12.(7分)已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(a - 1)x + a^2 - a - 2 = 0$有两个不相等的实数根$x_1,x_2$.
(1)若$a$为正整数,求$a$的值.
(2)若$x_1,x_2$满足$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = 16$,求$a$的值.

答题卡
12.(7分)
(1)
方程有两个不相等的实数根，需满足判别式 $\Delta ＞ 0$。
$\Delta = [-2(a - 1)]^2 - 4 × 1 × (a^2 - a - 2) = 4(a - 1)^2 - 4(a^2 - a - 2)$
$= 4(a^2 - 2a + 1) - 4a^2 + 4a + 8 = -4a + 12$
由 $\Delta ＞ 0$，得 $-4a + 12 ＞ 0$，即 $a ＜ 3$。
$a$ 为正整数，故 $a = 1$ 或 $a = 2$。
当 $a = 1$ 时，方程为 $x^2 - 0x - 2 = 0$，即 $x^2 = 2$，有两个不相等实根，符合；
当 $a = 2$ 时，方程为 $x^2 - 2x = 0$，也有两个不相等实根，符合。
答案：$a = 1$ 或 $a = 2$
(2)
由根与系数的关系，$x_1 + x_2 = 2(a - 1)$，$x_1x_2 = a^2 - a - 2$。
$x_1^2 + x_2^2 - x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 3x_1x_2 = [2(a - 1)]^2 - 3(a^2 - a - 2) = 16$
即 $4(a - 1)^2 - 3a^2 + 3a + 6 = 16$
$4a^2 - 8a + 4 - 3a^2 + 3a + 6 = 16$
$a^2 - 5a - 6 = 0$
解得 $a = -1$ 或 $a = 6$。
由 (1) 知 $a ＜ 3$，故 $a = -1$。
答案：$a = -1$

13.(8分)如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 10 cm$,$AD = 8 cm$,点$P$从点$A$出发沿$AB$以$2 cm/s$的速度向点$B$运动,同时点$Q$从点$B$出发沿$BC$以$1 cm/s$的速度向点$C$运动.它们到达终点后停止运动.
(1)几秒后,点$P,D$的距离是点$P,Q$的距离的2倍?
(2)几秒后,$\triangle DPQ$的面积是$24 cm^2$?

(1) $ 3 $秒；(2) $ 4 $秒。

(1)设$ t $秒后，$ PD = 2PQ $。
以$ A $为原点，$ AB $为$ x $轴，$ AD $为$ y $轴建立坐标系。
则$ D(0,8) $，$ P(2t,0) $，$ Q(10,t) $，$ 0 \leq t \leq 5 $。
$ PD = \sqrt{(2t - 0)^2 + (0 - 8)^2} = \sqrt{4t^2 + 64} $，
$ PQ = \sqrt{(2t - 10)^2 + (0 - t)^2} = \sqrt{(2t - 10)^2 + t^2} $。
由$ PD = 2PQ $得：
$ \sqrt{4t^2 + 64} = 2\sqrt{(2t - 10)^2 + t^2} $，
两边平方：$ 4t^2 + 64 = 4[(2t - 10)^2 + t^2] $，
化简：$ t^2 - 10t + 21 = 0 $，
解得$ t = 3 $或$ t = 7 $（$ t = 7 ＞ 5 $舍去）。
故$ t = 3 $秒。
(2)设$ t $秒后，$ \triangle DPQ $面积为$ 24 \, cm^2 $。
由坐标$ D(0,8) $，$ P(2t,0) $，$ Q(10,t) $，
面积公式：$ S = \frac{1}{2}|0(0 - t) + 2t(t - 8) + 10(8 - 0)| = t^2 - 8t + 40 $。
令$ t^2 - 8t + 40 = 24 $，
解得$ t = 4 $（$ t = 4 \leq 5 $）。
故$ t = 4 $秒。