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8. 如图,在$//ogram ABCD$中,AC,BD 相交于点 O,请添加一个条件____,可使平行四边形 ABCD 是矩形.
答案
$AC=BD$(答案不唯一)
9. 如图,在矩形 ABCD 中,AC,BD 交于点 O,M,N 分别为 BC,OC 的中点.若$MN= 4$,则 AC 的长为____.
答案
16
10. 如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使$CE= BD$,连接 AE,如果$∠ADB= 30^{\circ }$,则$∠E= $____$^{\circ }$.
答案
15
11. 如图,将矩形纸片 ABCD 的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形 EFGH,若$EH= 3,EF= 4$,则边 AD 的长是____.
答案
5
12. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ },AB= AC$,点 D 为 BC 的中点,P 为 BC 上一点,$PF⊥AB$于点 F,$PE⊥AC$于点 E,则 DF 与 DE 的关系为____.
答案
$DF=DE$且$DF⊥DE$
13. 如图,在矩形 ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O.若$AO= 3,∠OBC= 30^{\circ }$,求矩形的周长和面积.
答案
∵四边形 ABCD 为矩形,AC 与 BD 是对角线,$\therefore AO=BO,∠ABC=90^{\circ }$.又$\because AO=3,∠OBC=30^{\circ },\therefore ∠ABO=60^{\circ },\therefore AB=AO=3,\therefore BC=\sqrt {(3+3)^{2}-3^{2}}=3\sqrt {3}$.即矩形 ABCD 的周长是$6+6\sqrt {3}$,矩形 ABCD 的面积是$9\sqrt {3}$
14. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,AD 是 BC 边上的中线,$ED⊥BC$于点 D,交 BA 延长线于点 E,若$∠E= 35^{\circ }$,求$∠BDA$的度数.
答案
$\because ED⊥BC,∠E=35^{\circ },\therefore ∠B=55^{\circ }$∵在$Rt△ABC$中,$∠BAC=90^{\circ }$,AD 是 BC 边上的中线,$\therefore AD=BD.\therefore ∠BAD=∠B=55^{\circ }.\therefore ∠BDA=70^{\circ }$
15. 如图,在$//ogram ABCD$中,AF,BH,CH,DF 分别是$∠BAD,∠ABC,∠BCD,∠ADC$的平分线.求证:四边形 EFGH 为矩形.
答案
∵四边形 ABCD 是平行四边形,$\therefore ∠DAB+∠ADC=180^{\circ },\because AF$,DF 分别平分$∠DAB,∠ADC,\therefore ∠FAD=∠BAF=\frac {1}{2}∠DAB,∠ADF=∠CDF=\frac {1}{2}∠ADC,\therefore ∠FAD+∠ADF=\frac {1}{2}∠DAB+\frac {1}{2}∠ADC=\frac {1}{2}(∠DAB+∠ADC)=90^{\circ },\therefore ∠AFD=90^{\circ }$,同理可得$∠BHC=∠HEF=90^{\circ },\therefore $四边形 EFGH 是矩形
