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11. (2026 浙江绍兴)已知关于 $x$ 的方程 $a(x+m)^{2}+b=0$ 的解 $x_{1}=-2,x_{2}=1$ 是($a,m,b$ 均为常数,$a≠0$),则方程 $a(3x+m+1)^{2}+b=0$ 的解是 (
A. $x_{1}=-5,x_{2}=4$
B. $x_{1}=-1,x_{2}=0$
C. $x_{1}=-2,x_{2}=1$
D. 无法求解
B
)A. $x_{1}=-5,x_{2}=4$
B. $x_{1}=-1,x_{2}=0$
C. $x_{1}=-2,x_{2}=1$
D. 无法求解
答案
11. B
解析
【分析】
本题可通过整体换元的思路解题。已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解，说明当$(x+m)$取特定值时方程成立；对待求方程，将$(3x + m +1)$看作整体，令其等于已知方程中$(x+m)$的对应值，结合已知解即可快速求出待求方程的解。
【解析】
1. 对已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$（$a≠0$）移项得：$(x+m)^2 = -\frac{b}{a}$，因此$x+m = ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$，即$x = -m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$。已知该方程的解为$x_1=-2,x_2=1$，故$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$的值为$-2$和$1$。
2. 对待求方程$a(3x + m +1)^2 + b = 0$移项得：$(3x + m +1)^2 = -\frac{b}{a}$，因此$3x + m +1 = ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$。
3. 整理上式：$3x = -m -1 ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$，两边除以3得：$x = \frac{(-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}) -1}{3}$。
4. 将$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$的取值（$-2$和$1$）代入计算：
当$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}=-2$时，$x=\frac{-2 -1}{3}=-1$；
当$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}=1$时，$x=\frac{1 -1}{3}=0$。
因此待求方程的解为$x_1=-1,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用整体换元思想，无需计算常数$m,b$，直接通过变量对应关系求解，是一元二次方程章节的基础题型，重点考查学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
本题可通过整体换元的思路解题。已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$的解，说明当$(x+m)$取特定值时方程成立；对待求方程，将$(3x + m +1)$看作整体，令其等于已知方程中$(x+m)$的对应值，结合已知解即可快速求出待求方程的解。
【解析】
1. 对已知方程$a(x+m)^2 + b = 0$（$a≠0$）移项得：$(x+m)^2 = -\frac{b}{a}$，因此$x+m = ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$，即$x = -m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$。已知该方程的解为$x_1=-2,x_2=1$，故$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$的值为$-2$和$1$。
2. 对待求方程$a(3x + m +1)^2 + b = 0$移项得：$(3x + m +1)^2 = -\frac{b}{a}$，因此$3x + m +1 = ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$。
3. 整理上式：$3x = -m -1 ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$，两边除以3得：$x = \frac{(-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}) -1}{3}$。
4. 将$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}$的取值（$-2$和$1$）代入计算：
当$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}=-2$时，$x=\frac{-2 -1}{3}=-1$；
当$-m ±\sqrt{-\frac{b}{a}}=1$时，$x=\frac{1 -1}{3}=0$。
因此待求方程的解为$x_1=-1,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解；换元法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解的应用，核心是利用整体换元思想，无需计算常数$m,b$，直接通过变量对应关系求解，是一元二次方程章节的基础题型，重点考查学生对整体思想的运用能力。
【难度系数】
0.6
12. 王老师在批改作业时发现,一位同学在用配方法解一元二次方程时,配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下:$(x-1)^{2}=■$.若该方程的一个根为 $x_{1}=3$,则另一个根为 $x_{2}=$
-1
.答案
12. -1
解析
【分析】
配方法得到的方程$(x-1)^2=■$（设被污染的数为$k$）本质是一元二次方程，形式为$x^2 -2x +1 -k=0$。可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），或方程解关于直线$x=1$对称的性质，结合已知根求出另一个根。
【解析】
设被墨水污染的数为$k$，则原方程为$(x-1)^2 = k$，展开整理得：$x^2 - 2x + (1 - k) = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
此方程中$a=1$，$b=-2$，故两根之和为$\frac{2}{1}=2$。
已知一个根$x_1=3$，设另一个根为$x_2$，则$3 + x_2 = 2$，解得$x_2 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法得到的一元二次方程的根的性质，利用韦达定理或方程解的对称性即可快速求解，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.6
配方法得到的方程$(x-1)^2=■$（设被污染的数为$k$）本质是一元二次方程，形式为$x^2 -2x +1 -k=0$。可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），或方程解关于直线$x=1$对称的性质，结合已知根求出另一个根。
【解析】
设被墨水污染的数为$k$，则原方程为$(x-1)^2 = k$，展开整理得：$x^2 - 2x + (1 - k) = 0$。
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\frac{b}{a}$。
此方程中$a=1$，$b=-2$，故两根之和为$\frac{2}{1}=2$。
已知一个根$x_1=3$，设另一个根为$x_2$，则$3 + x_2 = 2$，解得$x_2 = -1$。
【答案】
-1
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查配方法得到的一元二次方程的根的性质，利用韦达定理或方程解的对称性即可快速求解，属于基础题，难度较低。
【难度系数】
0.6
13. 对于两个不相等的实数 $a、b$,我们规定符号 $\mathrm{min}\{a,b\}$ 表示 $a、b$ 中的较小值,如:$\mathrm{min}\{1,2\}=1$.按照这个规定,方程 $\mathrm{min}\{1,x\}=x^{2}-2x$ 的解为
$x=1+\sqrt{2}$或$x=0$
.答案
13. $x=1+\sqrt{2}$或$x=0$
解析
【分析】首先明确新定义符号$\mathrm{min}\{a,b\}$的含义：对于不相等的实数$a、b$，取两者中的较小值，因此需分两种情况讨论$x$与1的大小关系，分别代入方程求解后，再根据前提条件筛选出符合要求的解。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ 1$时，$\mathrm{min}\{1,x\}=x$，原方程化为：
$x = x^2 - 2x$
整理得：$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：$x(x - 3) = 0$
解得：$x=0$或$x=3$
因前提为$x ＜ 1$，故$x=3$不符合，舍去，保留$x=0$；
2. 当$x ＞ 1$时，$\mathrm{min}\{1,x\}=1$，原方程化为：
$1 = x^2 - 2x$
整理得：$x^2 - 2x -1 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因前提为$x ＞ 1$，$1+\sqrt{2}\approx2.414＞1$符合，$1-\sqrt{2}\approx-0.414＜1$不符合，舍去，保留$x=1+\sqrt{2}$；
综上，方程的解为$x=0$或$x=1+\sqrt{2}$。
【答案】$x=1+\sqrt{2}$或$x=0$
【知识点】新定义运算、一元二次方程求解
【点评】本题结合新定义考查一元二次方程的解法，核心是根据$\mathrm{min}$的定义分情况讨论，需注意解的取舍，难度适中，是常见的综合类基础题。
【难度系数】0.5
【解析】分两种情况讨论：
1. 当$x ＜ 1$时，$\mathrm{min}\{1,x\}=x$，原方程化为：
$x = x^2 - 2x$
整理得：$x^2 - 3x = 0$
因式分解得：$x(x - 3) = 0$
解得：$x=0$或$x=3$
因前提为$x ＜ 1$，故$x=3$不符合，舍去，保留$x=0$；
2. 当$x ＞ 1$时，$\mathrm{min}\{1,x\}=1$，原方程化为：
$1 = x^2 - 2x$
整理得：$x^2 - 2x -1 = 0$
用求根公式解得：$x=\frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2}=1\pm\sqrt{2}$
因前提为$x ＞ 1$，$1+\sqrt{2}\approx2.414＞1$符合，$1-\sqrt{2}\approx-0.414＜1$不符合，舍去，保留$x=1+\sqrt{2}$；
综上，方程的解为$x=0$或$x=1+\sqrt{2}$。
【答案】$x=1+\sqrt{2}$或$x=0$
【知识点】新定义运算、一元二次方程求解
【点评】本题结合新定义考查一元二次方程的解法，核心是根据$\mathrm{min}$的定义分情况讨论，需注意解的取舍，难度适中，是常见的综合类基础题。
【难度系数】0.5
14. 根据如图所示的流程图完成下列问题.
(1) 若输出结果 $C$ 为 16,则 $x$ 的值为
(2) 若输出结果 $B$ 为-4,求 $x$ 的值.
(1) 若输出结果 $C$ 为 16,则 $x$ 的值为
$\pm 4$
；(2) 若输出结果 $B$ 为-4,求 $x$ 的值.
答案
14. (1) $\pm 4$ (2) 2
解析
【分析】先根据流程图明确各输出对应的代数式：A对应$-4x$，B对应$-4x$与$x^2$的和（即$x^2 -4x$），C对应$x^2$。解题时，根据题目给出的输出结果，找到对应代数式列出方程，再解方程即可求出$x$的值。
【解析】
(1) 由流程图可知，输出$C$对应的代数式为$x^2$，已知$C=16$，因此列方程：
$x^2 = 16$
根据平方根的定义，解得$x = \pm 4$。
(2) 由流程图可知，输出$B$对应的代数式为$x^2 -4x$，已知$B=-4$，因此列方程：
$x^2 -4x = -4$
移项整理得：$x^2 -4x +4 =0$，即$(x-2)^2=0$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $\pm 4$；(2) $2$
【知识点】
代数式求值、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合流程图考查代数式与一元二次方程的应用，核心是明确各输出对应的表达式，属于基础题型，重点考查学生对代数式和一元二次方程解法的掌握。
【难度系数】
0.3
【解析】
(1) 由流程图可知，输出$C$对应的代数式为$x^2$，已知$C=16$，因此列方程：
$x^2 = 16$
根据平方根的定义，解得$x = \pm 4$。
(2) 由流程图可知，输出$B$对应的代数式为$x^2 -4x$，已知$B=-4$，因此列方程：
$x^2 -4x = -4$
移项整理得：$x^2 -4x +4 =0$，即$(x-2)^2=0$
解得$x=2$。
【答案】
(1) $\pm 4$；(2) $2$
【知识点】
代数式求值、一元二次方程的解法
【点评】
本题结合流程图考查代数式与一元二次方程的应用，核心是明确各输出对应的表达式，属于基础题型，重点考查学生对代数式和一元二次方程解法的掌握。
【难度系数】
0.3
15. 用配方法解下列方程：
(1) $(x-1)^{2}-2(x-1)-3=0$；
(2) $x^{2}-2mx+m^{2}=0$.
(1) $(x-1)^{2}-2(x-1)-3=0$；
(2) $x^{2}-2mx+m^{2}=0$.
答案
15. (1) $x_{1}=0,x_{2}=4$ (2) $x_{1}=x_{2}=m$.
解析
【分析】
解这两个方程时，第(1)题可将$(x-1)$看作整体简化计算，先通过换元转化为普通一元二次方程，再用配方法；第(2)题左边本身是完全平方式，直接利用配方法整理即可。配方法的核心是将一元二次方程转化为完全平方式，再开方求解，关键是在二次项系数为1时，方程两边加一次项系数一半的平方。
【解析】
(1) 设 $y = x - 1$，原方程转化为：$y^2 - 2y - 3 = 0$
移项得：$y^2 - 2y = 3$
配方：两边加 $(\frac{-2}{2})^2 = 1$，得 $y^2 - 2y + 1 = 3 + 1$，即 $(y - 1)^2 = 4$
开方得：$y - 1 = \pm 2$
解得 $y = 3$ 或 $y = -1$
代回 $y = x - 1$：
当 $y = 3$ 时，$x - 1 = 3$，得 $x = 4$；
当 $y = -1$ 时，$x - 1 = -1$，得 $x = 0$；
故方程(1)的解为 $x_1 = 0, x_2 = 4$。
(2) 原方程 $x^2 - 2mx + m^2 = 0$，左边为完全平方式，直接配方得：$(x - m)^2 = 0$
开方得：$x - m = 0$，故方程(2)的解为 $x_1 = x_2 = m$。
【答案】
(1) $x_1 = 0, x_2 = 4$；(2) $x_1 = x_2 = m$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，第(1)题通过整体代换简化计算，第(2)题直接利用完全平方公式，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
解这两个方程时，第(1)题可将$(x-1)$看作整体简化计算，先通过换元转化为普通一元二次方程，再用配方法；第(2)题左边本身是完全平方式，直接利用配方法整理即可。配方法的核心是将一元二次方程转化为完全平方式，再开方求解，关键是在二次项系数为1时，方程两边加一次项系数一半的平方。
【解析】
(1) 设 $y = x - 1$，原方程转化为：$y^2 - 2y - 3 = 0$
移项得：$y^2 - 2y = 3$
配方：两边加 $(\frac{-2}{2})^2 = 1$，得 $y^2 - 2y + 1 = 3 + 1$，即 $(y - 1)^2 = 4$
开方得：$y - 1 = \pm 2$
解得 $y = 3$ 或 $y = -1$
代回 $y = x - 1$：
当 $y = 3$ 时，$x - 1 = 3$，得 $x = 4$；
当 $y = -1$ 时，$x - 1 = -1$，得 $x = 0$；
故方程(1)的解为 $x_1 = 0, x_2 = 4$。
(2) 原方程 $x^2 - 2mx + m^2 = 0$，左边为完全平方式，直接配方得：$(x - m)^2 = 0$
开方得：$x - m = 0$，故方程(2)的解为 $x_1 = x_2 = m$。
【答案】
(1) $x_1 = 0, x_2 = 4$；(2) $x_1 = x_2 = m$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程的基础应用，第(1)题通过整体代换简化计算，第(2)题直接利用完全平方公式，属于基础题型，学生易掌握。
【难度系数】
0.7
16. [新考法]阅读与思考：
下面是小亮同学的数学小论文(部分),请仔细阅读并完成相应的任务.
平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
例 解方程 $x(x+4)=6$.
解:原方程变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$.
由平方差公式,得$(x+2)^{2}-2^{2}=6$.
移项,得$(x+2)^{2}=6+2^{2}$,即$(x+2)^{2}=10$.
直接开平方并整理,得 $x_{1}=-2+\sqrt{10},x_{2}=-2-\sqrt{10}$,我们称这种解法为"平均数法".
下面是小明用"平均数法"解方程$(x+3)(x+7)=5$的过程.
解:原方程变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$.
由平方差公式,得$(x+a)^{2}-b^{2}=5$.
移项,得$(x+a)^{2}=5+b^{2}$.
直接开平方并整理,得 $x_{1}=c,x_{2}=d(c＞d)$.
任务：
(1) 上述过程中的 $a、b、c、d$ 表示的数分别为
(2) 请用"平均数法"解方程:$(x-5)(x-3)=5$.
下面是小亮同学的数学小论文(部分),请仔细阅读并完成相应的任务.
平均数法解一元二次方程
在解一元二次方程时,发现有这样一种解法:
例 解方程 $x(x+4)=6$.
解:原方程变形,得$[(x+2)-2][(x+2)+2]=6$.
由平方差公式,得$(x+2)^{2}-2^{2}=6$.
移项,得$(x+2)^{2}=6+2^{2}$,即$(x+2)^{2}=10$.
直接开平方并整理,得 $x_{1}=-2+\sqrt{10},x_{2}=-2-\sqrt{10}$,我们称这种解法为"平均数法".
下面是小明用"平均数法"解方程$(x+3)(x+7)=5$的过程.
解:原方程变形,得$[(x+a)-b][(x+a)+b]=5$.
由平方差公式,得$(x+a)^{2}-b^{2}=5$.
移项,得$(x+a)^{2}=5+b^{2}$.
直接开平方并整理,得 $x_{1}=c,x_{2}=d(c＞d)$.
任务：
(1) 上述过程中的 $a、b、c、d$ 表示的数分别为
5
、2
、-2
、-8
；(2) 请用"平均数法"解方程:$(x-5)(x-3)=5$.
答案
16. (1) 5 2 -2 -8 (2) $x_{1}=4+\sqrt{6},x_{2}=4-\sqrt{6}$
解析
【分析】
首先明确“平均数法”解一元二次方程的核心：对于形如$(x+m)(x+n)=k$的方程，先计算两个因式的平均数$\frac{m+n}{2}$，将方程变形为$[(x+\frac{m+n}{2})-\frac{n-m}{2}][(x+\frac{m+n}{2})+\frac{n-m}{2}]=k$，利用平方差公式转化为关于$(x+\frac{m+n}{2})$的平方形式，再开平方求解。任务(1)需先确定方程$(x+3)(x+7)=5$中的$a、b$，再求$c、d$；任务(2)直接用平均数法解方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个因式的平均数为$\frac{(x+3)+(x+7)}{2}=x+5$，故$a=5$；两个因式与平均数的差为$(x+7)-(x+5)=2$，故$b=2$；
由$(x+a)^2=5+b^2$，代入得$(x+5)^2=5+2^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x=-5\pm3$，因此$x_1=-5+3=-2$，$x_2=-5-3=-8$，即$c=-2$，$d=-8$。
(2) 解方程$(x-5)(x-3)=5$：
原方程变形为$[(x-4)-1][(x-4)+1]=5$（两个因式的平均数为$\frac{(x-5)+(x-3)}{2}=x-4$，差为1）；
由平方差公式得$(x-4)^2 -1^2=5$；
移项得$(x-4)^2=5+1=6$；
直接开平方得$x-4=\pm\sqrt{6}$；
整理得$x_1=4+\sqrt{6}$，$x_2=4-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $5$、$2$、$-2$、$-8$；(2) $x_1=4+\sqrt{6},x_2=4-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题为新考法题型，通过“平均数法”简化一元二次方程求解，核心是利用平方差公式转化为完全平方形式，降低计算复杂度，需掌握平均数法的变形逻辑。
【难度系数】
0.3
首先明确“平均数法”解一元二次方程的核心：对于形如$(x+m)(x+n)=k$的方程，先计算两个因式的平均数$\frac{m+n}{2}$，将方程变形为$[(x+\frac{m+n}{2})-\frac{n-m}{2}][(x+\frac{m+n}{2})+\frac{n-m}{2}]=k$，利用平方差公式转化为关于$(x+\frac{m+n}{2})$的平方形式，再开平方求解。任务(1)需先确定方程$(x+3)(x+7)=5$中的$a、b$，再求$c、d$；任务(2)直接用平均数法解方程即可。
【解析】
(1) 对于方程$(x+3)(x+7)=5$，两个因式的平均数为$\frac{(x+3)+(x+7)}{2}=x+5$，故$a=5$；两个因式与平均数的差为$(x+7)-(x+5)=2$，故$b=2$；
由$(x+a)^2=5+b^2$，代入得$(x+5)^2=5+2^2=9$，开平方得$x+5=\pm3$，整理得$x=-5\pm3$，因此$x_1=-5+3=-2$，$x_2=-5-3=-8$，即$c=-2$，$d=-8$。
(2) 解方程$(x-5)(x-3)=5$：
原方程变形为$[(x-4)-1][(x-4)+1]=5$（两个因式的平均数为$\frac{(x-5)+(x-3)}{2}=x-4$，差为1）；
由平方差公式得$(x-4)^2 -1^2=5$；
移项得$(x-4)^2=5+1=6$；
直接开平方得$x-4=\pm\sqrt{6}$；
整理得$x_1=4+\sqrt{6}$，$x_2=4-\sqrt{6}$。
【答案】
(1) $5$、$2$、$-2$、$-8$；(2) $x_1=4+\sqrt{6},x_2=4-\sqrt{6}$
【知识点】
一元二次方程解法、平方差公式
【点评】
本题为新考法题型，通过“平均数法”简化一元二次方程求解，核心是利用平方差公式转化为完全平方形式，降低计算复杂度，需掌握平均数法的变形逻辑。
【难度系数】
0.3
