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1.有一种游戏的规则如下:你任想一个数,将这个数乘3,加上9,除以3,最后减去你所想的数,我就知道结果是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C
解析
【分析】
遇到这类涉及“任意一个数”的运算规律题，我们可以通过设字母表示这个任意数的方法来求解：首先用字母表示所想的未知数字，再严格按照题目给出的运算顺序逐步列出代数式，最后对代数式进行化简，若化简后消去了所设的字母，说明结果和初始所想的数无关，直接得到固定结果即可。也可以用特殊值代入法，随便选一个数字按照规则计算，也能快速得到答案。
【解析】
方法一（代数法）：设任想的数为$ x $，按照运算规则分步计算：
1. 将这个数乘3：$ 3x $
2. 加上9：$ 3x + 9 $
3. 除以3：$ (3x + 9) ÷ 3 = x + 3 $
4. 减去所想的数：$ (x + 3) - x = 3 $
方法二（特殊值法）：假设所想的数是1，按规则计算：
$ (1 × 3 + 9) ÷ 3 - 1 = (3 + 9) ÷ 3 - 1 = 12 ÷ 3 - 1 = 4 - 1 = 3 $
因此结果固定为3。
【答案】
C
【知识点】
用字母表示数、列代数式、整式的加减运算
【点评】
本题属于运算规律探究类基础题，既可以通过代数化简得到通用结论，也可以用特殊值代入快速求解，解题的关键是准确将文字描述的运算转化为数学式子，熟练掌握整式的基本运算即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
遇到这类涉及“任意一个数”的运算规律题，我们可以通过设字母表示这个任意数的方法来求解：首先用字母表示所想的未知数字，再严格按照题目给出的运算顺序逐步列出代数式，最后对代数式进行化简，若化简后消去了所设的字母，说明结果和初始所想的数无关，直接得到固定结果即可。也可以用特殊值代入法，随便选一个数字按照规则计算，也能快速得到答案。
【解析】
方法一（代数法）：设任想的数为$ x $，按照运算规则分步计算：
1. 将这个数乘3：$ 3x $
2. 加上9：$ 3x + 9 $
3. 除以3：$ (3x + 9) ÷ 3 = x + 3 $
4. 减去所想的数：$ (x + 3) - x = 3 $
方法二（特殊值法）：假设所想的数是1，按规则计算：
$ (1 × 3 + 9) ÷ 3 - 1 = (3 + 9) ÷ 3 - 1 = 12 ÷ 3 - 1 = 4 - 1 = 3 $
因此结果固定为3。
【答案】
C
【知识点】
用字母表示数、列代数式、整式的加减运算
【点评】
本题属于运算规律探究类基础题，既可以通过代数化简得到通用结论，也可以用特殊值代入快速求解，解题的关键是准确将文字描述的运算转化为数学式子，熟练掌握整式的基本运算即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.（教材P99习题T3变式）小明和小亮做猜数字游戏，小明对小亮说：“你心里想好一个两位数，将十位数字乘2，然后加3，再将所得新数乘5，最后将得到的数加上个位数字，计算出结果。”小亮计算后说得到的是37，小明立刻说出了小亮心里想的两位数是
22
。答案
2.22
解析
【分析】
我们可以通过设未知数的方式表示出两位数的十位和个位数字，再按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，化简后就能找到最终运算结果与原两位数的数量关系，代入小亮给出的结果即可求出原数。
【解析】
设小亮心里想的两位数的十位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），个位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），则这个两位数可表示为$10a+b$。
按照题目要求的运算步骤列式：
1. 十位数字乘2：$2a$
2. 加3：$2a+3$
3. 所得新数乘5：$5(2a+3)=10a+15$
4. 加上个位数字：$10a+15 + b$
已知最终结果为37，可列等式：
$10a + b + 15 = 37$
移项得：$10a + b = 37 - 15 = 22$
$10a+b$就是原两位数，因此小亮心里想的数是22。
【答案】
22
【知识点】
用字母表示数，整式的化简，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的运算规律类题目，核心是将文字描述的运算转化为代数式，通过化简快速找到运算前后的数量关系，无需分别求解两个数位上的数字即可得到答案，掌握代数转化思路能大大提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
我们可以通过设未知数的方式表示出两位数的十位和个位数字，再按照题目给出的运算顺序列出对应的代数式，化简后就能找到最终运算结果与原两位数的数量关系，代入小亮给出的结果即可求出原数。
【解析】
设小亮心里想的两位数的十位数字为$a$（$1≤ a≤9$，且$a$为整数），个位数字为$b$（$0≤ b≤9$，且$b$为整数），则这个两位数可表示为$10a+b$。
按照题目要求的运算步骤列式：
1. 十位数字乘2：$2a$
2. 加3：$2a+3$
3. 所得新数乘5：$5(2a+3)=10a+15$
4. 加上个位数字：$10a+15 + b$
已知最终结果为37，可列等式：
$10a + b + 15 = 37$
移项得：$10a + b = 37 - 15 = 22$
$10a+b$就是原两位数，因此小亮心里想的数是22。
【答案】
22
【知识点】
用字母表示数，整式的化简，一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的运算规律类题目，核心是将文字描述的运算转化为代数式，通过化简快速找到运算前后的数量关系，无需分别求解两个数位上的数字即可得到答案，掌握代数转化思路能大大提高同类题的解题效率。
【难度系数】
0.7
3. 一个数学游戏的步骤如下：
第一步:取一个自然数$x_1=5$,计算$x_1^2+1$得$y_1$；
第二步:算出$y_1$的各数位上的数字之和得$x_2$,计算$x_2^2+1$得$y_2$；
第三步:算出$y_2$的各数位上的数字之和得$x_3$,计算$x_3^2+1$得$y_3$；
……
以此类推,则$y_{30}=$
第一步:取一个自然数$x_1=5$,计算$x_1^2+1$得$y_1$；
第二步:算出$y_1$的各数位上的数字之和得$x_2$,计算$x_2^2+1$得$y_2$；
第三步:算出$y_2$的各数位上的数字之和得$x_3$,计算$x_3^2+1$得$y_3$；
……
以此类推,则$y_{30}=$
122
.答案
3.122
解析
【分析】
这是一道数字规律探究题，因为递推步骤较多，不可能直接计算到第30步，所以解题思路是：先按照题目给出的运算规则依次计算前几步的结果，观察数值的变化特点，找到循环周期，再用总步数除以周期，根据余数确定$y_{30}$对应的周期内的数值即可。
【解析】
按照题目规则逐步计算前几项：
1. 第一步：$x_1=5$，$y_1=x_1^2+1=5^2+1=26$；
2. 第二步：$y_1$的各数位数字之和为$2+6=8$，即$x_2=8$，$y_2=x_2^2+1=8^2+1=65$；
3. 第三步：$y_2$的各数位数字之和为$6+5=11$，即$x_3=11$，$y_3=x_3^2+1=11^2+1=122$；
4. 第四步：$y_3$的各数位数字之和为$1+2+2=5$，即$x_4=5$，$y_4=x_4^2+1=26$。
此时发现$x_4=x_1$，$y_4=y_1$，说明运算结果每3步为一个循环周期，周期内的$y$值依次为26、65、122。
计算$30÷3=10$，余数为0，说明$y_{30}$是第10个周期的最后一个数，和$y_3$相等。
【答案】
122
【知识点】
有理数运算，数字规律探究，周期问题
【点评】
本题侧重考查运算能力和规律观察能力，只要耐心计算前3到4项就能快速找到循环周期，是规律类题型的典型考法，掌握周期判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是一道数字规律探究题，因为递推步骤较多，不可能直接计算到第30步，所以解题思路是：先按照题目给出的运算规则依次计算前几步的结果，观察数值的变化特点，找到循环周期，再用总步数除以周期，根据余数确定$y_{30}$对应的周期内的数值即可。
【解析】
按照题目规则逐步计算前几项：
1. 第一步：$x_1=5$，$y_1=x_1^2+1=5^2+1=26$；
2. 第二步：$y_1$的各数位数字之和为$2+6=8$，即$x_2=8$，$y_2=x_2^2+1=8^2+1=65$；
3. 第三步：$y_2$的各数位数字之和为$6+5=11$，即$x_3=11$，$y_3=x_3^2+1=11^2+1=122$；
4. 第四步：$y_3$的各数位数字之和为$1+2+2=5$，即$x_4=5$，$y_4=x_4^2+1=26$。
此时发现$x_4=x_1$，$y_4=y_1$，说明运算结果每3步为一个循环周期，周期内的$y$值依次为26、65、122。
计算$30÷3=10$，余数为0，说明$y_{30}$是第10个周期的最后一个数，和$y_3$相等。
【答案】
122
【知识点】
有理数运算，数字规律探究，周期问题
【点评】
本题侧重考查运算能力和规律观察能力，只要耐心计算前3到4项就能快速找到循环周期，是规律类题型的典型考法，掌握周期判断方法即可快速解题。
【难度系数】
0.7
4.(教材P99习题T4变式)有一种密码，将26个英文字母a,b,c,…,z不论大小写依次对应0,1,2,3,…,25这26个自然数(如表格)，当明码对应的序号x为奇数时，密码对应的序号为$\frac{|x-33|}{2}$；当明码对应的序号x为偶数时，密码对应的序号为$\frac{x}{2}+5$.按上述规定，将明码“efuz”译成密码是
hope
.答案
4.hope
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，先根据表格分别找到明码“e”“f”“u”“z”各自对应的序号x；第二步，判断每个x是奇数还是偶数，选择对应的密码序号计算公式代入计算；第三步，将计算得到的密码序号再对照表格转换为对应的字母，组合起来就是所求密码。
【解析】
我们逐个翻译明码：
1. 明码e：对应序号$x=4$，是偶数，代入偶数对应的公式：$\frac{x}{2}+5=\frac{4}{2}+5=2+5=7$，序号7对应字母h；
2. 明码f：对应序号$x=5$，是奇数，代入奇数对应的公式：$\frac{|x-33|}{2}=\frac{|5-33|}{2}=\frac{28}{2}=14$，序号14对应字母o；
3. 明码u：对应序号$x=20$，是偶数，代入偶数对应的公式：$\frac{x}{2}+5=\frac{20}{2}+5=10+5=15$，序号15对应字母p；
4. 明码z：对应序号$x=25$，是奇数，代入奇数对应的公式：$\frac{|x-33|}{2}=\frac{|25-33|}{2}=\frac{8}{2}=4$，序号4对应字母e；
将得到的字母组合，即为密码hope。
【答案】
hope
【知识点】
代数式求值；绝对值计算；数字规律探究
【点评】
本题考查分类讨论思想和基础运算能力，解题核心是先准确匹配明码字母与对应序号，再根据序号奇偶性选择正确的公式计算，最后转换回字母即可，计算时注意绝对值运算的规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，先根据表格分别找到明码“e”“f”“u”“z”各自对应的序号x；第二步，判断每个x是奇数还是偶数，选择对应的密码序号计算公式代入计算；第三步，将计算得到的密码序号再对照表格转换为对应的字母，组合起来就是所求密码。
【解析】
我们逐个翻译明码：
1. 明码e：对应序号$x=4$，是偶数，代入偶数对应的公式：$\frac{x}{2}+5=\frac{4}{2}+5=2+5=7$，序号7对应字母h；
2. 明码f：对应序号$x=5$，是奇数，代入奇数对应的公式：$\frac{|x-33|}{2}=\frac{|5-33|}{2}=\frac{28}{2}=14$，序号14对应字母o；
3. 明码u：对应序号$x=20$，是偶数，代入偶数对应的公式：$\frac{x}{2}+5=\frac{20}{2}+5=10+5=15$，序号15对应字母p；
4. 明码z：对应序号$x=25$，是奇数，代入奇数对应的公式：$\frac{|x-33|}{2}=\frac{|25-33|}{2}=\frac{8}{2}=4$，序号4对应字母e；
将得到的字母组合，即为密码hope。
【答案】
hope
【知识点】
代数式求值；绝对值计算；数字规律探究
【点评】
本题考查分类讨论思想和基础运算能力，解题核心是先准确匹配明码字母与对应序号，再根据序号奇偶性选择正确的公式计算，最后转换回字母即可，计算时注意绝对值运算的规则，避免粗心出错。
【难度系数】
0.7
5. 小明在研究数学问题时发现一个有趣的现象：
请用不同的三位数再做一做，你会发现什么有趣的现象？用学过的知识解释。
请用不同的三位数再做一做，你会发现什么有趣的现象？用学过的知识解释。
答案
解:举例不唯一,如:614−416=198,198+891=1 089.发现:结果一定是1 089.设百位数字为a(2＜a≤9,且a为整数),十位数字为b,则个位数字为a−2.
∴该三位数为100a+10b+a−2=101a+10b−2,交换百位数字与个位数字后的三位数为100(a−2)+10b+a=101a+10b−200.
∴101a+10b−2−(101a+10b−200)=198.
∴198+891=1 089.
∴结果一定是1 089.
∴该三位数为100a+10b+a−2=101a+10b−2,交换百位数字与个位数字后的三位数为100(a−2)+10b+a=101a+10b−200.
∴101a+10b−2−(101a+10b−200)=198.
∴198+891=1 089.
∴结果一定是1 089.
解析
【分析】
我们可以先从特殊例子入手，选取多个满足“百位数字比个位数字大2”的三位数，按题目步骤计算，先观察结果的共性，再通过用字母表示各数位数字，结合整式加减运算推导通用结论，验证规律是否成立。具体思路：①先举例计算，直观感知结果；②设百位数字为a、十位数字为b，根据题意得出个位数字为a-2，分别表示出原三位数和交换百位、个位后的三位数；③计算两数的差，再交换差的百位和个位数字后求和，即可验证结果是否固定。
【解析】
1. 举例验证：取三位数614（百位6比个位4大2），交换百位和个位得416，计算得$614-416=198$，交换198的百位和个位得891，相加得$198+891=1089$，与示例结果一致。
2. 代数推导：设这个三位数的百位数字为$a$（$2＜a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤b≤9$，且$b$为整数），则个位数字为$a-2$。
原三位数可表示为：$100a+10b+(a-2)=101a+10b-2$
交换百位和个位后的三位数可表示为：$100(a-2)+10b+a=101a+10b-200$
两数作差：$(101a+10b-2)-(101a+10b-200)=198$
交换198的百位和个位数字得到891，两数相加：$198+891=1089$
因此所有符合要求的三位数按步骤计算结果都相同。
【答案】
发现的现象：结果一定是1089。解释如上。
【知识点】
用字母表示数，整式加减运算，数字规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类问题，体现了从特殊到一般的数学思想，需要熟练掌握多位数的代数表示方法和整式加减的运算规则，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
我们可以先从特殊例子入手，选取多个满足“百位数字比个位数字大2”的三位数，按题目步骤计算，先观察结果的共性，再通过用字母表示各数位数字，结合整式加减运算推导通用结论，验证规律是否成立。具体思路：①先举例计算，直观感知结果；②设百位数字为a、十位数字为b，根据题意得出个位数字为a-2，分别表示出原三位数和交换百位、个位后的三位数；③计算两数的差，再交换差的百位和个位数字后求和，即可验证结果是否固定。
【解析】
1. 举例验证：取三位数614（百位6比个位4大2），交换百位和个位得416，计算得$614-416=198$，交换198的百位和个位得891，相加得$198+891=1089$，与示例结果一致。
2. 代数推导：设这个三位数的百位数字为$a$（$2＜a≤9$，且$a$为整数），十位数字为$b$（$0≤b≤9$，且$b$为整数），则个位数字为$a-2$。
原三位数可表示为：$100a+10b+(a-2)=101a+10b-2$
交换百位和个位后的三位数可表示为：$100(a-2)+10b+a=101a+10b-200$
两数作差：$(101a+10b-2)-(101a+10b-200)=198$
交换198的百位和个位数字得到891，两数相加：$198+891=1089$
因此所有符合要求的三位数按步骤计算结果都相同。
【答案】
发现的现象：结果一定是1089。解释如上。
【知识点】
用字母表示数，整式加减运算，数字规律探究
【点评】
本题属于数字规律探究类问题，体现了从特殊到一般的数学思想，需要熟练掌握多位数的代数表示方法和整式加减的运算规则，能有效锻炼逻辑推导能力。
【难度系数】
0.6
6. 新考向·推理能力若一个三位数的百位数字与个位数字的和是十位数字的2倍，则称这个三位数是“团结数”.例如：对于三位数246，它的百位数字为2，个位数字为6，十位数字为4，满足$2+6=4×2$，则246是“团结数”.
(1)任写一个小于200的“团结数”：
(2)请说明任意一个“团结数”一定是3的倍数.
(1)任写一个小于200的“团结数”：
111(答案不唯一)
.(2)请说明任意一个“团结数”一定是3的倍数.
答案
6.解:(1)111(答案不唯一)
(2)设“团结数”的百位数字为a,个位数字为c,十位数字为b,则这个“团结数”可以表示为100a+10b+c.
∵a+c=2b,
∴100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)=99a+9b+(2b+b)=99a+9b+3b=99a+12b.其中99a肯定是3的倍数,12b也是3的倍数.
∴任意一个“团结数”一定是3的倍数.
(2)设“团结数”的百位数字为a,个位数字为c,十位数字为b,则这个“团结数”可以表示为100a+10b+c.
∵a+c=2b,
∴100a+10b+c=(99+1)a+(9+1)b+c=99a+9b+(a+b+c)=99a+9b+(2b+b)=99a+9b+3b=99a+12b.其中99a肯定是3的倍数,12b也是3的倍数.
∴任意一个“团结数”一定是3的倍数.
解析
【分析】
(1) 首先明确小于200的三位数百位数字固定为1，设该数的十位数字为b，个位数字为c，根据“团结数”的定义可得1 + c = 2b，选取符合条件的整数b、c即可得到对应的“团结数”，例如取b=1时c=1，对应数为111。
(2) 要证明一个数是3的倍数，可通过代数变形将该数拆分为多个3的倍数的和的形式。首先设“团结数”的百位为a，十位为b，个位为c，先写出三位数的代数式表示，再结合“团结数”满足的a+c=2b的条件代入化简，判断化简后的式子是否为3的倍数即可。
【解析】
(1) 示例：111（答案不唯一，123、135等均符合要求）
(2) 设“团结数”的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为$100a + 10b + c$。
根据“团结数”的定义可得：$a + c = 2b$。
对三位数的表达式变形：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=(99a + a) + (9b + b) + c\\&=99a + 9b + (a + b + c)\end{aligned}$
把$a + c = 2b$代入上式得：
$\begin{aligned}99a + 9b + (2b + b)&=99a + 9b + 3b\\&=99a + 12b\end{aligned}$
其中$99a = 3×33a$，是3的倍数；$12b = 3×4b$，也是3的倍数，两个3的倍数的和仍是3的倍数，因此任意一个“团结数”一定是3的倍数。
【答案】
(1) 111（答案不唯一）
(2) 任意一个“团结数”一定是3的倍数，证明见解析。
【知识点】
新定义理解、整式的化简、3的倍数判定
【点评】
本题结合新定义考查代数推理能力，解题关键是读懂“团结数”的规则，熟练掌握三位数的代数式表示方法，结合倍数的性质进行变形推导，既考查阅读理解能力，也锻炼整式运算的应用能力。
【难度系数】
0.8
(1) 首先明确小于200的三位数百位数字固定为1，设该数的十位数字为b，个位数字为c，根据“团结数”的定义可得1 + c = 2b，选取符合条件的整数b、c即可得到对应的“团结数”，例如取b=1时c=1，对应数为111。
(2) 要证明一个数是3的倍数，可通过代数变形将该数拆分为多个3的倍数的和的形式。首先设“团结数”的百位为a，十位为b，个位为c，先写出三位数的代数式表示，再结合“团结数”满足的a+c=2b的条件代入化简，判断化简后的式子是否为3的倍数即可。
【解析】
(1) 示例：111（答案不唯一，123、135等均符合要求）
(2) 设“团结数”的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数可表示为$100a + 10b + c$。
根据“团结数”的定义可得：$a + c = 2b$。
对三位数的表达式变形：
$\begin{aligned}100a + 10b + c&=(99a + a) + (9b + b) + c\\&=99a + 9b + (a + b + c)\end{aligned}$
把$a + c = 2b$代入上式得：
$\begin{aligned}99a + 9b + (2b + b)&=99a + 9b + 3b\\&=99a + 12b\end{aligned}$
其中$99a = 3×33a$，是3的倍数；$12b = 3×4b$，也是3的倍数，两个3的倍数的和仍是3的倍数，因此任意一个“团结数”一定是3的倍数。
【答案】
(1) 111（答案不唯一）
(2) 任意一个“团结数”一定是3的倍数，证明见解析。
【知识点】
新定义理解、整式的化简、3的倍数判定
【点评】
本题结合新定义考查代数推理能力，解题关键是读懂“团结数”的规则，熟练掌握三位数的代数式表示方法，结合倍数的性质进行变形推导，既考查阅读理解能力，也锻炼整式运算的应用能力。
【难度系数】
0.8
