1. 如图，直线 $ x = a $ 分别与直线 $ y = - 2x + 1 $，双曲线 $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $ 交于点 $ B $，$ A $。若 $ AB = 3 $，求 $ a $ 的值。

$1$（或写为题目要求的格式，若要求填选项则对应填相关选项字母，本题假设选项中$a = 1$为$C$项，则填）C

直线 $x = a$ 与直线 $y = -2x + 1$ 交于点 $B$，所以点 $B$ 的坐标为 $(a, -2a + 1)$。
直线 $x = a$ 与双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 交于点 $A$，所以点 $A$ 的坐标为 $(a, \frac{2}{a})$。
由于 $AB = 3$，
所以，$|\frac{2}{a} - (-2a + 1)| = 3$，
在$x＞0$时，即$\frac{2}{a} + 2a - 1= 3$或$\frac{2}{a} + 2a - 1= -3$，
对于方程$\frac{2}{a} + 2a - 4 = 0$，
化简为：$2a^2 - 4a + 2 = 0$，
即$a^2 - 2a + 1 = 0$，
解得$a = 1$。
对于方程$\frac{2}{a} + 2a +2= 0$，
化简为：$2a^2 +2a + 2 = 0$，
即$a^2 + a + 1 = 0$，
$\Delta=1-4=-3＜0$，
方程无解。
所以，只有$a = 1$（$a=-2$舍去，因为$x＞0$），

2. 如图，一次函数 $ y = kx + b $ 的图象 $ l $ 与坐标轴分别交于点 $ E $，$ F $，与双曲线 $ y = - \frac{4}{x}(x ＜ 0) $ 交于点 $ P(-1,n) $，且 $ F $ 是 $ PE $ 的中点。若直线 $ x = a $ 与 $ l $ 交于点 $ A $，与双曲线交于点 $ B $（不同于点 $ A $），且 $ PA = PB $。求 $ a $ 的值。

-2

∵点$P(-1,n)$在双曲线$y=-\frac{4}{x}(x＜0)$上，
∴$n=-\frac{4}{-1}=4$，即$P(-1,4)$。
设一次函数$y=kx+b$与$x$轴交于$E(e,0)$，与$y$轴交于$F(0,f)$。
∵$F$是$PE$的中点，由中点坐标公式得：
$\frac{-1+e}{2}=0$（横坐标），$\frac{4+0}{2}=f$（纵坐标），
解得$e=1$，$f=2$，∴$E(1,0)$，$F(0,2)$。
将$E(1,0)$，$F(0,2)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=0\\b=2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=-2\\b=2\end{cases}$，
∴一次函数解析式为$y=-2x+2$。
直线$x=a$与$l$交于$A(a,-2a+2)$，与双曲线交于$B(a,-\frac{4}{a})$。
∵$PA=PB$，则$PA^2=PB^2$，
即$(a+1)^2+(-2a+2-4)^2=(a+1)^2+(-\frac{4}{a}-4)^2$，
化简得$(-2a-2)^2=(-\frac{4}{a}-4)^2$，
即$4(a+1)^2=\frac{16(a+1)^2}{a^2}$。
∵$a≠-1$（否则$A$，$B$与$P$重合），两边除以$4(a+1)^2$得$1=\frac{4}{a^2}$，
∴$a^2=4$，又$x=a＜0$，∴$a=-2$。

3. 如图，直线 $ y = b $ 分别与直线 $ y = x + 2 $，$ y $ 轴及双曲线 $ y = - \frac{4}{x}(x ＞ 0) $ 分别交于点 $ A $，$ B $，$ C $。若 $ AB = 2BC $，求 $ b $ 的值。

-2

∵直线$y = b$与$y = x + 2$交于点$A$，
∴将$y = b$代入$y = x + 2$，得$x = b - 2$，则$A(b - 2, b)$。
∵直线$y = b$与$y$轴交于点$B$，
∴$B(0, b)$。
∵直线$y = b$与双曲线$y = -\frac{4}{x}(x ＞ 0)$交于点$C$，
∴将$y = b$代入$y = -\frac{4}{x}$，得$x = -\frac{4}{b}$，则$C(-\frac{4}{b}, b)$（$x ＞ 0$，故$b ＜ 0$）。
$AB$的长度为$|0 - (b - 2)| = 2 - b$（$b ＜ 0$，绝对值化简），
$BC$的长度为$\left|-\frac{4}{b} - 0\right| = \frac{4}{-b}$（$b ＜ 0$，$|b| = -b$）。
由$AB = 2BC$，得$2 - b = 2 × \frac{4}{-b}$，
整理得$2 - b = -\frac{8}{b}$，两边乘$b$（$b ≠ 0$）：$2b - b^2 = -8$，
即$b^2 - 2b - 8 = 0$，解得$b = 4$（舍，$b ＜ 0$）或$b = -2$。

4. 如图，直线 $ y = 2x + 4 $ 与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象相交于 $ A(-3,a) $ 和 $ B $ 两点。直线 $ y = m(m ＞ 0) $ 与直线 $ AB $ 相交于点 $ M $，与反比例函数的图象交于点 $ N $。若 $ MN = 4 $，求 $ m $ 的值。

m=2或m=6+4√3

1. 将A(-3,a)代入直线y=2x+4，得a=2×(-3)+4=-2，故A(-3,-2)。
2. 将A(-3,-2)代入反比例函数y=k/x，得-2=k/(-3)，解得k=6，反比例函数为y=6/x。
3. 联立直线与反比例函数方程：2x+4=6/x，整理得x²+2x-3=0，解得x=-3（A点）或x=1，故B(1,6)。
4. 直线y=m与直线AB交于M：由m=2x+4得x=(m-4)/2，故M((m-4)/2, m)。
5. 直线y=m与反比例函数交于N：由m=6/x得x=6/m，故N(6/m, m)。
6. 由MN=4，得|6/m - (m-4)/2|=4。
当6/m - (m-4)/2=4时，解得m=2（m=-6舍去）。
当6/m - (m-4)/2=-4时，解得m=6+4√3（m=6-4√3舍去）。