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1.下列式子中,不能用平方差公式计算的是(
A.$(x - 2 y)(2 y + x)$
B.$(x - 2 y)( - 2 y + x)$
C.$(x + y)(y - x)$
D.$(2 x - 3 y)(3 y + 2 x)$
B
).A.$(x - 2 y)(2 y + x)$
B.$(x - 2 y)( - 2 y + x)$
C.$(x + y)(y - x)$
D.$(2 x - 3 y)(3 y + 2 x)$
答案
B
解析
平方差公式为$(a + b)(a - b)=a^2 - b^2$，需满足一项相同，一项互为相反数。
A选项$(x - 2y)(2y + x)=(x - 2y)(x + 2y)$，x相同，-2y与2y互为相反数，可用平方差公式；
B选项$(x - 2y)( - 2y + x)=(x - 2y)(x - 2y)=(x - 2y)^2$，两项均相同，是完全平方，不能用平方差公式；
C选项$(x + y)(y - x)=(y + x)(y - x)$，y相同，x与-x互为相反数，可用平方差公式；
D选项$(2x - 3y)(3y + 2x)=(2x - 3y)(2x + 3y)$，2x相同，-3y与3y互为相反数，可用平方差公式。
A选项$(x - 2y)(2y + x)=(x - 2y)(x + 2y)$，x相同，-2y与2y互为相反数，可用平方差公式；
B选项$(x - 2y)( - 2y + x)=(x - 2y)(x - 2y)=(x - 2y)^2$，两项均相同，是完全平方，不能用平方差公式；
C选项$(x + y)(y - x)=(y + x)(y - x)$，y相同，x与-x互为相反数，可用平方差公式；
D选项$(2x - 3y)(3y + 2x)=(2x - 3y)(2x + 3y)$，2x相同，-3y与3y互为相反数，可用平方差公式。
2.如图①,从边长为$a$的大正方形中剪掉一个边长为$b$的小正方形,将阴影部分剪下,拼成如图②所示的矩形,由图①到图②的变化过程能够验证的一个等式是(
A.$a(a + b)=a^{2}+ab$
B.$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
C.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
D.$a(a - b)=a^{2}-ab$
B
).A.$a(a + b)=a^{2}+ab$
B.$a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)$
C.$(a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}$
D.$a(a - b)=a^{2}-ab$
答案
B
解析
图①阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。图②矩形的长为$a + b$，宽为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。由于阴影部分面积不变，所以$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
3.下列式子中,去括号或添括号正确的是(
A.$a^{2}-(2a - b + c)=a^{2}-2a - b + c$
B.$a - 3x + 2y - 1=a + ( - 3x + 2y - 1)$
C.$3x - [5x - (2x - 1)]=3x - 5x - 2x + 1$
D.$-2x - y - a + 1= - (2x - y)+(a - 1)$
B
).A.$a^{2}-(2a - b + c)=a^{2}-2a - b + c$
B.$a - 3x + 2y - 1=a + ( - 3x + 2y - 1)$
C.$3x - [5x - (2x - 1)]=3x - 5x - 2x + 1$
D.$-2x - y - a + 1= - (2x - y)+(a - 1)$
答案
B
解析
逐个分析各选项：
A：$a^{2}-(2a - b + c)=a^{2}-2a + b - c\neq a^{2}-2a - b + c$，该选项错误。
B：$a - 3x + 2y - 1=a + (-3x + 2y - 1)$，该选项正确。
C：$3x - [5x - (2x - 1)]=3x - [5x - 2x + 1]=3x - 3x - 1\neq3x - 5x - 2x + 1$，该选项错误。
D：$-2x - y - a + 1=-(2x + y)+(-a + 1)\neq - (2x - y)+(a - 1)$，该选项错误。
所以只有B选项是正确的。
A：$a^{2}-(2a - b + c)=a^{2}-2a + b - c\neq a^{2}-2a - b + c$，该选项错误。
B：$a - 3x + 2y - 1=a + (-3x + 2y - 1)$，该选项正确。
C：$3x - [5x - (2x - 1)]=3x - [5x - 2x + 1]=3x - 3x - 1\neq3x - 5x - 2x + 1$，该选项错误。
D：$-2x - y - a + 1=-(2x + y)+(-a + 1)\neq - (2x - y)+(a - 1)$，该选项错误。
所以只有B选项是正确的。
4.若$x^{2}+6x + m=(x + n)^{2}$,则$m,n$的值为(
A.$m = 9,n = 3$
B.$m = 9,n = - 3$
C.$m = - 9,n = - 3$
D.$m = - 9,n = 3$
A
).A.$m = 9,n = 3$
B.$m = 9,n = - 3$
C.$m = - 9,n = - 3$
D.$m = - 9,n = 3$
答案
A
解析
将右边$(x+n)^2$展开得$x^2 + 2nx+n^2$，因为$x^{2}+6x + m=(x + n)^{2}$，所以$x^{2}+6x + m=x^2 + 2nx+n^2$，等式两边同类项系数相等，则$2n = 6$，解得$n = 3$；$m=n^2$，把$n = 3$代入得$m = 9$。
5.若$(2x + 3y)^{2}=(2x - 3y)^{2}+( )$成立,则括号内应填(
A.$24xy$
B.$6xy$
C.$12xy$
D.$18xy$
A
).A.$24xy$
B.$6xy$
C.$12xy$
D.$18xy$
答案
A
解析
将$(2x + 3y)^{2}$根据完全平方公式展开得：$(2x)^{2} + 2×(2x)×(3y)+(3y)^{2}=4x^{2}+12xy + 9y^{2}$；
将$(2x - 3y)^{2}$根据完全平方公式展开得：$(2x)^{2}-2×(2x)×(3y)+(3y)^{2}=4x^{2}-12xy + 9y^{2}$。
设括号内应填$A$，则$(2x + 3y)^{2}=(2x - 3y)^{2}+A$可转化为$A=(2x + 3y)^{2}-(2x - 3y)^{2}$，把上述展开式代入可得：$A=(4x^{2}+12xy + 9y^{2})-(4x^{2}-12xy + 9y^{2})=24xy$。
将$(2x - 3y)^{2}$根据完全平方公式展开得：$(2x)^{2}-2×(2x)×(3y)+(3y)^{2}=4x^{2}-12xy + 9y^{2}$。
设括号内应填$A$，则$(2x + 3y)^{2}=(2x - 3y)^{2}+A$可转化为$A=(2x + 3y)^{2}-(2x - 3y)^{2}$，把上述展开式代入可得：$A=(4x^{2}+12xy + 9y^{2})-(4x^{2}-12xy + 9y^{2})=24xy$。
6.计算:$(x - y)( - y - x)=$
$y^{2} - x^{2}$
.答案
$y^{2} - x^{2}$（或填写为 $- x^{2} + y^{2}$）
解析
原式 $(x - y)( - y - x)$ 可以看作是两个二项式的乘积，利用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ 的思想（这里需要进行适当的变形），将原式重写为：
$(-y + x)(-y - x) = (-y)^{2} - x^{2} = y^{2} - x^{2}$
或者，也可以直接展开：
$(x - y)(-y - x) = -xy - x^{2} + y^{2} + xy = y^{2} - x^{2}$
$(-y + x)(-y - x) = (-y)^{2} - x^{2} = y^{2} - x^{2}$
或者，也可以直接展开：
$(x - y)(-y - x) = -xy - x^{2} + y^{2} + xy = y^{2} - x^{2}$
7.已知$a^{2}-a + 5 = 0$,则$(a - 3)(a + 2)=$
-11
.答案
$-11$（填写为题目要求的填空形式，若为选择题则根据选项填字母，本题为填空题直接给数值）
解析
已知方程$a^{2} - a + 5 = 0$，可以变形为$a^{2} - a = -5$。
要求$(a - 3)(a + 2)$的值，将其展开：
$(a - 3)(a + 2) = a^{2} + 2a - 3a - 6 = a^{2} - a - 6$
代入$a^{2} - a = -5$，得到：
$a^{2} - a - 6 = -5 - 6 = -11$
要求$(a - 3)(a + 2)$的值，将其展开：
$(a - 3)(a + 2) = a^{2} + 2a - 3a - 6 = a^{2} - a - 6$
代入$a^{2} - a = -5$，得到：
$a^{2} - a - 6 = -5 - 6 = -11$
8.由完全平方公式可知$3^{2}+2×3×5 + 5^{2}=(3 + 5)^{2}=64$,用这一方法计算$1.2345^{2}+2.469×0.7655 + 0.7655^{2}=$
4
.答案
4
解析
观察原式，$2.469 = 2×1.2345$，所以原式可变形为$1.2345^{2} + 2×1.2345×0.7655 + 0.7655^{2}$，根据完全平方公式$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，其中$a = 1.2345$，$b = 0.7655$，则原式$=(1.2345 + 0.7655)^2 = 2^2 = 4$。
9.若$(b - c)^{2}=4(1 - b)(c - 1)$,则$b + c$的值是
2
.答案
$2$
解析
由题意，有$(b - c)^{2} = 4(1 - b)(c - 1)$，
展开并整理得：
$b^2 - 2bc + c^2=4(c-1-bc+b)$
$b^2 - 2bc + c^2-4c+4+4bc-4b=0$
$b^2 +2bc+ c^2-4c-4b+4=0$
$(b + c)^{2} - 4(b + c) + 4 = 0$
这是一个关于$b + c$的二次方程，我们可以将其写成完全平方的形式：
$(b + c - 2)^{2} = 0$，
解得：
$b + c = 2$，
展开并整理得：
$b^2 - 2bc + c^2=4(c-1-bc+b)$
$b^2 - 2bc + c^2-4c+4+4bc-4b=0$
$b^2 +2bc+ c^2-4c-4b+4=0$
$(b + c)^{2} - 4(b + c) + 4 = 0$
这是一个关于$b + c$的二次方程，我们可以将其写成完全平方的形式：
$(b + c - 2)^{2} = 0$，
解得：
$b + c = 2$，
10.化简$(2 + 1)(2^{2}+1)(2^{4}+1)(2^{8}+1)(2^{16}+1)$的结果是
2³² - 1
.答案
2³² - 1
解析
原式=(2-1)(2+1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)=(2⁴-1)(2⁴+1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)=(2⁸-1)(2⁸+1)(2¹⁶+1)=(2¹⁶-1)(2¹⁶+1)=2³²-1
