1. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E,F 分别在边 AD,BC 上,将四边形 ABFE 沿 EF 翻折,使点 A 的对称点 P 落在 CD 上,点 B 的对称点为 G,PG 交 BC 于点 H.
(1)求证:△EDP∽△PCH；
(2)若 P 为 CD 的中点,且 AB=2,BC=3,求 GH 的长.

(1)证明见解析；(2)3/4

(1)∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠D=∠C=90°，∠AEF=∠EFB。由翻折性质得∠AEF=∠PEF，∴∠PEF=∠EFB，∴PE//BC，∴∠EPD=∠PHC。∵∠D=∠C=90°，∴△EDP∽△PCH。
(2)∵P为CD中点，AB=2，∴CD=2，DP=PC=1。设AE=PE=x，AD=BC=3，∴ED=3-x。在Rt△EDP中，(3-x)²+1²=x²，解得x=5/3，∴ED=4/3。由(1)△EDP∽△PCH，得ED/PC=DP/CH=EP/PH，即(4/3)/1=1/CH= (5/3)/PH，解得CH=3/4，PH=5/4。由翻折知四边形ABFE≌四边形PGFE，∴PG=AB=2，∴GH=PG-PH=2-5/4=3/4。

2. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形 MNPQ 拼成的一个大正方形 ABCD. 直线 MP 交正方形 ABCD 的两边于点 E,F,记正方形 ABCD 的面积为 S₁,正方形 MNPQ 的面积为 S₂. 若 BE=kAE(k＞1),求$\frac{S₁}{S₂}$的值.(用含 k 的式子表示)

(k+1)²/(k-1)²

设正方形ABCD边长为a，面积S₁=a²。设AE=m，则BE=km，由AE+BE=AB得m+km=a，解得m=a/(k+1)，故AE=a/(k+1)，BE=ka/(k+1)。
赵爽弦图中，四个全等直角三角形的直角边分别为b、c(b＜c)，则大正方形边长a=b+c，小正方形边长s=c-b，面积S₂=s²=(c-b)²。
由图形结构知，直角三角形短直角边b=AE=a/(k+1)，长直角边c=BE=ka/(k+1)。则c-b=ka/(k+1)-a/(k+1)=a(k-1)/(k+1)，故S₂=[a(k-1)/(k+1)]²。
因此，S₁/S₂=a²÷[a²(k-1)²/(k+1)²]=(k+1)²/(k-1)²。

3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,AD=5,AC=8,延长 BC 至点 E,连接 OE 交 CD 于点 F. 若∠E=$\frac{1}{2}$∠ACD,求$\frac{OE}{EF}$的值.

13/8

∵菱形ABCD，AC=8，∴AO=OC=4，BD⊥AC。
在Rt△AOD中，AD=5，AO=4，∴OD=√(AD²-AO²)=3，∴BD=6，OD=3。
以O为原点，AC为x轴，BD为y轴建系，则C(4,0)，D(0,3)，B(0,-3)。
BC方程：y=(3/4)x-3，设E(e,(3/4)e-3)(e＞4)。
∠ACD=2α，∠E=α，tan2α=OD/OC=3/4，由tan2α=2tanα/(1-tan²α)=3/4，解得tanα=1/3。
OE斜率k=( (3/4)e-3 )/e=3/4 - 3/e，直线CE斜率3/4，tan∠E=|(k-3/4)/(1+3k/4)|=1/3，解得e=36/5，∴E(36/5,12/5)。
OE方程：y=(1/3)x，CD方程：y=(-3/4)x+3。
联立得F(36/13,12/13)。设OF=t·OE，则(36/13,12/13)=t(36/5,12/5)，解得t=5/13。
∴EF=OE-OF=8/13 OE，故OE/EF=13/8。