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1. (2025 宜宾中考)如图,抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A,B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,其中 $ A(3,0),C(0,3) $.
(1)求 $ b,c $ 的值;
(2)$ D $ 为抛物线上第一象限内一点,连接 $ BD $,与直线 $ AC $ 交于点 $ E $,若 $ \frac{DE}{BE} = \frac{1}{2} $,求点 $ D $ 的坐标.
(1)求 $ b,c $ 的值;
(2)$ D $ 为抛物线上第一象限内一点,连接 $ BD $,与直线 $ AC $ 交于点 $ E $,若 $ \frac{DE}{BE} = \frac{1}{2} $,求点 $ D $ 的坐标.
答案
(1)b=2，c=3；(2)(1,4)或(2,3)
解析
(1)将A(3,0)、C(0,3)代入y=-x²+bx+c，得：
$\begin{cases} -9 + 3b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$
解得b=2，c=3。
(2)抛物线方程为y=-x²+2x+3，令y=0，解得x₁=3，x₂=-1，故B(-1,0)。直线AC：A(3,0)、C(0,3)，解析式为y=-x+3。设D(x,y)，且y=-x²+2x+3。BD与AC交于E，DE/BE=1/2，即BE=2DE，E分BD的比为2:1。由定比分点公式，E((-1+2x)/3, (0+2y)/3)。因E在AC上，得(2y)/3 = -((2x-1)/3)+3，化简得y=-x+5。联立y=-x+5与y=-x²+2x+3，解得x=1或x=2，对应y=4或3。故D(1,4)或(2,3)。
$\begin{cases} -9 + 3b + c = 0 \\ c = 3 \end{cases}$
解得b=2，c=3。
(2)抛物线方程为y=-x²+2x+3，令y=0，解得x₁=3，x₂=-1，故B(-1,0)。直线AC：A(3,0)、C(0,3)，解析式为y=-x+3。设D(x,y)，且y=-x²+2x+3。BD与AC交于E，DE/BE=1/2，即BE=2DE，E分BD的比为2:1。由定比分点公式，E((-1+2x)/3, (0+2y)/3)。因E在AC上，得(2y)/3 = -((2x-1)/3)+3，化简得y=-x+5。联立y=-x+5与y=-x²+2x+3，解得x=1或x=2，对应y=4或3。故D(1,4)或(2,3)。
2. 如图,抛物线 $ y = x^2 - 3x + 2 $ 与坐标轴交于 $ A,B,C $ 三点,$ P $ 为抛物线上一点,$ PM ⊥ BC $ 于点 $ M $,且 $ \frac{PM}{CM} = \frac{1}{2} $,求点 $ P $ 的坐标.
答案
$(\frac{8}{3},\frac{10}{9})$
解析
1. 求抛物线与坐标轴交点：令 $x=0$，得 $y=2$，则 $C(0,2)$；令 $y=0$，解方程 $x^2 - 3x + 2=0$，得 $x=1$ 或 $x=2$，则 $A(1,0)$，$B(2,0)$。
2. 求直线 $BC$ 方程：设 $y=kx+b$，代入 $B(2,0)$，$C(0,2)$，得 $k=-1$，$b=2$，故 $BC:y=-x+2$。
3. 设 $P(t,t^2 - 3t + 2)$，$M$ 为 $PM ⊥ BC$ 的垂足，因 $BC$ 斜率为 $-1$，则 $PM$ 斜率为 $1$，设 $M(m,-m+2)$。由 $PM$ 斜率为 $1$，得 $\frac{(t^2 - 3t + 2)-(-m + 2)}{t - m}=1$，化简得 $m=2t - \frac{t^2}{2}$，故 $M(2t - \frac{t^2}{2}, -2t + \frac{t^2}{2} + 2)$。
4. 计算 $PM$ 和 $CM$：$PM=\frac{|t^2 - 2t|}{\sqrt{2}}$，$CM=\frac{|t^2 - 4t|}{\sqrt{2}}$。由 $\frac{PM}{CM}=\frac{1}{2}$，得 $2|t^2 - 2t|=|t^2 - 4t|$，化简为 $2|t - 2|=|t - 4|$（$t ≠ 0$）。
5. 解方程 $2|t - 2|=|t - 4|$，得 $t=\frac{8}{3}$（$t=0$ 舍去）。
6. 代入 $t=\frac{8}{3}$，得 $P(\frac{8}{3},\frac{10}{9})$。
2. 求直线 $BC$ 方程：设 $y=kx+b$，代入 $B(2,0)$，$C(0,2)$，得 $k=-1$，$b=2$，故 $BC:y=-x+2$。
3. 设 $P(t,t^2 - 3t + 2)$，$M$ 为 $PM ⊥ BC$ 的垂足，因 $BC$ 斜率为 $-1$，则 $PM$ 斜率为 $1$，设 $M(m,-m+2)$。由 $PM$ 斜率为 $1$，得 $\frac{(t^2 - 3t + 2)-(-m + 2)}{t - m}=1$，化简得 $m=2t - \frac{t^2}{2}$，故 $M(2t - \frac{t^2}{2}, -2t + \frac{t^2}{2} + 2)$。
4. 计算 $PM$ 和 $CM$：$PM=\frac{|t^2 - 2t|}{\sqrt{2}}$，$CM=\frac{|t^2 - 4t|}{\sqrt{2}}$。由 $\frac{PM}{CM}=\frac{1}{2}$，得 $2|t^2 - 2t|=|t^2 - 4t|$，化简为 $2|t - 2|=|t - 4|$（$t ≠ 0$）。
5. 解方程 $2|t - 2|=|t - 4|$，得 $t=\frac{8}{3}$（$t=0$ 舍去）。
6. 代入 $t=\frac{8}{3}$，得 $P(\frac{8}{3},\frac{10}{9})$。
3. 如图,抛物线 $ y = \frac{1}{4}(x - m)^2 $ 分别交 $ x $ 轴,$ y $ 轴的正半轴于 $ A,B $ 两点,且 $ OA = 2OB $.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线 $ AB $ 交第二象限的抛物线于点 $ M $,交 $ x $ 轴于点 $ N $,且 $ MN = 4AB $.求 $ △ MNO $ 的面积.
(1)求抛物线的解析式;
(2)平移直线 $ AB $ 交第二象限的抛物线于点 $ M $,交 $ x $ 轴于点 $ N $,且 $ MN = 4AB $.求 $ △ MNO $ 的面积.
答案
(1)$ y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 $；(2)12
解析
(1) 抛物线$ y = \frac{1}{4}(x - m)^2 $与x轴交于A(m, 0)，与y轴交于$ B(0, \frac{1}{4}m^2) $。由OA=2OB，得$ m = 2 × \frac{1}{4}m^2 $，解得m=2（m=0舍去）。故抛物线解析式为$ y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 $。
(2) A(2,0)，B(0,1)，直线AB：$ y = -\frac{1}{2}x + 1 $，AB=$ \sqrt{5} $，则MN=4$ \sqrt{5} $。设平移后直线为$ y = -\frac{1}{2}x + c $，交x轴于N(2c, 0)，交抛物线于M。联立方程得$ x^2 - 2x + 4 - 4c = 0 $。由MN=4$ \sqrt{5} $及M在第二象限，得M纵坐标为4，代入抛物线得M(-2,4)。将M代入平移直线得c=3，N(6,0)。$ S_{△MNO} = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $。
(2) A(2,0)，B(0,1)，直线AB：$ y = -\frac{1}{2}x + 1 $，AB=$ \sqrt{5} $，则MN=4$ \sqrt{5} $。设平移后直线为$ y = -\frac{1}{2}x + c $，交x轴于N(2c, 0)，交抛物线于M。联立方程得$ x^2 - 2x + 4 - 4c = 0 $。由MN=4$ \sqrt{5} $及M在第二象限，得M纵坐标为4，代入抛物线得M(-2,4)。将M代入平移直线得c=3，N(6,0)。$ S_{△MNO} = \frac{1}{2} × 6 × 4 = 12 $。
