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【例1】如图,已知线段$a,b,c(b＞c)$.
求作:线段$AD$,使$AD=a+b-c$.
|思路分析|
思考1:作射线$AE$,先在射线$AE$上截取线段$AB=a$,再在射线$BE$上截取线段$BC=b$,即可得$AC=$
思考2:在线段$AC$上截取$CD=c$,则$AD=$
解:
求作:线段$AD$,使$AD=a+b-c$.
|思路分析|
思考1:作射线$AE$,先在射线$AE$上截取线段$AB=a$,再在射线$BE$上截取线段$BC=b$,即可得$AC=$
$a+b$
.思考2:在线段$AC$上截取$CD=c$,则$AD=$
$a+b-c$
.解:
答案
如图,(1)作射线 AE,在射线 AE 上截取线段 AB=a；
(2)在射线 BE 上截取线段 BC=b；
(3)在线段 AC 上截取线段 CD=c.
则线段 AD=a+b-c.
解析
【分析】
我们要作长度为$a+b-c$的线段，可遵循“先求和，再求差”的思路：首先需要得到长度为$a+b$的线段，可通过在射线上顺次截取$a$、$b$两段实现；再从得到的长线段中截去长度为$c$的部分，剩余部分就是所求线段。思考1中，$AB=a$，$BC=b$是沿射线顺次截取的，因此总长度$AC$为两段之和；思考2中，$CD$是从$AC$上截去的部分，因此剩余的$AD$为$AC$减去$c$的长度。
【解析】
首先填写思考空缺：
思考1：$AC=AB+BC=a+b$；
思考2：$AD=AC-CD=a+b-c$。
作图步骤如下：
1. 作射线$AE$，在射线$AE$上截取线段$AB=a$；
2. 沿射线$AE$的方向，在射线$BE$上截取线段$BC=b$，此时$AC$的长度为$a+b$；
3. 在线段$AC$上，从点$C$向点$A$的方向截取线段$CD=c$，剩余的线段$AD$即为所求。
【答案】
如图,(1)作射线 AE,在射线 AE 上截取线段 AB=a；
(2)在射线 BE 上截取线段 BC=b；
(3)在线段 AC 上截取线段 CD=c.
则线段 AD=a+b-c.
【知识点】
线段的和差运算、尺规作线段、射线的画法
【点评】
本题属于线段和差作图的基础题，核心是掌握线段和、差的作图方法：作和时沿射线方向顺次截取，作差时从所得线段端点反向截取，理清作图顺序即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
我们要作长度为$a+b-c$的线段，可遵循“先求和，再求差”的思路：首先需要得到长度为$a+b$的线段，可通过在射线上顺次截取$a$、$b$两段实现；再从得到的长线段中截去长度为$c$的部分，剩余部分就是所求线段。思考1中，$AB=a$，$BC=b$是沿射线顺次截取的，因此总长度$AC$为两段之和；思考2中，$CD$是从$AC$上截去的部分，因此剩余的$AD$为$AC$减去$c$的长度。
【解析】
首先填写思考空缺：
思考1：$AC=AB+BC=a+b$；
思考2：$AD=AC-CD=a+b-c$。
作图步骤如下：
1. 作射线$AE$，在射线$AE$上截取线段$AB=a$；
2. 沿射线$AE$的方向，在射线$BE$上截取线段$BC=b$，此时$AC$的长度为$a+b$；
3. 在线段$AC$上，从点$C$向点$A$的方向截取线段$CD=c$，剩余的线段$AD$即为所求。
【答案】
如图,(1)作射线 AE,在射线 AE 上截取线段 AB=a；
(2)在射线 BE 上截取线段 BC=b；
(3)在线段 AC 上截取线段 CD=c.
则线段 AD=a+b-c.
【知识点】
线段的和差运算、尺规作线段、射线的画法
【点评】
本题属于线段和差作图的基础题，核心是掌握线段和、差的作图方法：作和时沿射线方向顺次截取，作差时从所得线段端点反向截取，理清作图顺序即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
1.如图,已知线段$a$,$b$,且$a＞b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$;
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
(1)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a+b$;
(2)用圆规和无刻度的直尺作一条线段,使它等于$a-b$.
答案
1.解:(1)如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在射线 BF 上作线段 BC=b,则线段 AC=a+b.
(2)如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在线段 AB 上作线段 BD=b,则线段 AD=a-b.
解析
【分析】
这道题考查线段和差的尺规作图，解题思路清晰：
(1)作等于a+b的线段：线段和的本质是将两条线段在同一直线上首尾顺次拼接，总长度就是二者之和。首先作直线/射线作为作图载体，先用圆规量取线段a的长度截出第一段，再沿相同方向量取b的长度接在第一段后方，拼接后的总线段就是a+b。
(2)作等于a-b的线段：线段差的本质是在较长线段上截去和较短线段等长的部分，剩余部分就是二者的差，题目已知a＞b，可作出正长度的差。首先截出长度为a的线段，再在该线段内部从一端截去长度为b的部分，剩余线段就是a-b。
【解析】
(1)①用无刻度直尺画直线AF；②将圆规两脚张开，对齐线段a的两个端点，得到a的长度，在直线AF上截取线段AB=a；③再将圆规两脚张开对齐线段b的两个端点，得到b的长度，以B为端点，在射线BF方向上截取线段BC=b，线段AC即为所求。
(2)①用无刻度直尺画直线AF；②用圆规量取线段a的长度，在直线AF上截取线段AB=a；③用圆规量取线段b的长度，以B为端点，在线段AB上朝A的方向截取线段BD=b，线段AD即为所求。
【答案】
(1)如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在射线 BF 上作线段 BC=b,则线段 AC=a+b.
(2)如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在线段 AB 上作线段 BD=b,则线段 AD=a-b.
【知识点】
尺规作图，线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，核心是掌握尺规作等长线段的方法，明确作线段和时要顺向延长截取，作线段差时要在长线段内部反向截取，作图时需注意保留作图痕迹，规范标注各点名称。
【难度系数】
0.9
这道题考查线段和差的尺规作图，解题思路清晰：
(1)作等于a+b的线段：线段和的本质是将两条线段在同一直线上首尾顺次拼接，总长度就是二者之和。首先作直线/射线作为作图载体，先用圆规量取线段a的长度截出第一段，再沿相同方向量取b的长度接在第一段后方，拼接后的总线段就是a+b。
(2)作等于a-b的线段：线段差的本质是在较长线段上截去和较短线段等长的部分，剩余部分就是二者的差，题目已知a＞b，可作出正长度的差。首先截出长度为a的线段，再在该线段内部从一端截去长度为b的部分，剩余线段就是a-b。
【解析】
(1)①用无刻度直尺画直线AF；②将圆规两脚张开，对齐线段a的两个端点，得到a的长度，在直线AF上截取线段AB=a；③再将圆规两脚张开对齐线段b的两个端点，得到b的长度，以B为端点，在射线BF方向上截取线段BC=b，线段AC即为所求。
(2)①用无刻度直尺画直线AF；②用圆规量取线段a的长度，在直线AF上截取线段AB=a；③用圆规量取线段b的长度，以B为端点，在线段AB上朝A的方向截取线段BD=b，线段AD即为所求。
【答案】
(1)如图①,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在射线 BF 上作线段 BC=b,则线段 AC=a+b.
(2)如图②,作直线 AF,在直线 AF 上作线段 AB=a,再在线段 AB 上作线段 BD=b,则线段 AD=a-b.
【知识点】
尺规作图，线段的和差运算
【点评】
本题是线段和差作图的基础题型，核心是掌握尺规作等长线段的方法，明确作线段和时要顺向延长截取，作线段差时要在长线段内部反向截取，作图时需注意保留作图痕迹，规范标注各点名称。
【难度系数】
0.9
【例2】如图，C是线段AB上一点，点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点。
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度。
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度。
解：
(1)若$AM=1$，$BC=4$，求$MN$的长度。
(2)若$AB=6$，求$MN$的长度。
解：
答案
(1)3. (2)3.
解析
【分析】
解题时先结合线段中点的性质分析线段间的数量关系：
1. 求MN的长度可先观察MN的组成：MN由线段MC和CN拼接而成，因此只需求出MC和CN的长度再求和即可。
2. 第一问已知AM的长度，结合M是AC中点可直接得到MC的长度；已知BC的长度，结合N是BC中点可直接得到CN的长度，相加即可得结果。
3. 第二问没有给出AC、BC的单独长度，可将MN转化为$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC$，提取公因式后发现MN等于AB的一半，代入AB的长度即可计算，无需单独求AC、BC的长度。
【解析】
(1)
∵ 点M是线段AC的中点，$AM=1$
∴ $MC=AM=1$
∵ 点N是线段BC的中点，$BC=4$
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $MN=MC+CN=1+2=3$
(2)
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC$
∴ $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又
∵ $AC+BC=AB=6$
∴ $MN=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
(1)3；(2)3
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；整体思想
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，解题核心是利用线段中点的性质转化线段的倍分关系，第二问用到整体代换的思路，能简化计算过程，避免求解无必要的未知量，帮助快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时先结合线段中点的性质分析线段间的数量关系：
1. 求MN的长度可先观察MN的组成：MN由线段MC和CN拼接而成，因此只需求出MC和CN的长度再求和即可。
2. 第一问已知AM的长度，结合M是AC中点可直接得到MC的长度；已知BC的长度，结合N是BC中点可直接得到CN的长度，相加即可得结果。
3. 第二问没有给出AC、BC的单独长度，可将MN转化为$\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC$，提取公因式后发现MN等于AB的一半，代入AB的长度即可计算，无需单独求AC、BC的长度。
【解析】
(1)
∵ 点M是线段AC的中点，$AM=1$
∴ $MC=AM=1$
∵ 点N是线段BC的中点，$BC=4$
∴ $CN=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×4=2$
∴ $MN=MC+CN=1+2=3$
(2)
∵ 点M是线段AC的中点，
∴ $MC=\frac{1}{2}AC$
∵ 点N是线段BC的中点，
∴ $CN=\frac{1}{2}BC$
∴ $MN=MC+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC+BC)$
又
∵ $AC+BC=AB=6$
∴ $MN=\frac{1}{2}×6=3$
【答案】
(1)3；(2)3
【知识点】
线段中点的性质；线段的和差运算；整体思想
【点评】
本题是线段运算的典型基础题，解题核心是利用线段中点的性质转化线段的倍分关系，第二问用到整体代换的思路，能简化计算过程，避免求解无必要的未知量，帮助快速得到结果。
【难度系数】
0.8
