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1. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，如果边长都扩大 $ 3 $ 倍，则锐角 $ ∠ A $ 的正弦值和余弦值(
A.都没有变化
B.都扩大 $ 3 $ 倍
C.都缩小 $ 3 $ 倍
D.不能确定
A
)A.都没有变化
B.都扩大 $ 3 $ 倍
C.都缩小 $ 3 $ 倍
D.不能确定
答案
1. A
解析
在$Rt△ ABC$中，设$∠C=90^{\circ}$，$∠A$的对边为$a$，邻边为$b$，斜边为$c$，则$\sin A=\frac{a}{c}$，$\cos A=\frac{b}{c}$。
当边长都扩大$3$倍后，新的对边为$3a$，邻边为$3b$，斜边为$3c$，此时$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}$，$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}$。
所以锐角$∠A$的正弦值和余弦值都没有变化。
A
当边长都扩大$3$倍后，新的对边为$3a$，邻边为$3b$，斜边为$3c$，此时$\sin A'=\frac{3a}{3c}=\frac{a}{c}$，$\cos A'=\frac{3b}{3c}=\frac{b}{c}$。
所以锐角$∠A$的正弦值和余弦值都没有变化。
A
2. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ \cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2} $，$ \tan B = \sqrt{3} $，则这个三角形一定是(
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
D
)A.直角三角形
B.等腰三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
答案
2. D
解析
在$△ ABC$中，
因为$\cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，所以$∠ A = 45°$；
因为$\tan B = \sqrt{3}$，所以$∠ B = 60°$；
则$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 60° = 75°$。
因为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$均为锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形。
D
因为$\cos A = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$，所以$∠ A = 45°$；
因为$\tan B = \sqrt{3}$，所以$∠ B = 60°$；
则$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 60° = 75°$。
因为$∠ A$、$∠ B$、$∠ C$均为锐角，所以这个三角形一定是锐角三角形。
D
3. 如图，某飞机于空中 $ A $ 处探测到地平面上的目标 $ B $，此时从飞机上看目标 $ B $ 的俯角 $ α = 30^{\circ} $，飞行高度 $ AC = 1200 \, \mathrm{m} $，则飞机到目标 $ B $ 的距离 $ AB $ 为(
A.$ 1200 \, \mathrm{m} $
B.$ 2400 \, \mathrm{m} $
C.$ 400\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
D.$ 1200\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
B
)A.$ 1200 \, \mathrm{m} $
B.$ 2400 \, \mathrm{m} $
C.$ 400\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
D.$ 1200\sqrt{3} \, \mathrm{m} $
答案
3. B
解析
解：由题意知，俯角$α = 30^{\circ}$，则$∠ ABC = α = 30^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 1200\,\mathrm{m}$，$∠ ABC = 30^{\circ}$。
因为$\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB}$，所以$AB = \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1200}{\frac{1}{2}} = 2400\,\mathrm{m}$。
答案：B
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 1200\,\mathrm{m}$，$∠ ABC = 30^{\circ}$。
因为$\sin∠ ABC = \frac{AC}{AB}$，所以$AB = \frac{AC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1200}{\frac{1}{2}} = 2400\,\mathrm{m}$。
答案：B
4. 在正方形网格中，$ △ ABC $ 的位置如图所示，则 $ \cos ∠ ABC $ 的值为(
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
B
)A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
答案
4. B
解析
解：设正方形网格的边长为1，
由图可知，点B、C在同一水平线上，BC=2，
过点A作AD⊥BC于点D，D为BC中点，BD=1，AD=1，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：B
由图可知，点B、C在同一水平线上，BC=2，
过点A作AD⊥BC于点D，D为BC中点，BD=1，AD=1，
在Rt△ABD中，AB=$\sqrt{BD^2+AD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：B
5. 若一个三角形三个内角度数的比为 $ 1 : 2 : 3 $，那么这个三角形最小角的正切值为(
A.$ \dfrac{1}{3} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
C
)A.$ \dfrac{1}{3} $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
答案
5. C
解析
设三角形三个内角的度数分别为$x$，$2x$，$3x$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
解得$6x = 180°$，$x = 30°$。
最小角为$30°$，$\tan30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
C
因为三角形内角和为$180°$，所以$x + 2x + 3x = 180°$，
解得$6x = 180°$，$x = 30°$。
最小角为$30°$，$\tan30° = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$。
C
6. 如图，将一矩形纸片 $ ABCD $ 折叠，使顶点 $ C $ 叠在 $ C' $ 处，测得 $ AB = 4 $，$ DE = 8 $，则 $ \sin ∠ C'DE $ 为(
A.$ 2 $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
D
)A.$ 2 $
B.$ \dfrac{1}{2} $
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $
答案
6. D
解析
解：
∵四边形$ABCD$是矩形，$AB = 4$，
$\therefore CD=AB = 4$，$∠ C=90°$。
由折叠性质得：$C'D = CD=4$，$∠ C'=∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ C'DE$中，$DE = 8$，$C'D=4$，
$\sin∠ C'DE=\dfrac{C'D}{DE}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$。
答案：B
∵四边形$ABCD$是矩形，$AB = 4$，
$\therefore CD=AB = 4$，$∠ C=90°$。
由折叠性质得：$C'D = CD=4$，$∠ C'=∠ C = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ C'DE$中，$DE = 8$，$C'D=4$，
$\sin∠ C'DE=\dfrac{C'D}{DE}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$。
答案：B
7. 已知 $ α $ 是锐角，$ 2 \cos (α + 45^{\circ}) = 1 $，则 $ α $ 的值是(
A.$ 15^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
A
)A.$ 15^{\circ} $
B.$ 30^{\circ} $
C.$ 45^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $
答案
7. A
解析
解：由$2\cos(α + 45°) = 1$，得$\cos(α + 45°)=\frac{1}{2}$。
因为$α$是锐角，所以$0°＜α＜90°$，则$45°＜α + 45°＜135°$。
在$0°$到$180°$之间，$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$α + 45° = 60°$，解得$α=15°$。
A
因为$α$是锐角，所以$0°＜α＜90°$，则$45°＜α + 45°＜135°$。
在$0°$到$180°$之间，$\cos60°=\frac{1}{2}$，所以$α + 45° = 60°$，解得$α=15°$。
A
8. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2} - \sqrt{2}x + \cos α = 0 $ 有两个相等的实数根，则锐角 $ α $ 的度数为
$ 60^{\circ} $
.答案
8. $ 60^{\circ} $
解析
解：因为方程 $x^2 - \sqrt{2}x + \cosα = 0$ 有两个相等的实数根，所以判别式 $\Delta = (\sqrt{2})^2 - 4 × 1 × \cosα = 0$，即 $2 - 4\cosα = 0$，解得 $\cosα = \frac{1}{2}$。因为 $α$ 是锐角，所以 $α = 60°$。
$60^{\circ}$
$60^{\circ}$
9. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ D $ 为 $ AB $ 边的中点，连接 $ CD $.若 $ BC = 4 $，$ CD = 3 $，则 $ \cos ∠ DCB $ 的值为
$ \dfrac{2}{3} $
.答案
9. $ \dfrac{2}{3} $
解析
解：在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$D$为$AB$边的中点，
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=BD$，
$\because CD=3$，
$\therefore BD=3$，$AB=6$，
$\because BC=4$，
过点$D$作$DE⊥ BC$于点$E$，
$\because D$为$AB$中点，$DE⊥ BC$，$∠ACB=90^{\circ}$，
$\therefore DE// AC$，$E$为$BC$中点，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△CDE$中，$\cos∠DCB=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{2}{3}$。
$\dfrac{2}{3}$
$\therefore CD=\dfrac{1}{2}AB=BD$，
$\because CD=3$，
$\therefore BD=3$，$AB=6$，
$\because BC=4$，
过点$D$作$DE⊥ BC$于点$E$，
$\because D$为$AB$中点，$DE⊥ BC$，$∠ACB=90^{\circ}$，
$\therefore DE// AC$，$E$为$BC$中点，
$\therefore CE=\dfrac{1}{2}BC=2$，
在$Rt△CDE$中，$\cos∠DCB=\dfrac{CE}{CD}=\dfrac{2}{3}$。
$\dfrac{2}{3}$
10. 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是 $ 6 \, \mathrm{m} $，测得斜坡的坡度为 $ 1 : 2.4 $，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是
$ 6.5 \mathrm{~m} $
.答案
10. $ 6.5 \mathrm{~m} $
解析
设斜坡上相邻两树间的垂直距离为$h\,\mathrm{m}$，坡面距离为$l\,\mathrm{m}$。
因为坡度为$1:2.4$，株距（水平距离）为$6\,\mathrm{m}$，所以$\frac{h}{6}=\frac{1}{2.4}$，解得$h=\frac{6}{2.4}=2.5$。
由勾股定理得$l=\sqrt{6^{2}+2.5^{2}}=\sqrt{36 + 6.25}=\sqrt{42.25}=6.5$。
$6.5\,\mathrm{m}$
因为坡度为$1:2.4$，株距（水平距离）为$6\,\mathrm{m}$，所以$\frac{h}{6}=\frac{1}{2.4}$，解得$h=\frac{6}{2.4}=2.5$。
由勾股定理得$l=\sqrt{6^{2}+2.5^{2}}=\sqrt{36 + 6.25}=\sqrt{42.25}=6.5$。
$6.5\,\mathrm{m}$
