
0.6
7. 设计人员按1：200的比制作了两幢大楼的模型。
（1）甲楼模型高1.8分米，甲楼的实际高度是多少米？
（2）乙楼的实际高度是48米，乙楼模型高多少分米？
（1）甲楼模型高1.8分米，甲楼的实际高度是多少米？
（2）乙楼的实际高度是48米，乙楼模型高多少分米？
答案
(1) 1.8分米=0.18米
$0.18×200=36$(米)
答:甲楼的实际高度是36米。
(2) $48÷200=0.24$(米)
0.24米=2.4分米
答:乙楼模型高2.4分米。
$0.18×200=36$(米)
答:甲楼的实际高度是36米。
(2) $48÷200=0.24$(米)
0.24米=2.4分米
答:乙楼模型高2.4分米。
解析
【分析】
这道题是比例尺的实际应用问题，首先要明确1:200的含义是模型高度:实际高度=1:200，即实际高度是模型高度的200倍，模型高度是实际高度的$\frac{1}{200}$，解题过程中要注意单位的统一：
1. 求甲楼实际高度：已知模型高度，先把模型高度的单位转换为和所求实际高度一致的单位，再乘200即可得到实际高度；
2. 求乙楼模型高度：已知实际高度，先用实际高度除以200得到以米为单位的模型高度，再转换为分米即可。
【解析】
（1）先统一单位：$1.8$分米$=0.18$米
根据比例尺对应的倍数关系，实际高度是模型高度的200倍：
$0.18×200=36$（米）
答：甲楼的实际高度是36米。
（2）先计算以米为单位的模型高度：
$48÷200=0.24$（米）
再转换单位为分米：$0.24$米$=2.4$分米
答：乙楼模型高2.4分米。
【答案】
（1）甲楼的实际高度是36米；（2）乙楼模型高2.4分米。
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺在实际生活中的应用，解题核心是准确理解比例尺的含义，理清模型高度和实际高度的倍数关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
这道题是比例尺的实际应用问题，首先要明确1:200的含义是模型高度:实际高度=1:200，即实际高度是模型高度的200倍，模型高度是实际高度的$\frac{1}{200}$，解题过程中要注意单位的统一：
1. 求甲楼实际高度：已知模型高度，先把模型高度的单位转换为和所求实际高度一致的单位，再乘200即可得到实际高度；
2. 求乙楼模型高度：已知实际高度，先用实际高度除以200得到以米为单位的模型高度，再转换为分米即可。
【解析】
（1）先统一单位：$1.8$分米$=0.18$米
根据比例尺对应的倍数关系，实际高度是模型高度的200倍：
$0.18×200=36$（米）
答：甲楼的实际高度是36米。
（2）先计算以米为单位的模型高度：
$48÷200=0.24$（米）
再转换单位为分米：$0.24$米$=2.4$分米
答：乙楼模型高2.4分米。
【答案】
（1）甲楼的实际高度是36米；（2）乙楼模型高2.4分米。
【知识点】
比例尺的应用、长度单位换算
【点评】
本题考查比例尺在实际生活中的应用，解题核心是准确理解比例尺的含义，理清模型高度和实际高度的倍数关系，计算时要注意单位的统一，避免因单位混淆出现错误。
【难度系数】
0.8
8. 兰兰和妈妈有一张合影（如图）。兰兰用直尺量得照片中的自己高6厘米，妈妈高9厘米。现实中，兰兰的身高是1米20厘米。
（1）这张照片是按怎样的比把人缩小的？
（2）现实中，兰兰与妈妈身高的比是多少？
（1）这张照片是按怎样的比把人缩小的？
（2）现实中，兰兰与妈妈身高的比是多少？
答案
(1) 1米20厘米=120厘米
$6:120=1:20$
答:这张照片是按$1:20$的比把人缩小的。
(2) $6:9=2:3$
答:兰兰与妈妈身高的比是$2:3$。
$6:120=1:20$
答:这张照片是按$1:20$的比把人缩小的。
(2) $6:9=2:3$
答:兰兰与妈妈身高的比是$2:3$。
解析
【分析】
（1）求照片的缩小比，本质是求图上距离与实际距离的比，解题时首先要统一长度单位，将兰兰的实际身高换算为厘米作单位，再用照片中兰兰的身高与实际身高作比，化简后即可得到缩小比例。
（2）因为照片对两个人的缩放比例是完全相同的，所以两人实际身高的比和照片中身高的比相等，直接化简照片中两人的身高比就能得到实际身高比，无需额外计算妈妈的实际身高，可简化解题步骤。
【解析】
（1）先统一单位：1米20厘米 = 120厘米
照片缩小比为图上兰兰身高与实际兰兰身高的比，即$6:120$，化简得$1:20$。
（2）同比例缩放时，两个量的比值保持不变，因此兰兰与妈妈的实际身高比等于照片中两人的身高比$6:9$，化简得$2:3$。
【答案】
(1) 1米20厘米=120厘米
$6:120=1:20$
答:这张照片是按$1:20$的比把人缩小的。
(2) $6:9=2:3$
答:兰兰与妈妈身高的比是$2:3$。
【知识点】
比例尺计算、比的化简、比例的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了单位换算、比的化简等基础能力，也考查了对比例缩放规律的理解，解题时注意比的前后项顺序不要颠倒，统一单位是计算比例尺的关键前提。
【难度系数】
0.75
（1）求照片的缩小比，本质是求图上距离与实际距离的比，解题时首先要统一长度单位，将兰兰的实际身高换算为厘米作单位，再用照片中兰兰的身高与实际身高作比，化简后即可得到缩小比例。
（2）因为照片对两个人的缩放比例是完全相同的，所以两人实际身高的比和照片中身高的比相等，直接化简照片中两人的身高比就能得到实际身高比，无需额外计算妈妈的实际身高，可简化解题步骤。
【解析】
（1）先统一单位：1米20厘米 = 120厘米
照片缩小比为图上兰兰身高与实际兰兰身高的比，即$6:120$，化简得$1:20$。
（2）同比例缩放时，两个量的比值保持不变，因此兰兰与妈妈的实际身高比等于照片中两人的身高比$6:9$，化简得$2:3$。
【答案】
(1) 1米20厘米=120厘米
$6:120=1:20$
答:这张照片是按$1:20$的比把人缩小的。
(2) $6:9=2:3$
答:兰兰与妈妈身高的比是$2:3$。
【知识点】
比例尺计算、比的化简、比例的应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题，既考查了单位换算、比的化简等基础能力，也考查了对比例缩放规律的理解，解题时注意比的前后项顺序不要颠倒，统一单位是计算比例尺的关键前提。
【难度系数】
0.75
