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2. 如图8,已知圆锥的母线长AB=8 cm,轴截面的顶角为$60°$,求圆锥的全面积(结果保留$π$). 
图8
图8答案
48π cm²
解析
【分析】
要计算圆锥的全面积，需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，因此需要先确定底面半径和母线长：①已知母线长AB=8cm；②圆锥轴截面△ABC中AB、AC均为母线长度相等，结合顶角为60°，可判定△ABC为等边三角形，因此底面直径BC等于母线长，即可求出底面半径，最后代入对应公式计算求和即可。
【解析】
解：
∵圆锥的母线$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，轴截面顶角$∠BAC=60°$
∴$△ ABC$是等边三角形
∴底面直径$BC=AB=8\ \mathrm{cm}$
∴底面半径$r=\frac{BC}{2}=4\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面积：$S_{侧}=πrl=π×4×8=32π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥底面积：$S_{底}=πr^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥全面积：$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=32π+16π=48π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥面积计算，等边三角形判定，圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，解题核心是通过轴截面的特征推导底面半径，只要掌握等边三角形判定和圆锥各部分面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的全面积，需明确圆锥全面积=侧面积+底面积，因此需要先确定底面半径和母线长：①已知母线长AB=8cm；②圆锥轴截面△ABC中AB、AC均为母线长度相等，结合顶角为60°，可判定△ABC为等边三角形，因此底面直径BC等于母线长，即可求出底面半径，最后代入对应公式计算求和即可。
【解析】
解：
∵圆锥的母线$AB=AC=8\ \mathrm{cm}$，轴截面顶角$∠BAC=60°$
∴$△ ABC$是等边三角形
∴底面直径$BC=AB=8\ \mathrm{cm}$
∴底面半径$r=\frac{BC}{2}=4\ \mathrm{cm}$
圆锥侧面积：$S_{侧}=πrl=π×4×8=32π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥底面积：$S_{底}=πr^2=π×4^2=16π\ \mathrm{cm}^2$
圆锥全面积：$S_{全}=S_{侧}+S_{底}=32π+16π=48π\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$48π\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
圆锥面积计算，等边三角形判定，圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥面积计算的基础题型，解题核心是通过轴截面的特征推导底面半径，只要掌握等边三角形判定和圆锥各部分面积公式就能快速求解。
【难度系数】
0.7
【拓展思考】
主题:滤纸与漏斗
素材:如图9.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一个漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
实践操作
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图10所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图9所示漏斗中.
实践探索
滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
主题:滤纸与漏斗
素材:如图9.
①一张直径为10 cm的圆形滤纸；
②一个漏斗口直径与母线长均为7 cm的圆锥形过滤漏斗.
实践操作
步骤1:取一张滤纸；
步骤2:按如图10所示步骤折叠好滤纸；
步骤3:将其中一层撑开,围成圆锥形；
步骤4:将围成圆锥形的滤纸放入如图9所示漏斗中.
实践探索
滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处)?用你所学的数学知识说明.
答案
拓展思考:滤纸能紧贴此漏斗内壁. 理由如下:
方法一:如图1,作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
折叠后 $CD=CE=\frac{1}{2}×10$ cm=5 cm,
∵底面周长=$\frac{1}{2}×10π=5π$ cm,
∴$DE·π=5π$ cm,
∴DE=5 cm,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$,
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得:$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$
图2中,$n_1=90°×2=180°$,
图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$,
∴$n_2=180°$.
∵$n_1=n_2$,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
解析
【分析】
要判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸折叠围成的圆锥与漏斗的圆锥侧面形状是否一致，我们可以通过两种思路推导：思路1：证明两个圆锥的轴截面相似，即对应边成比例，即可说明形状相同；思路2：分别计算两个圆锥侧面展开扇形的圆心角，若圆心角相等，说明侧面形状一致，可紧贴。先提取已知条件：圆形滤纸直径10cm，故半径为5cm；漏斗母线长7cm，漏斗口直径7cm，故半径为3.5cm，再结合折叠特征计算对应参数对比即可。
【解析】
方法一：如图1，作出示意图，由题意知漏斗的母线长AC=BC=7cm，漏斗口直径AB=7cm；折叠后滤纸围成的圆锥母线长CD=CE等于原滤纸的半径，即$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，滤纸围成的圆锥底面周长等于折叠后扇形的弧长，即底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π\ \mathrm{cm}$，设滤纸圆锥底面直径为DE，则$DE·π=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，故$△ CDE ∽ △ CAB$，说明两个圆锥轴截面相似，形状相同，因此滤纸能紧贴漏斗内壁。
方法二：圆锥侧面展开扇形的圆心角n满足公式$2π r=\frac{nπ R}{180}$，变形可得$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$（r为圆锥底面半径，R为圆锥母线长）。滤纸折叠后围成的圆锥，侧面展开扇形的圆心角$n_1$：折叠两次后撑开，扇形圆心角为$180°$（原圆$360°$，对折两次取$\frac{1}{2}$圆作侧面）；漏斗的侧面展开扇形圆心角$n_2$：漏斗底面半径$r=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R=7\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{n_2}{360}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，解得$n_2=180°$。由于$n_1=n_2$，说明两个圆锥侧面展开扇形的圆心角相同，侧面形状一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
【答案】
拓展思考:滤纸能紧贴此漏斗内壁. 理由如下:
方法一:如图1,作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
折叠后 $CD=CE=\frac{1}{2}×10$ cm=5 cm,
∵底面周长=$\frac{1}{2}×10π=5π$ cm,
∴$DE·π=5π$ cm,
∴DE=5 cm,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$,
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得:$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$
图2中,$n_1=90°×2=180°$,
图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$,
∴$n_2=180°$.
∵$n_1=n_2$,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
【知识点】
圆锥侧面展开图、相似三角形判定、弧长公式
【点评】
本题结合生活中的过滤场景，将实际问题转化为几何问题，考查了圆锥相关计算与相似、弧长公式的应用，有利于提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
要判断滤纸能否紧贴漏斗内壁，本质是判断滤纸折叠围成的圆锥与漏斗的圆锥侧面形状是否一致，我们可以通过两种思路推导：思路1：证明两个圆锥的轴截面相似，即对应边成比例，即可说明形状相同；思路2：分别计算两个圆锥侧面展开扇形的圆心角，若圆心角相等，说明侧面形状一致，可紧贴。先提取已知条件：圆形滤纸直径10cm，故半径为5cm；漏斗母线长7cm，漏斗口直径7cm，故半径为3.5cm，再结合折叠特征计算对应参数对比即可。
【解析】
方法一：如图1，作出示意图，由题意知漏斗的母线长AC=BC=7cm，漏斗口直径AB=7cm；折叠后滤纸围成的圆锥母线长CD=CE等于原滤纸的半径，即$CD=CE=\frac{1}{2}×10=5\ \mathrm{cm}$，滤纸围成的圆锥底面周长等于折叠后扇形的弧长，即底面周长$=\frac{1}{2}×10π=5π\ \mathrm{cm}$，设滤纸圆锥底面直径为DE，则$DE·π=5π$，解得$DE=5\ \mathrm{cm}$，因此$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}=\frac{5}{7}$，故$△ CDE ∽ △ CAB$，说明两个圆锥轴截面相似，形状相同，因此滤纸能紧贴漏斗内壁。
方法二：圆锥侧面展开扇形的圆心角n满足公式$2π r=\frac{nπ R}{180}$，变形可得$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$（r为圆锥底面半径，R为圆锥母线长）。滤纸折叠后围成的圆锥，侧面展开扇形的圆心角$n_1$：折叠两次后撑开，扇形圆心角为$180°$（原圆$360°$，对折两次取$\frac{1}{2}$圆作侧面）；漏斗的侧面展开扇形圆心角$n_2$：漏斗底面半径$r=\frac{7}{2}=3.5\ \mathrm{cm}$，母线长$R=7\ \mathrm{cm}$，代入得$\frac{n_2}{360}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$，解得$n_2=180°$。由于$n_1=n_2$，说明两个圆锥侧面展开扇形的圆心角相同，侧面形状一致，因此滤纸能紧贴此漏斗内壁。
【答案】
拓展思考:滤纸能紧贴此漏斗内壁. 理由如下:
方法一:如图1,作出示意图,由题意知,AB=AC=BC=7 cm,
折叠后 $CD=CE=\frac{1}{2}×10$ cm=5 cm,
∵底面周长=$\frac{1}{2}×10π=5π$ cm,
∴$DE·π=5π$ cm,
∴DE=5 cm,
∴$\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$,
∴△CDE∽△CAB,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
方法二:由$2πr=\frac{nπR}{180}$得:$\frac{n}{360}=\frac{r}{R}$
图2中,$n_1=90°×2=180°$,
图3中,$\frac{r}{R}=\frac{3.5}{7}=\frac{1}{2}$,
∴$n_2=180°$.
∵$n_1=n_2$,
∴滤纸能紧贴此漏斗内壁.
【知识点】
圆锥侧面展开图、相似三角形判定、弧长公式
【点评】
本题结合生活中的过滤场景，将实际问题转化为几何问题，考查了圆锥相关计算与相似、弧长公式的应用，有利于提升将数学知识应用于实际生活的能力。
【难度系数】
0.6
