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2. 某商场以每件50元的价格购进一种商品，销售中发现这种商品每天的销售数量m(单位:件)与每件的销售价格x(单位:元)满足一次函数关系，其图象如图2所示.
(1)每天销售数量m(单位:件)与每件销售价格x(单位:元)的函数解析式是
(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y(单位:元)与每件的销售价格x(单位:元)之间的函数解析式;
(3)在保证盈利的条件下，每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?
(1)每天销售数量m(单位:件)与每件销售价格x(单位:元)的函数解析式是
$m=-x+100(0≤x≤100)$
;(2)求该商场每天销售这种商品的销售利润y(单位:元)与每件的销售价格x(单位:元)之间的函数解析式;
(3)在保证盈利的条件下，每件商品的销售价格在什么范围内，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加?
答案
2. (1) $m=-x+100(0≤x≤100)$ (2) 每件商品的利润为x-50,
∴每天的利润$y=(x-50)(-x+100)$,
∴函数解析式为$y=-x^2+150x-5000$. (3) $\because x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{150}{2×(-1)}=75$,
∴在50＜x≤75元时,每天的销售利润随着x的增大而增大.
∴每天的利润$y=(x-50)(-x+100)$,
∴函数解析式为$y=-x^2+150x-5000$. (3) $\because x=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{150}{2×(-1)}=75$,
∴在50＜x≤75元时,每天的销售利润随着x的增大而增大.
解析
【分析】
(1) 要求销售数量m和售价x的一次函数解析式，观察图像可知一次函数过(0,100)和(100,0)两个点，采用待定系数法，设解析式为m=kx+b，代入两点坐标即可求出k、b，再结合实际意义确定x的取值范围。
(2) 销售利润=单件利润×销售数量，单件利润为售价x减去进价50元，销售数量是第一问求出的m，代入后展开整理即可得到y与x的函数解析式。
(3) 第二问得到的利润函数是开口向下的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而增大，同时要保证盈利，即售价需大于进价，结合这两个条件即可求出对应的价格范围。
【解析】
(1) 设每天销售数量m与销售价格x的函数解析式为$m=kx+b\ (k≠0)$，
由图象可知函数过点$(0,100)$和$(100,0)$，
将$(0,100)$代入解析式得：$b=100$，
将$(100,0)$和$b=100$代入得：$0=100k+100$，解得$k=-1$，
结合实际意义，销售价格非负、销售数量非负，得$0≤ x≤100$，
故函数解析式为$m=-x+100\ (0≤ x≤100)$。
(2) 每件商品的利润为$(x-50)$元，每天销售数量为$m=-x+100$件，
根据“总利润=单件利润×销售数量”可得：
$y=(x-50)(-x+100)$，
展开整理得：$y=-x^2+150x-5000$。
(3) 对于二次函数$y=-x^2+150x-5000$，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-1)}=75$，
因此当$x≤75$时，y随x的增大而增大；
要保证盈利，则单件利润$x-50＞0$，即$x＞50$，同时结合销售数量非负得$x≤100$，
综上，当$50＜x≤75$时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加。
【答案】
(1) $m=-x+100(0≤x≤100)$
(2) $y=-x^2+150x-5000$
(3) $50＜x≤75$元
【知识点】
待定系数法求一次函数、二次函数实际应用、二次函数性质
【点评】
本题以商品销售为背景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的核心是理清销售问题中的数量关系，结合函数的图象性质求解，贴近生活实际，能很好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要求销售数量m和售价x的一次函数解析式，观察图像可知一次函数过(0,100)和(100,0)两个点，采用待定系数法，设解析式为m=kx+b，代入两点坐标即可求出k、b，再结合实际意义确定x的取值范围。
(2) 销售利润=单件利润×销售数量，单件利润为售价x减去进价50元，销售数量是第一问求出的m，代入后展开整理即可得到y与x的函数解析式。
(3) 第二问得到的利润函数是开口向下的二次函数，在对称轴左侧y随x的增大而增大，同时要保证盈利，即售价需大于进价，结合这两个条件即可求出对应的价格范围。
【解析】
(1) 设每天销售数量m与销售价格x的函数解析式为$m=kx+b\ (k≠0)$，
由图象可知函数过点$(0,100)$和$(100,0)$，
将$(0,100)$代入解析式得：$b=100$，
将$(100,0)$和$b=100$代入得：$0=100k+100$，解得$k=-1$，
结合实际意义，销售价格非负、销售数量非负，得$0≤ x≤100$，
故函数解析式为$m=-x+100\ (0≤ x≤100)$。
(2) 每件商品的利润为$(x-50)$元，每天销售数量为$m=-x+100$件，
根据“总利润=单件利润×销售数量”可得：
$y=(x-50)(-x+100)$，
展开整理得：$y=-x^2+150x-5000$。
(3) 对于二次函数$y=-x^2+150x-5000$，其中$a=-1＜0$，函数图象开口向下，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{150}{2×(-1)}=75$，
因此当$x≤75$时，y随x的增大而增大；
要保证盈利，则单件利润$x-50＞0$，即$x＞50$，同时结合销售数量非负得$x≤100$，
综上，当$50＜x≤75$时，每天的销售利润随着销售价格的提高而增加。
【答案】
(1) $m=-x+100(0≤x≤100)$
(2) $y=-x^2+150x-5000$
(3) $50＜x≤75$元
【知识点】
待定系数法求一次函数、二次函数实际应用、二次函数性质
【点评】
本题以商品销售为背景，考查一次函数与二次函数的综合应用，解题的核心是理清销售问题中的数量关系，结合函数的图象性质求解，贴近生活实际，能很好地考查学生应用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 某市近几年城市建设快速发展，对花木的需求量逐年增加.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润$y_1$与投资量$x$成正比例关系，如图3所示；种植花卉的利润$y_2$与投资量$x$成二次函数关系，如图4所示.
(1)分别求出利润$y_1$与$y_2$关于投资量$x$的函数解析式.
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
(1)分别求出利润$y_1$与$y_2$关于投资量$x$的函数解析式.
(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
答案
3. (1) $y_1=2x(x≥0)$,$y_2=\dfrac{1}{2}x^2(x≥0)$ (2) 至少获得利润14万元,他能获取的最大利润是32万元.
解析
【分析】
第(1)问：已知$y_1$是正比例函数，$y_2$是顶点在原点的二次函数，先分别设两类函数的一般形式，再结合图象给出的已知点代入计算，即可求出系数，同时注意投资量是非负数，要标注自变量取值范围。
第(2)问：先设种植花卉的投资量为$m$万元，可表示出种植树木的投资量为$(8-m)$万元，总利润为两类利润之和，据此列出总利润关于$m$的二次函数解析式，结合$m$的取值范围$0≤ m≤8$，通过配方求二次函数的最值即可，开口向上的二次函数顶点处取最小值，端点处取最大值。
【解析】
(1) 设种植树木的利润解析式为$y_1=kx(k≠0)$，
由图象可知当$x=1$时，$y_1=2$，代入得$2=k×1$，解得$k=2$，
因此$y_1=2x(x≥0)$。
设种植花卉的利润解析式为$y_2=ax^2(a≠0)$，
由图象可知当$x=2$时，$y_2=2$，代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入种植花卉的资金为$m$万元，则投入种植树木的资金为$(8-m)$万元，其中$0≤ m≤8$，总利润为$W$万元，
则$W=y_2+y_1=\frac{1}{2}m^2+2(8-m)$，
整理得：$W=\frac{1}{2}m^2-2m+16$，
配方得：$W=\frac{1}{2}(m-2)^2+14$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$m=2$时，$W$取得最小值，最小值为14万元。
$\because$抛物线对称轴为$m=2$，在$0≤ m≤8$范围内，离对称轴越远函数值越大，
$\therefore$当$m=8$时，$W$取得最大值，代入得$W=\frac{1}{2}×(8-2)^2+14=32$万元。
【答案】
(1) $y_1=2x(x≥0)$，$y_2=\dfrac{1}{2}x^2(x≥0)$；(2) 至少获得利润14万元，能获取的最大利润是32万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的投资问题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是先正确求出函数解析式，再结合实际问题中自变量的取值范围求最值，要注意不能忽略自变量的实际意义直接求顶点最值。
【难度系数】
0.6
第(1)问：已知$y_1$是正比例函数，$y_2$是顶点在原点的二次函数，先分别设两类函数的一般形式，再结合图象给出的已知点代入计算，即可求出系数，同时注意投资量是非负数，要标注自变量取值范围。
第(2)问：先设种植花卉的投资量为$m$万元，可表示出种植树木的投资量为$(8-m)$万元，总利润为两类利润之和，据此列出总利润关于$m$的二次函数解析式，结合$m$的取值范围$0≤ m≤8$，通过配方求二次函数的最值即可，开口向上的二次函数顶点处取最小值，端点处取最大值。
【解析】
(1) 设种植树木的利润解析式为$y_1=kx(k≠0)$，
由图象可知当$x=1$时，$y_1=2$，代入得$2=k×1$，解得$k=2$，
因此$y_1=2x(x≥0)$。
设种植花卉的利润解析式为$y_2=ax^2(a≠0)$，
由图象可知当$x=2$时，$y_2=2$，代入得$2=a×2^2$，解得$a=\frac{1}{2}$，
因此$y_2=\frac{1}{2}x^2(x≥0)$。
(2) 设投入种植花卉的资金为$m$万元，则投入种植树木的资金为$(8-m)$万元，其中$0≤ m≤8$，总利润为$W$万元，
则$W=y_2+y_1=\frac{1}{2}m^2+2(8-m)$，
整理得：$W=\frac{1}{2}m^2-2m+16$，
配方得：$W=\frac{1}{2}(m-2)^2+14$，
$\because a=\frac{1}{2}＞0$，抛物线开口向上，
$\therefore$当$m=2$时，$W$取得最小值，最小值为14万元。
$\because$抛物线对称轴为$m=2$，在$0≤ m≤8$范围内，离对称轴越远函数值越大，
$\therefore$当$m=8$时，$W$取得最大值，代入得$W=\frac{1}{2}×(8-2)^2+14=32$万元。
【答案】
(1) $y_1=2x(x≥0)$，$y_2=\dfrac{1}{2}x^2(x≥0)$；(2) 至少获得利润14万元，能获取的最大利润是32万元。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数的最值；函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的投资问题考查一次函数与二次函数的综合应用，解题核心是先正确求出函数解析式，再结合实际问题中自变量的取值范围求最值，要注意不能忽略自变量的实际意义直接求顶点最值。
【难度系数】
0.6
