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1. 先化简,再求值:$5m^{3}n\cdot (-3n)^{2}+(6mn)^{2}\cdot (-mn)-mn^{3}\cdot (-4m)^{2}$,其中$m= 2,n= -1$.
答案
解：原式 $ = 5m^{3}n \cdot (9n^{2}) + 36m^{2}n^{2} \cdot (-mn) - mn^{3} \cdot (16m^{2}) $
$ = 45m^{3}n^{3} - 36m^{3}n^{3} - 16m^{3}n^{3} $
$ = -7m^{3}n^{3} $。
当 $ m = 2 $，$ n = -1 $ 时，
原式 $ = -7 \times 2^{3} \times (-1)^{3} = 56 $。
$ = 45m^{3}n^{3} - 36m^{3}n^{3} - 16m^{3}n^{3} $
$ = -7m^{3}n^{3} $。
当 $ m = 2 $，$ n = -1 $ 时，
原式 $ = -7 \times 2^{3} \times (-1)^{3} = 56 $。
2. 先化简,再求值:$(\frac {1}{4}a^{2}-\frac {1}{2}ab+b^{2})(\frac {1}{2}a+b)$,其中$a= 2,b= 1$.
答案
解：原式 $ = \frac{1}{8}a^{3} + \frac{1}{4}a^{2}b - \frac{1}{4}a^{2}b - \frac{1}{2}ab^{2} + \frac{1}{2}ab^{2} + b^{3} $
$ = \frac{1}{8}a^{3} + b^{3} $。
当 $ a = 2 $，$ b = 1 $ 时，
原式 $ = \frac{1}{8} \times 2^{3} + 1^{3} = 2 $。
$ = \frac{1}{8}a^{3} + b^{3} $。
当 $ a = 2 $，$ b = 1 $ 时，
原式 $ = \frac{1}{8} \times 2^{3} + 1^{3} = 2 $。
3. 先化简,再求值:$[(3m+4n)(3m+2n)-2n(3m+4n)]÷(-6m)$,其中$m= 2,n= 3$.
答案
解：原式 $ = (9m^{2} + 18mn + 8n^{2} - 6mn - 8n^{2}) \div (-6m) $
$ = (9m^{2} + 12mn) \div (-6m) $
$ = -\frac{3}{2}m - 2n $。
当 $ m = 2 $，$ n = 3 $ 时，
原式 $ = -\frac{3}{2} \times 2 - 2 \times 3 = -9 $。
$ = (9m^{2} + 12mn) \div (-6m) $
$ = -\frac{3}{2}m - 2n $。
当 $ m = 2 $，$ n = 3 $ 时，
原式 $ = -\frac{3}{2} \times 2 - 2 \times 3 = -9 $。
4. (1)已知$a^{2}+2b^{2}= 4$,则$3a(a+b)-(a-b)(a+4b)$的值为______;
(2)已知$a+b= 5,ab= 6$,则$(a+1)(b+1)$的值为______.
(3)已知$m+2n= 4,mn= 2$,则$(1-m)(1-2n)$的值为______.
(2)已知$a+b= 5,ab= 6$,则$(a+1)(b+1)$的值为______.
(3)已知$m+2n= 4,mn= 2$,则$(1-m)(1-2n)$的值为______.
答案
(1) 8 (2) 12 (3) 1
5. 对于任意实数,我们规定:$\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}=ad-bc$,若$x^{2}-3x+1= 0$,求$\begin{vmatrix}x+1&x-2\\3x&x-1\end{vmatrix}$的值.
答案
解：由题意，得 $ \begin{vmatrix} x + 1 & x - 2 \\ 3x & x - 1 \end{vmatrix} = (x + 1)(x - 1) - 3x(x - 2) = x^{2} + x - x - 1 - 3x^{2} + 6x = -2x^{2} + 6x - 1 $。
$ \because x^{2} - 3x + 1 = 0 $，
$ \therefore x^{2} - 3x = -1 $，$ -2x^{2} + 6x = 2 $，
$ \therefore $ 原式 $ = 2 - 1 = 1 $。
$ \because x^{2} - 3x + 1 = 0 $，
$ \therefore x^{2} - 3x = -1 $，$ -2x^{2} + 6x = 2 $，
$ \therefore $ 原式 $ = 2 - 1 = 1 $。
