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1.下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 (
A.$(x + 1)^2=x^2 + 2x + 1$
B.$a^2 - a + 1 = a(a - 1) + 1$
C.$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$
D.$x^2 - 2x = x(x + 2)$
C
)A.$(x + 1)^2=x^2 + 2x + 1$
B.$a^2 - a + 1 = a(a - 1) + 1$
C.$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$
D.$x^2 - 2x = x(x + 2)$
答案
C
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$(x + 1)^2=x^2 + 2x + 1$是把完全平方式展开，是整式乘法，不是因式分解。
选项B：$a^2 - a + 1 = a(a - 1) + 1$右边不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$是把多项式$x^2 - 4$化为$(x + 2)$与$(x - 2)$的积的形式，是因式分解。
选项D：$x^2 - 2x = x(x - 2)$而不是$x(x + 2)$，该选项变形错误。
选项A：$(x + 1)^2=x^2 + 2x + 1$是把完全平方式展开，是整式乘法，不是因式分解。
选项B：$a^2 - a + 1 = a(a - 1) + 1$右边不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$x^2 - 4=(x + 2)(x - 2)$是把多项式$x^2 - 4$化为$(x + 2)$与$(x - 2)$的积的形式，是因式分解。
选项D：$x^2 - 2x = x(x - 2)$而不是$x(x + 2)$，该选项变形错误。
2.下列各组式子中,没有公因式的是 (
A.$ax + y$和$x + y$
B.$2x$和$4y$
C.$a - b$和$b - a$
D.$-x^2 + xy$和$y - x$
A
)A.$ax + y$和$x + y$
B.$2x$和$4y$
C.$a - b$和$b - a$
D.$-x^2 + xy$和$y - x$
答案
A
解析
A. 对于 $ax + y$ 和 $x + y$，观察可知，它们没有共同的因式。
B. 对于 $2x$ 和 $4y$，可以提取公因数 $2$，但题目要求的是式子，不是数，所以它们之间没有公因式（式子）的关系，但此选项有公因数2，不过题目考察的是式子，判断为没有特定的式子公因式，需与其他选项比较。
C. 对于 $a - b$ 和 $b - a$，因为 $b - a = - (a - b)$，所以它们的公因式是 $a - b$ 或 $b - a$。
D. 对于 $-x^2 + xy$ 和 $y - x$，可以化简为 $-x(x - y)$ 和 $-(x - y)$，公因式是 $x - y$ 或 $y - x$。
通过比较，只有A选项中的两个式子没有公因式。
3.化简$(-2)^{2025} + (-2)^{2026}$的结果为 (
A.$-2$
B.0
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
D
)A.$-2$
B.0
C.$-2^{2025}$
D.$2^{2025}$
答案
D
解析
$(-2)^{2025} + (-2)^{2026} = (-2)^{2025} + (-2)^{2025} × (-2) = (-2)^{2025} × [1 + (-2)] = (-2)^{2025} × (-1) = 2^{2025}$
4.将多项式$x^2y(a - b) - xy(b - a) + y(a - b)$提公因式后,另一个因式为 (
A.$x^2 - x + 1$
B.$x^2 + x + 1$
C.$x^2 - x - 1$
D.$x^2 + x - 1$
B
)A.$x^2 - x + 1$
B.$x^2 + x + 1$
C.$x^2 - x - 1$
D.$x^2 + x - 1$
答案
B
解析
首先观察多项式$x^2y(a - b) - xy(b - a) + y(a - b)$，
注意到$b - a = -(a - b)$，
所以原式可以改写为：
$x^2y(a - b) + xy(a - b) + y(a - b)$
接下来，提取公因式$y(a - b)$，得到：
$y(a - b)(x^2 + x + 1)$
由此可见，提公因式后，另一个因式为$x^2 + x + 1$。
注意到$b - a = -(a - b)$，
所以原式可以改写为：
$x^2y(a - b) + xy(a - b) + y(a - b)$
接下来，提取公因式$y(a - b)$，得到：
$y(a - b)(x^2 + x + 1)$
由此可见，提公因式后，另一个因式为$x^2 + x + 1$。
5.下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是 (
A.$y^2 - 49x^2$
B.$-\frac{1}{49}-x^4$
C.$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9$
D.$-m^4 + n^2$
B
)A.$y^2 - 49x^2$
B.$-\frac{1}{49}-x^4$
C.$\frac{1}{4}(p + q)^2 - 9$
D.$-m^4 + n^2$
答案
B
解析
平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$，要看各选项是否能变形为符合平方差公式的形式。
选项A：$y^{2}-49x^{2}=y^{2}-(7x)^{2}=(y + 7x)(y - 7x)$，可以用平方差公式分解因式。
选项B：$-\frac{1}{49}-x^{4}=-( \frac{1}{49}+x^{4})$，两项符号相同，不符合平方差公式$a^{2}-b^{2}$的形式，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^{2}-9=[\frac{1}{2}(p + q)]^{2}-3^{2}=(\frac{1}{2}(p + q)+3)(\frac{1}{2}(p + q)-3)$，可以用平方差公式分解因式。
选项D：$-m^{4}+n^{2}=n^{2}-m^{4}=(n + m^{2})(n - m^{2})$，可以用平方差公式分解因式。
选项A：$y^{2}-49x^{2}=y^{2}-(7x)^{2}=(y + 7x)(y - 7x)$，可以用平方差公式分解因式。
选项B：$-\frac{1}{49}-x^{4}=-( \frac{1}{49}+x^{4})$，两项符号相同，不符合平方差公式$a^{2}-b^{2}$的形式，不能用平方差公式分解因式。
选项C：$\frac{1}{4}(p + q)^{2}-9=[\frac{1}{2}(p + q)]^{2}-3^{2}=(\frac{1}{2}(p + q)+3)(\frac{1}{2}(p + q)-3)$，可以用平方差公式分解因式。
选项D：$-m^{4}+n^{2}=n^{2}-m^{4}=(n + m^{2})(n - m^{2})$，可以用平方差公式分解因式。
6.下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是 (
A.$x^2 - 2x - 2$
B.$x^2 + 1$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$x^2 + 4x + 1$
C
)A.$x^2 - 2x - 2$
B.$x^2 + 1$
C.$x^2 - 4x + 4$
D.$x^2 + 4x + 1$
答案
C
解析
完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，选项C中$x^2 - 4x + 4=x^2-2×2× x + 2^2=(x - 2)^2$，符合完全平方公式的形式；选项A中$x^2 - 2x - 2$，常数项为$-2$，不符合完全平方公式$a^2\pm2ab+b^2$中$b^2\gt0$的形式；选项B中$x^2 + 1$只有两项，不满足完全平方公式三项的形式；选项D中$x^2 + 4x + 1$，若按完全平方公式，$4x = 2ab$，若$a=x$，则$b = 2$，$b^2=4$，而此式中常数项为$1\neq4$，不满足完全平方公式。
7.计算:$125^2 - 50×125 + 25^2 =$ (
A.100
B.150
C.10000
D.22500
C
)A.100
B.150
C.10000
D.22500
答案
C
解析
本题可根据完全平方公式$a^2 - 2ab + b^2=(a - b)^2$对原式进行化简，然后再计算结果。
在式子$125^2 - 50×125 + 25^2$中，$50×125 = 2×25×125$，则原式可转化为$125^2 - 2×25×125 + 25^2$。
此时$a = 125$，$b = 25$，根据完全平方公式可得：
$125^2 - 2×25×125 + 25^2=(125 - 25)^2$
先计算括号内$125 - 25 = 100$，再计算$100^2 = 10000$。
在式子$125^2 - 50×125 + 25^2$中，$50×125 = 2×25×125$，则原式可转化为$125^2 - 2×25×125 + 25^2$。
此时$a = 125$，$b = 25$，根据完全平方公式可得：
$125^2 - 2×25×125 + 25^2=(125 - 25)^2$
先计算括号内$125 - 25 = 100$，再计算$100^2 = 10000$。
8.$2^{24} - 1$可以被60和70之间某两个数整除,这两个数是 (
A.64,63
B.61,65
C.61,67
D.63,65
D
)A.64,63
B.61,65
C.61,67
D.63,65
答案
D
解析
利用平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$对$2^{24}-1$进行因式分解。
$2^{24}-1=(2^{12}+1)(2^{12}-1)$
$=(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{6}-1)$
先计算$2^{6}=64$，则$2^{6}+1 = 64 + 1=65$，$2^{6}-1=64 - 1 = 63$。
而$63$和$65$都在$60$和$70$之间。
$2^{24}-1=(2^{12}+1)(2^{12}-1)$
$=(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{6}-1)$
先计算$2^{6}=64$，则$2^{6}+1 = 64 + 1=65$，$2^{6}-1=64 - 1 = 63$。
而$63$和$65$都在$60$和$70$之间。
