18. (本题满分8分)
如图，在$ Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^{\circ}$，延长$BC$到点$D$，使$CD=BC$，延长$CA$到点$E$，使$AE=2CA$，连接$AD$，$BE$。求证：$AD=BE$。

证明：设 $ AC = a $，$ AB = b $。
∵ $ \angle BAC = 90° $，
∴ $ \triangle ABC $ 是直角三角形。
过点 $ D $ 作 $ DG \perp AC $，交 $ AC $ 的延长线于点 $ G $，则 $ \angle DGC = 90° = \angle BAC $。
∵ $ \angle ACB = \angle GCD $（对顶角相等），$ BC = CD $，
∴ $ \triangle ABC \cong \triangle GDC $（AAS）。
∴ $ CG = AC = a $，$ DG = AB = b $。
在 $ Rt\triangle ADG $ 中，$ AG = AC + CG = a + a = 2a $，
∴ $ AD^2 = AG^2 + DG^2 = (2a)^2 + b^2 = 4a^2 + b^2 $。
∵ $ AE = 2CA = 2a $，且 $ E $ 在 $ CA $ 的延长线上，$ \angle BAC = 90° $，
∴ $ \angle BAE = 90° $。
在 $ Rt\triangle BAE $ 中，
$ BE^2 = AB^2 + AE^2 = b^2 + (2a)^2 = 4a^2 + b^2 $。
∵ $ AD^2 = BE^2 $，
∴ $ AD = BE $。

19. (本题满分8分)解方程：
(1)$\frac{2}{x^2-1}+\frac{x}{1-x}=1$；
(2)$\frac{1}{x-2}+\frac{3x}{2x-4}=\frac{1}{2}$。

19. (1)
方程 $\frac{2}{x^2 - 1} + \frac{x}{1 - x} = 1$，
因式分解得 $\frac{2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{x}{x - 1} = 1$，
去分母，方程两边同时乘以 $(x + 1)(x - 1)$ 得：
$2 - x(x + 1) = (x + 1)(x - 1)$
$2 - x^2 - x = x^2 - 1$
整理得：
$2x^2 + x - 3 = 0$
因式分解为：
$(2x + 3)(x - 1) = 0$
解得 $x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = 1$，
检验：当 $x = 1$ 时，$(x + 1)(x - 1) = 0$，所以 $x = 1$ 是增根，
当 $x = -\frac{3}{2}$ 时，$(x + 1)(x - 1) \neq 0$，
所以原方程的解为 $x = -\frac{3}{2}$。
(2)
方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{3x}{2x - 4} = \frac{1}{2}$，
化简得 $\frac{1}{x - 2} + \frac{3x}{2(x - 2)} = \frac{1}{2}$，
去分母，方程两边同时乘以 $2(x - 2)$ 得：
$2 + 3x = x - 2$
整理得：
$2x = -4$
解得 $x = -2$，
检验：当 $x = -2$ 时，$2(x - 2) = -8 \neq 0$，
所以原方程的解为 $x = -2$。