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1. 如图所示为“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是 (
A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
B
)A.相切
B.相交
C.相离
D.平行
答案
1. B
2. 在平面直角坐标系中，以点$(3,-5)$为圆心，$r$为半径的圆上有且仅有两点到$x$轴的距离为$1$，则圆的半径$r$的取值范围是 (
A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4\leqslant r＜6$
D.$4＜r＜6$
D
)A.$r＞4$
B.$0＜r＜6$
C.$4\leqslant r＜6$
D.$4＜r＜6$
答案
2. D
解析
点$(3,-5)$到$x$轴的距离为$|-5| = 5$。
到$x$轴距离为$1$的点在直线$y = 1$或$y=-1$上。
圆心到直线$y = 1$的距离为$|1 - (-5)|=6$，到直线$y=-1$的距离为$|-1 - (-5)| = 4$。
圆上有且仅有两点到$x$轴距离为$1$，即圆与两条直线中一条相交，一条相离。
因为$4 ＜ 6$，所以圆与$y=-1$相交（$r＞4$），与$y = 1$相离（$r＜6$）。
故$4 ＜ r ＜ 6$。
D
到$x$轴距离为$1$的点在直线$y = 1$或$y=-1$上。
圆心到直线$y = 1$的距离为$|1 - (-5)|=6$，到直线$y=-1$的距离为$|-1 - (-5)| = 4$。
圆上有且仅有两点到$x$轴距离为$1$，即圆与两条直线中一条相交，一条相离。
因为$4 ＜ 6$，所以圆与$y=-1$相交（$r＞4$），与$y = 1$相离（$r＜6$）。
故$4 ＜ r ＜ 6$。
D
3. (2023·衡阳)如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$.若以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，则当所作的圆与斜边$AB$所在的直线相切时，$r$的值为
$\frac{24}{5}$
.答案
3. $\frac{24}{5}$
解析
解：在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$AC=8$，$BC=6$，
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
设点$C$到斜边$AB$的距离为$h$，
根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$，
即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$，
解得$h=\frac{24}{5}$。
因为圆与斜边$AB$所在直线相切，所以$r=h=\frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$
由勾股定理得$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$。
设点$C$到斜边$AB$的距离为$h$，
根据三角形面积公式，$\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· h$，
即$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× h$，
解得$h=\frac{24}{5}$。
因为圆与斜边$AB$所在直线相切，所以$r=h=\frac{24}{5}$。
$\frac{24}{5}$
4. (易错题)如图，直线$a\perp b$，垂足为$H$，点$P$在直线$b$上，$PH=4cm$，$O$为直线$b$上一动点.若以$1cm$为半径的$\odot O$与直线$a$相切，则$OP$的长为
3或5
$cm$.答案
4. 3或5 [易错分析]解答本题时容易缺少“$\odot P$与直线a左切或右切”中的一种情况.
解析
解：
∵直线$a \perp b$，垂足为$H$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$半径为$1\, cm$，
∴点$O$到直线$a$的距离为$1\, cm$，即$OH = 1\, cm$。
∵点$P$在直线$b$上，$PH = 4\, cm$，
∴分两种情况：
①点$O$在点$H$左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\, cm$；
②点$O$在点$H$右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\, cm$。
综上，$OP$的长为$3$或$5\, cm$。
答案：$3$或$5$
∵直线$a \perp b$，垂足为$H$，$\odot O$与直线$a$相切，$\odot O$半径为$1\, cm$，
∴点$O$到直线$a$的距离为$1\, cm$，即$OH = 1\, cm$。
∵点$P$在直线$b$上，$PH = 4\, cm$，
∴分两种情况：
①点$O$在点$H$左侧时，$OP = PH - OH = 4 - 1 = 3\, cm$；
②点$O$在点$H$右侧时，$OP = PH + OH = 4 + 1 = 5\, cm$。
综上，$OP$的长为$3$或$5\, cm$。
答案：$3$或$5$
5. 如图，$AB$是半径为$6cm$的$\odot O$的弦，$AB=6cm$.以点$O$为圆心、$3cm$为半径的圆与$AB$所在的直线有怎样的位置关系？请说明理由.
答案
5. 半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离 理由:如图,连接OA,过点O作$OC\perp AB$,垂足为C.由垂径定理,可得$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3(cm)$.在$Rt\triangle AOC$中,由勾股定理,得$OC=\sqrt{OA^{2}-AC^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}(cm)$.$\because3\sqrt{3}＞3$,$\therefore$半径为3cm的$\odot O$与AB所在的直线相离.
6. 若直线$y=-x+b$与以坐标原点$O$为圆心、$2$为半径的$\odot O$相交，则$b$的取值范围是 (
A.$0\leqslant b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}\leqslant b\leqslant 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
D
)A.$0\leqslant b＜2\sqrt{2}$
B.$-2\sqrt{2}\leqslant b\leqslant 2\sqrt{2}$
C.$-2\sqrt{3}＜b＜2\sqrt{3}$
D.$-2\sqrt{2}＜b＜2\sqrt{2}$
答案
6. D
解析
解：直线$y = -x + b$与$\odot O$相交，$\odot O$圆心为$(0,0)$，半径$r = 2$。
圆心到直线距离$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$。
相交条件$d ＜ r$，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$，$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，得$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$。
D
圆心到直线距离$d=\frac{|0 + 0 - b|}{\sqrt{(-1)^2 + 1^2}}=\frac{|b|}{\sqrt{2}}$。
相交条件$d ＜ r$，即$\frac{|b|}{\sqrt{2}} ＜ 2$，$|b| ＜ 2\sqrt{2}$，得$-2\sqrt{2} ＜ b ＜ 2\sqrt{2}$。
D
7. 已知平面内有$\odot O$和点$A$、$B$.若$\odot O$的半径为$2cm$，线段$OA=3cm$，$OB=2cm$，则直线$AB$与$\odot O$的位置关系为
相交或相切
.答案
7. 相交或相切
解析
∵⊙O的半径为2cm，OB=2cm，
∴点B在⊙O上。
∵OA=3cm＞2cm，
∴点A在⊙O外。
∵点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切。
