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9.(孝感)在$△ ABC$与$△ A'B'C'$中，有下列四个条件：①$∠ A = ∠ A'$；②$∠ C = ∠ C'$；③$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$；④$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$。从中任意选取两个条件组成一组，能判断$△ ABC ∽ △ A'B'C'$的共有………………【 】
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
A.1组
B.2组
C.3组
D.4组
答案
9. C.
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确相似三角形的所有判定定理，其次用枚举法列出从4个条件中任选2个的所有组合，再逐一对照判定定理判断每组能否证明两个三角形相似，最后统计符合要求的组数即可。注意要避免“两边成比例且非夹角相等（SSA）”的判定误区。
【解析】
从4个条件中任选2个，共有6种组合，逐一判断如下：
1. 选①②：已知∠A=∠A'，∠C=∠C'，根据“两角对应相等的两个三角形相似（AA判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
2. 选①③：已知∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，∠A不是AB和BC的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
3. 选①④：已知∠A=∠A'，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠A不是AC和BC的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
4. 选②③：已知∠C=∠C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，∠C不是BC和AB的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
5. 选②④：已知∠C=∠C'，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠C是AC和BC的夹角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
6. 选③④：已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似（SSS判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
综上，符合要求的组合共有3组。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题关键是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意“两边成比例且夹角相等”中角必须是两组对应边的夹角，不可误用SSA判定相似，同时要全面枚举所有组合，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先需要明确相似三角形的所有判定定理，其次用枚举法列出从4个条件中任选2个的所有组合，再逐一对照判定定理判断每组能否证明两个三角形相似，最后统计符合要求的组数即可。注意要避免“两边成比例且非夹角相等（SSA）”的判定误区。
【解析】
从4个条件中任选2个，共有6种组合，逐一判断如下：
1. 选①②：已知∠A=∠A'，∠C=∠C'，根据“两角对应相等的两个三角形相似（AA判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
2. 选①③：已知∠A=∠A'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，∠A不是AB和BC的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
3. 选①④：已知∠A=∠A'，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠A不是AC和BC的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
4. 选②③：已知∠C=∠C'，$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，∠C不是BC和AB的夹角，属于SSA情形，不能判定相似，该组合不符合要求。
5. 选②④：已知∠C=∠C'，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，∠C是AC和BC的夹角，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
6. 选③④：已知$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}$，$\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，可得$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}$，根据“三边对应成比例的两个三角形相似（SSS判定）”，可判定△ABC∽△A'B'C'，该组合符合要求。
综上，符合要求的组合共有3组。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定、分类讨论思想
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的应用，解题关键是熟练掌握各判定定理的适用条件，尤其要注意“两边成比例且夹角相等”中角必须是两组对应边的夹角，不可误用SSA判定相似，同时要全面枚举所有组合，避免漏判、错判。
【难度系数】
0.6
10.(浙江省)如图3-2-9,身高为1.5m的某学生测量一棵大树的高度,她沿着树影BA由B向A走去,当她走到C点时,她的影子顶端正好与树的影子顶端重合,此时测得BC=3m,AC=1m,则树的高度为 …【 】
A.4.5m
B.6m
C.3m
D.4m
A.4.5m
B.6m
C.3m
D.4m
答案
10. B.
解析
【分析】
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先，人和大树均垂直于地面，可得两个直角三角形有一组公共角∠A，可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知数据计算即可得到树的高度。
【解析】
设树的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知：学生身高与地面垂直，大树与地面垂直，因此$ ∠ ACD = ∠ ABE = 90° $，
又$ ∠ A = ∠ A $（公共角），
$ \therefore △ ACD ∽ △ ABE $（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：$ \frac{CD}{BE} = \frac{AC}{AB} $，
已知$ CD=1.5\,\mathrm{m} $，$ AC=1\,\mathrm{m} $，$ AB=AC+BC=1+3=4\,\mathrm{m} $，代入得：
$ \frac{1.5}{x} = \frac{1}{4} $，
解得：$ x=1.5 × 4 = 6 \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是准确找到相似的三角形，再利用相似性质列比例式求解，解题时需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.8
本题是利用相似三角形测量物体高度的实际应用题，解题思路如下：首先，人和大树均垂直于地面，可得两个直角三角形有一组公共角∠A，可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式，代入已知数据计算即可得到树的高度。
【解析】
设树的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
由题意可知：学生身高与地面垂直，大树与地面垂直，因此$ ∠ ACD = ∠ ABE = 90° $，
又$ ∠ A = ∠ A $（公共角），
$ \therefore △ ACD ∽ △ ABE $（两角分别相等的两个三角形相似），
根据相似三角形对应边成比例，可得：$ \frac{CD}{BE} = \frac{AC}{AB} $，
已知$ CD=1.5\,\mathrm{m} $，$ AC=1\,\mathrm{m} $，$ AB=AC+BC=1+3=4\,\mathrm{m} $，代入得：
$ \frac{1.5}{x} = \frac{1}{4} $，
解得：$ x=1.5 × 4 = 6 \, \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量中的典型题型，解题核心是准确找到相似的三角形，再利用相似性质列比例式求解，解题时需注意对应边不要混淆。
【难度系数】
0.8
11.(烟台)如图3-2-10，将$△ ABC$绕点$P$顺时针旋转$90°$得到$△ A'B'C'$，则点$P$的坐标是……【 】
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(1,4)$
图3-2-10
图3-2-11
A.$(1,1)$
B.$(1,2)$
C.$(1,3)$
D.$(1,4)$
图3-2-10
图3-2-11
答案
11. B.
解析
【分析】
要确定旋转中心P，需用到旋转的核心性质：旋转中心到每一组对应点的距离都相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题作为选择题有两种解题思路：一是找到两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心；二是逐一验证选项中的点，判断△ABC的顶点绕该点顺时针旋转90°后是否与△A'B'C'的对应顶点重合，即可快速得出答案。
【解析】
方法1：利用垂直平分线交点求解
根据旋转的性质，旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点：
① 选取△ABC和△A'B'C'的两组对应点，如点A与A'、点B与B'；
② 分别作线段AA'、线段BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点坐标为$(1,2)$，即为旋转中心P的坐标。
方法2：验证选项求解
逐一验证四个选项，只有当点P坐标为$(1,2)$时，△ABC的所有顶点绕点P顺时针旋转90°后，均能与△A'B'C'的对应顶点完全重合，符合旋转的要求。
综上，B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变化-旋转；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定方法，解题关键是熟练掌握旋转的基本性质，可结合几何作图或选项验证两种方法灵活求解，对图形性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要确定旋转中心P，需用到旋转的核心性质：旋转中心到每一组对应点的距离都相等，且对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。本题作为选择题有两种解题思路：一是找到两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是旋转中心；二是逐一验证选项中的点，判断△ABC的顶点绕该点顺时针旋转90°后是否与△A'B'C'的对应顶点重合，即可快速得出答案。
【解析】
方法1：利用垂直平分线交点求解
根据旋转的性质，旋转中心是所有对应点连线的垂直平分线的交点：
① 选取△ABC和△A'B'C'的两组对应点，如点A与A'、点B与B'；
② 分别作线段AA'、线段BB'的垂直平分线，两条垂直平分线的交点坐标为$(1,2)$，即为旋转中心P的坐标。
方法2：验证选项求解
逐一验证四个选项，只有当点P坐标为$(1,2)$时，△ABC的所有顶点绕点P顺时针旋转90°后，均能与△A'B'C'的对应顶点完全重合，符合旋转的要求。
综上，B选项正确。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质；坐标与图形变化-旋转；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查旋转中心的确定方法，解题关键是熟练掌握旋转的基本性质，可结合几何作图或选项验证两种方法灵活求解，对图形性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
12.（深圳）如图3-2-11，$CB = CA$，$∠ ACB = 90°$，点D在边BC上（与B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作$FG ⊥ CA$，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q.下列结论正确的有 …………【 】
①$AC = FG$；
②$S_{△ FAB}: S_{\mathrm{四边形}CBFG} = 1:2$；
③$∠ ABC = ∠ ABF$；
④$AD^2 = FQ · AC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$AC = FG$；
②$S_{△ FAB}: S_{\mathrm{四边形}CBFG} = 1:2$；
③$∠ ABC = ∠ ABF$；
④$AD^2 = FQ · AC$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
12. D.
解析
【分析】
我们逐个验证4个结论是否正确，结合等腰直角三角形、正方形的性质逐步推导：
1. 验证结论①：利用正方形性质得AD=AF、∠DAF=90°，结合FG⊥CA、∠ACB=90°，推导角相等后用AAS证△FGA≌△ACD，即可得AC=FG；
2. 验证结论②：由①得FG=BC，且FG//BC、∠C=∠G=90°，可知四边形CBFG是矩形，分别计算△FAB和矩形CBFG的面积，可得面积比为1:2；
3. 验证结论③：等腰Rt△ACB中∠ABC=45°，结合矩形CBFG中∠CBF=90°，可得∠ABF=45°，即∠ABC=∠ABF；
4. 验证结论④：推导FQ的长度表达式，结合AD²的表达式，即可验证AD²=FQ·AC。
【解析】
逐个判断结论：
① 证明：
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAD + ∠GAF = 90°。
∵FG⊥CA，
∴∠G=90°=∠ACB，
∴∠AFG + ∠GAF=90°，
∴∠CAD=∠AFG。
在△FGA和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠G=∠C \\∠AFG=∠CAD \\AF=AD\end{array} $
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
② 证明：
∵AC=BC，AC=FG，
∴FG=BC，又
∵FG//BC，∠C=∠G=90°，
∴四边形CBFG是矩形。
$S_{\mathrm{四边形}CBFG}=BC· CG$，$S_{△FAB}=S_{\mathrm{四边形}CBFG}-S_{△FGB}-S_{△ACB}=\frac{1}{2}BC· CG$，因此$S_{△FAB}:S_{\mathrm{四边形}CBFG}=1:2$，②正确；
③ 证明：
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，
∴∠ABF=90°-∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠ABF，③正确；
④ 证明：AD²=AC²+CD²，由△FGA≌△ACD得AG=CD，结合DE、FB交点Q的坐标推导可得$FQ=\frac{AC²+CD²}{AC}$，因此$FQ· AC=AC²+CD²=AD²$，④正确。
四个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题为几何综合题，需结合多个几何图形的性质逐步推导验证，既可以用纯几何方法证明，也可以通过坐标法简化计算，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.3
我们逐个验证4个结论是否正确，结合等腰直角三角形、正方形的性质逐步推导：
1. 验证结论①：利用正方形性质得AD=AF、∠DAF=90°，结合FG⊥CA、∠ACB=90°，推导角相等后用AAS证△FGA≌△ACD，即可得AC=FG；
2. 验证结论②：由①得FG=BC，且FG//BC、∠C=∠G=90°，可知四边形CBFG是矩形，分别计算△FAB和矩形CBFG的面积，可得面积比为1:2；
3. 验证结论③：等腰Rt△ACB中∠ABC=45°，结合矩形CBFG中∠CBF=90°，可得∠ABF=45°，即∠ABC=∠ABF；
4. 验证结论④：推导FQ的长度表达式，结合AD²的表达式，即可验证AD²=FQ·AC。
【解析】
逐个判断结论：
① 证明：
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF=90°，AD=AF，
∴∠CAD + ∠GAF = 90°。
∵FG⊥CA，
∴∠G=90°=∠ACB，
∴∠AFG + ∠GAF=90°，
∴∠CAD=∠AFG。
在△FGA和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}∠G=∠C \\∠AFG=∠CAD \\AF=AD\end{array} $
∴△FGA≌△ACD（AAS），
∴AC=FG，①正确；
② 证明：
∵AC=BC，AC=FG，
∴FG=BC，又
∵FG//BC，∠C=∠G=90°，
∴四边形CBFG是矩形。
$S_{\mathrm{四边形}CBFG}=BC· CG$，$S_{△FAB}=S_{\mathrm{四边形}CBFG}-S_{△FGB}-S_{△ACB}=\frac{1}{2}BC· CG$，因此$S_{△FAB}:S_{\mathrm{四边形}CBFG}=1:2$，②正确；
③ 证明：
∵△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∵四边形CBFG是矩形，
∴∠CBF=90°，
∴∠ABF=90°-∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠ABF，③正确；
④ 证明：AD²=AC²+CD²，由△FGA≌△ACD得AG=CD，结合DE、FB交点Q的坐标推导可得$FQ=\frac{AC²+CD²}{AC}$，因此$FQ· AC=AC²+CD²=AD²$，④正确。
四个结论均正确，故选D。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形性质
【点评】
本题为几何综合题，需结合多个几何图形的性质逐步推导验证，既可以用纯几何方法证明，也可以通过坐标法简化计算，对逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.3
13.(恩施)如图3-2-12，点B,C,G在一条直线上，点D在CE上，菱形ABCD和菱形CEFG的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是………………【 】
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.3
D.$\sqrt{2}$
图3-2-12
A.$\sqrt{3}$
B.2
C.3
D.$\sqrt{2}$
图3-2-12
答案
13. A.
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，我们可以利用菱形的性质寻找面积相等的三角形进行转化求解。首先观察菱形的对角线特征：菱形的对角线平分内角，可先证明菱形ABCD的对角线BD与菱形CEFG的对角线CF平行，再根据“平行线间同底等高的三角形面积相等”，将阴影△BDF的面积转化为△BDC的面积，进而简化计算。
【解析】
解：连接CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，
∴BD平分∠ABC，CF平分∠ECG，且AB//CE。
∵菱形ABCD中∠A=120°，邻角互补，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
又
∵AB//CE，
∴∠ECG=∠ABC=60°，
∴∠FCG=$\frac{1}{2}$∠ECG=30°，
∴∠DBC=∠FCG，
∴BD//CF。
∴点F和点C到直线BD的距离相等，即△BDF与△BDC同底BD，高相等，故$S_{△ BDF}=S_{△ BDC}$。
计算菱形ABCD的面积：$S_{菱形ABCD}=边长×高=2×(2×\sin60°)=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
而△BDC的面积为菱形ABCD面积的一半，
∴$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，即阴影部分面积为$\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，平行线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过菱形对角线的性质发现两条对角线的平行关系，将陌生的阴影面积转化为已知菱形内的三角形面积计算，很好地考察了几何图形中的转化思想，避免了繁杂的多块面积加减运算。
【难度系数】
0.6
要求阴影部分的面积，我们可以利用菱形的性质寻找面积相等的三角形进行转化求解。首先观察菱形的对角线特征：菱形的对角线平分内角，可先证明菱形ABCD的对角线BD与菱形CEFG的对角线CF平行，再根据“平行线间同底等高的三角形面积相等”，将阴影△BDF的面积转化为△BDC的面积，进而简化计算。
【解析】
解：连接CF，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是菱形，
∴BD平分∠ABC，CF平分∠ECG，且AB//CE。
∵菱形ABCD中∠A=120°，邻角互补，
∴∠ABC=180°-120°=60°，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°。
又
∵AB//CE，
∴∠ECG=∠ABC=60°，
∴∠FCG=$\frac{1}{2}$∠ECG=30°，
∴∠DBC=∠FCG，
∴BD//CF。
∴点F和点C到直线BD的距离相等，即△BDF与△BDC同底BD，高相等，故$S_{△ BDF}=S_{△ BDC}$。
计算菱形ABCD的面积：$S_{菱形ABCD}=边长×高=2×(2×\sin60°)=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$，
而△BDC的面积为菱形ABCD面积的一半，
∴$S_{△ BDC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}=\sqrt{3}$，即阴影部分面积为$\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质，平行线的判定，三角形面积计算
【点评】
本题解题的核心是通过菱形对角线的性质发现两条对角线的平行关系，将陌生的阴影面积转化为已知菱形内的三角形面积计算，很好地考察了几何图形中的转化思想，避免了繁杂的多块面积加减运算。
【难度系数】
0.6
