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10. (1) 已知 $ m $，$ n $ 满足 $ |m - 2| + (n - 2025)^2 = 0 $，求 $ m^{-1} + n^0 $ 的值。
(2) 已知 $ (x + 1)^{x^2 - 1} = 1 $，求 $ x $ 的值。
(2) 已知 $ (x + 1)^{x^2 - 1} = 1 $，求 $ x $ 的值。
答案
10. 解:(1)因为 $ |m - 2| + (n - 2025)^2 = 0 $，
所以 $ m - 2 = 0 $，$ n - 2025 = 0 $，
所以 $ m = 2 $，$ n = 2025 $，
所以 $ m^{-1} + n^0 = 2^{-1} + 2025^0 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} $。
(2)1 或 0
所以 $ m - 2 = 0 $，$ n - 2025 = 0 $，
所以 $ m = 2 $，$ n = 2025 $，
所以 $ m^{-1} + n^0 = 2^{-1} + 2025^0 = \dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{3}{2} $。
(2)1 或 0
解析
【分析】
1. 第(1)问：利用绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的值，再代入负整数指数幂、零指数幂的运算公式计算结果。
2. 第(2)问：等式$(x+1)^{x^2 -1}=1$需分三种情况讨论：①底数为1时，指数任意；②底数为-1时，指数为偶数；③底数不为0且指数为0时，结果为1，据此求解x并验证合理性。
【解析】
(1) 因为$|m-2|≥0$，$(n-2025)^2≥0$，且$|m-2| + (n-2025)^2 =0$，所以：
$m-2=0$，$n-2025=0$，解得$m=2$，$n=2025$。
根据负整数指数幂定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$、零指数幂定义$a^0=1(a≠0)$，得：
$m^{-1} +n^0 =2^{-1} +2025^0=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。
(2) 分情况讨论：
① 当$x+1=1$时，$x=0$，此时指数$x^2 -1=-1$，$1^{-1}=1$，符合条件；
② 当$x+1=-1$时，$x=-2$，此时指数$x^2 -1=3$，$(-1)^3=-1≠1$，舍去；
③ 当$x^2 -1=0$时，$x=±1$，需满足底数$x+1≠0$，即$x≠-1$，故$x=1$，此时$1^0=1$，符合条件；
综上，x的值为1或0。
【答案】(1)$\frac{3}{2}$；(2)1或0
【知识点】非负数的性质，零指数幂与负整数指数幂，幂的特殊运算
【点评】本题结合非负数性质和幂的运算，第(1)问基础，第(2)问需分类讨论幂等于1的多种情况，易漏解，考查学生的全面分析能力。
【难度系数】0.6
1. 第(1)问：利用绝对值和平方的非负性，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此求出m、n的值，再代入负整数指数幂、零指数幂的运算公式计算结果。
2. 第(2)问：等式$(x+1)^{x^2 -1}=1$需分三种情况讨论：①底数为1时，指数任意；②底数为-1时，指数为偶数；③底数不为0且指数为0时，结果为1，据此求解x并验证合理性。
【解析】
(1) 因为$|m-2|≥0$，$(n-2025)^2≥0$，且$|m-2| + (n-2025)^2 =0$，所以：
$m-2=0$，$n-2025=0$，解得$m=2$，$n=2025$。
根据负整数指数幂定义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$、零指数幂定义$a^0=1(a≠0)$，得：
$m^{-1} +n^0 =2^{-1} +2025^0=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。
(2) 分情况讨论：
① 当$x+1=1$时，$x=0$，此时指数$x^2 -1=-1$，$1^{-1}=1$，符合条件；
② 当$x+1=-1$时，$x=-2$，此时指数$x^2 -1=3$，$(-1)^3=-1≠1$，舍去；
③ 当$x^2 -1=0$时，$x=±1$，需满足底数$x+1≠0$，即$x≠-1$，故$x=1$，此时$1^0=1$，符合条件；
综上，x的值为1或0。
【答案】(1)$\frac{3}{2}$；(2)1或0
【知识点】非负数的性质，零指数幂与负整数指数幂，幂的特殊运算
【点评】本题结合非负数性质和幂的运算，第(1)问基础，第(2)问需分类讨论幂等于1的多种情况，易漏解，考查学生的全面分析能力。
【难度系数】0.6
一般地，一个小于 1 的正数可以表示为
$ a × 10^{n} $
的形式，其中$ 1 ≤ a ＜ 10 $
，$ n $ 是负整数
。答案
知识点一 $ a × 10^{n} $ $ 1 ≤ a ＜ 10 $ 负整数
解析
$a × 10^{n}$；$1 ≤ a ＜ 10$；负整数
把 $ a×10^{n} $($ n $ 为负整数)写成小数形式时，$ a $ 的小数点应向
左
移动$ |n| $
位。答案
知识点二 左 $ |n| $
解析
左；$|n|$
例 1 一粒米的质量约为 $ 0.000021 kg $。这个数字用科学记数法表示为(
A.$ 2.1×10^{-4} $
B.$ 2.1×10^{-6} $
C.$ 2.1×10^{-5} $
D.$ 21×10^{-4} $
C
)A.$ 2.1×10^{-4} $
B.$ 2.1×10^{-6} $
C.$ 2.1×10^{-5} $
D.$ 21×10^{-4} $
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的正数的科学记数法表示规则：科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。我们只需确定$a$和$n$的值即可选出正确选项。
【解析】
对于$0.000021$，首先确定$a$：将原数的小数点向右移动5位，得到$a=2.1$（满足$1≤|a|＜10$）；再确定$n$：原数中第一个非零数字2的前面有5个零，因此$n=5$。所以$0.000021$用科学记数法表示为$2.1×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题，考查绝对值小于1的数的科学记数法表示方法，核心是掌握指数$n$的确定规则，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需掌握绝对值小于1的正数的科学记数法表示规则：科学记数法的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$是原数中第一个非零数字前所有零的个数（包括小数点前的零）。我们只需确定$a$和$n$的值即可选出正确选项。
【解析】
对于$0.000021$，首先确定$a$：将原数的小数点向右移动5位，得到$a=2.1$（满足$1≤|a|＜10$）；再确定$n$：原数中第一个非零数字2的前面有5个零，因此$n=5$。所以$0.000021$用科学记数法表示为$2.1×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法（表示较小的数）
【点评】
本题是科学记数法的基础应用题，考查绝对值小于1的数的科学记数法表示方法，核心是掌握指数$n$的确定规则，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
【变式训练 1】已知某种病毒的直径约为 $ 0.0000001022 m $。将 $ 0.0000001022 $ 用科学记数法表示为(
A.$ 1.022×10^{-6} $
B.$ 0.1022×10^{-6} $
C.$ 1.022×10^{-7} $
D.$ 10.22×10^{-8} $
C
)A.$ 1.022×10^{-6} $
B.$ 0.1022×10^{-6} $
C.$ 1.022×10^{-7} $
D.$ 10.22×10^{-8} $
答案
变式训练 1 C
解析
【分析】要解决本题，需明确绝对值小于1的数的科学记数法表示规则：科学记数法中，绝对值小于1的数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤|a|＜10$，$n$为正整数，$n$等于原数中第一个非零数字前面所有零的个数（包括小数点前的零）。我们需据此确定$a$和$n$的值，再选出对应选项。
【解析】对于$0.0000001022$，第一步确定$a$：找到第一个非零数字1，将其调整为满足$1≤a＜10$的数，即$a=1.022$；第二步确定$n$：数第一个非零数字1前面的零的个数，小数点后到1之前共有7个零，故$n=7$。因此该数用科学记数法表示为$1.022×10^{-7}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】科学记数法（表示较小的数）
【点评】本题考查基础的科学记数法应用，核心是准确确定$a$和$n$的取值，只要掌握规则即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】0.9
【解析】对于$0.0000001022$，第一步确定$a$：找到第一个非零数字1，将其调整为满足$1≤a＜10$的数，即$a=1.022$；第二步确定$n$：数第一个非零数字1前面的零的个数，小数点后到1之前共有7个零，故$n=7$。因此该数用科学记数法表示为$1.022×10^{-7}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】科学记数法（表示较小的数）
【点评】本题考查基础的科学记数法应用，核心是准确确定$a$和$n$的取值，只要掌握规则即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】0.9
例 2 某化肥厂去年生产甲种化肥 $ 6×10^{5} kg $，生产乙种化肥 $ 2×10^{5} kg $。已知每千克甲种化肥盈利 $ a $ 元，每千克乙种化肥盈利 $ b $ 元，那么这两种化肥一共盈利多少元？
答案
解析
【分析】要计算两种化肥的总盈利，需先分别求出甲、乙两种化肥各自的盈利，再将两者相加。甲种化肥的盈利等于其重量乘以每千克盈利，乙种同理，最后对所得的代数式化简即可。
【解析】甲种化肥的盈利为：$6×10^5 · a = 6a×10^5$（元），乙种化肥的盈利为：$2×10^5 · b = 2b×10^5$（元），则两种化肥总盈利为两者之和，计算如下：
$\begin{aligned}&6a×10^5 + 2b×10^5\\=&(6a + 2b)×10^5 \mathrm{（元）}\end{aligned}$
【答案】$(6a + 2b)×10^5$元
【知识点】整式的加减、科学计数法应用
【点评】本题结合实际盈利场景，考查代数式的列式与化简，属于基础题型，解题思路直接，步骤清晰，易于理解掌握。
【难度系数】0.8
【解析】甲种化肥的盈利为：$6×10^5 · a = 6a×10^5$（元），乙种化肥的盈利为：$2×10^5 · b = 2b×10^5$（元），则两种化肥总盈利为两者之和，计算如下：
$\begin{aligned}&6a×10^5 + 2b×10^5\\=&(6a + 2b)×10^5 \mathrm{（元）}\end{aligned}$
【答案】$(6a + 2b)×10^5$元
【知识点】整式的加减、科学计数法应用
【点评】本题结合实际盈利场景，考查代数式的列式与化简，属于基础题型，解题思路直接，步骤清晰，易于理解掌握。
【难度系数】0.8
【变式训练 2】地球的体积约为 $ 10^{12} km^{3} $，太阳的体积约为 $ 1.4×10^{18} km^{3} $，则地球的体积约是太阳体积的(
A.$ 7.1×10^{-6} $
B.$ 7.1×10^{-7} $
C.$ 1.4×10^{6} $
D.$ 1.4×10^{7} $
B
)A.$ 7.1×10^{-6} $
B.$ 7.1×10^{-7} $
C.$ 1.4×10^{6} $
D.$ 1.4×10^{7} $
答案
变式训练 2 B
解析
地球体积除以太阳体积可得：$\frac{10^{12}}{1.4×10^{18}}=\frac{1}{1.4}×10^{-6}\approx0.71×10^{-6}=7.1×10^{-7}$，答案选B。
