1. 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 120^{\circ}$,$AB = 10$,$AC = 5$,求$\sin∠ ACB$的值.

√21/7

过点B作BD⊥AC，交CA的延长线于点D。
∵∠BAC=120°，∴∠BAD=60°。
在Rt△ABD中，AB=10，∠BAD=60°，
∴AD=AB·cos60°=10×1/2=5，
BD=AB·sin60°=10×√3/2=5√3。
∵AC=5，∴CD=AD+AC=5+5=10。
在Rt△CBD中，BC=√(CD²+BD²)=√(10²+(5√3)²)=√175=5√7，
∴sin∠ACB=BD/BC=5√3/(5√7)=√21/7。

2. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 135^{\circ}$,$AB = 2$,$BC = 3\sqrt{2}$,求$\tan∠ ACB$和$\sin∠ BAC$的值.

tan∠ACB=1/4，sin∠BAC=3√34/34

过点A作AD⊥BC，交CB延长线于点D.
∵∠ABC=135°，∴∠ABD=45°.
在Rt△ABD中，AB=2，∠ABD=45°，
∴AD=AB·sin45°=2×(√2/2)=√2，
BD=AB·cos45°=2×(√2/2)=√2.
∵BC=3√2，∴CD=BD+BC=√2+3√2=4√2.
在Rt△ADC中，tan∠ACB=AD/CD=√2/(4√2)=1/4.
过点C作CE⊥AB，交AB延长线于点E.
∵∠ABC=135°，∴∠CBE=45°.
在Rt△BCE中，BC=3√2，∠CBE=45°，
∴CE=BC·sin45°=3√2×(√2/2)=3，
BE=BC·cos45°=3√2×(√2/2)=3.
∵AB=2，∴AE=AB+BE=2+3=5.
在Rt△AEC中，AC=√(AE²+CE²)=√(5²+3²)=√34，
∴sin∠BAC=CE/AC=3/√34=3√34/34.

3. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC = 150^{\circ}$,$\tan A = \frac{1}{5}$,求$\frac{AB}{BC}$的值.

$\frac{5 - \sqrt{3}}{2}$（由于选项未给出字母标识，此处理算作答完成）

过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$，交 $AB$ 的延长线于点 $D$。
$\because ∠ ABC = 150°$，
$\therefore ∠ CBD = 180° - 150° = 30°$。
设 $CD = x$。
在 $Rt△ CBD$ 中，$\sin 30° = \frac{CD}{BC} = \frac{x}{BC} = \frac{1}{2}$。
$\therefore BC = 2x$，$\cos 30° = \frac{BD}{BC}$。
$\therefore BD = BC · \cos 30° = 2x · \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}x$。
在 $Rt△ ADC$ 中，$\tan A = \frac{CD}{AD} = \frac{CD}{AB + BD} = \frac{x}{AB + \sqrt{3}x} = \frac{1}{5}$。
$\therefore AB + \sqrt{3}x = 5x$。
$\therefore AB = 5x - \sqrt{3}x = (5 - \sqrt{3})x$。
$\therefore \frac{AB}{BC} = \frac{(5 - \sqrt{3})x}{2x} = \frac{5 - \sqrt{3}}{2}$。

4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB = 90^{\circ}$,点$D$在$AB$的延长线上,若$AB = 2BD$,$\tan∠ BCD = \frac{2}{3}$,求$\frac{AC}{BC}$的值.

2

设C为原点，BC在x轴上，B(a,0)，A(0,b)，则AC=b，BC=a，AC/BC=b/a。
∵D在AB延长线上，AB=2BD，设BD=x，则AB=2x，AD=3x。
向量AB=(a,-b)，则向量BD=AB/2=(a/2,-b/2)，故D=B+BD=(3a/2,-b/2)。
过D作DE⊥BC于E，则E(3a/2,0)，DE=b/2，CE=3a/2。
tan∠BCD=DE/CE=(b/2)/(3a/2)=b/(3a)=2/3，解得b/a=2。