22. 如图,在等边三角形 ABC 中,点 D,E 分别是 BC,AC 边上的一点(点 D 不与端点重合),且 BD＜CD,BD=CE,连接 AD,BE.
(1)求证:△ABD≌△BCE.
(2)将△ABD 沿 AB 翻折,得到△ABF.在 AD 上取一点 O,使∠FOD=∠BAC,延长 FO 交 AC 于点 P.
①求证:四边形 BEPF 是平行四边形.
②若 BD=$\frac{2}{5}$BC,试求线段 AD 和 CP 之间的数量关系.

(1) 证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
$\begin{cases}AB=BC \\∠ABD=∠BCE \\BD=CE\end{cases}$
∴ △ABD≌△BCE(SAS)。
---
(2) ① 证明：
由翻折的性质得：BF=BD，∠ABF=∠ABD=60°，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠BAC=∠C=60°，
∴ ∠FBC=∠ABF + ∠ABC=120°，
∴ ∠FBC + ∠C=180°，
∴ BF//AC，即BF//PE。
∵ 点O在AD上，即A、O、D共线，
∴ ∠AOF=180°-∠FOD，
又∵ ∠FOD=∠BAC=60°，
∴ ∠AOF=120°，
∵ ∠FOD是△AOP的外角，
∴ ∠FOD=∠OAP + ∠APO=60°，
又∵ ∠BAC=∠BAD + ∠OAP=60°，
∴ ∠APO=∠BAD，
由(1)中△ABD≌△BCE得∠BAD=∠CBE，
∴ ∠APO=∠CBE，
∴ FP//BE，
∵ BF//PE，FP//BE，
∴ 四边形BEPF是平行四边形。
---
② 解：
设BC=5k，由$BD=\frac{2}{5}BC$得BD=2k，
∵ BD=CE，∴ CE=2k，
∵ 四边形BEPF是平行四边形，
∴ PE=BF，
由翻折性质得BF=BD=2k，
∴ PE=2k，
由点P、E在AC上，顺序为A-P-E-C，得CP=PE+CE=2k+2k=4k。
过A作AH⊥BC于H，
∵ △ABC是等边三角形，
∴ $BH=\frac{1}{2}BC=\frac{5}{2}k$，$AH=\frac{\sqrt{3}}{2}BC=\frac{5\sqrt{3}}{2}k$，
∴ $DH=BH-BD=\frac{5}{2}k-2k=\frac{1}{2}k$，
在Rt△AHD中，由勾股定理：
$AD^2=AH^2+DH^2=(\frac{5\sqrt{3}}{2}k)^2+(\frac{1}{2}k)^2=19k^2$，
∴ $AD=\sqrt{19}k$，
∵ CP=4k，即$k=\frac{CP}{4}$，代入得：
$AD=\frac{\sqrt{19}}{4}CP$，即$4AD=\sqrt{19}CP$。
最终结论：线段AD和CP的数量关系为$\boldsymbol{4AD=\sqrt{19}CP}$。