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1. (2026 泰州市泰兴市期末)综合与实践:杆秤中的数学.
| 背景 | 杆秤,是中国人发明的人类最早的衡器,它凝聚了古代劳动人民的智慧,你知道杆秤中隐含的数学原理吗? |
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| 素材1 | 杆秤称物符合杠杆原理:如图1,要使杆秤平衡,杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O(即杆秤的支点)的水平距离$l_1$与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离$l_2$满足等式:$M × l_1 = m × l_2$. |
| 素材2 | 如图2,利用杆秤称重时,当秤盘所托重物为$x$(g)(不包括秤盘的质量)时,秤砣到秤纽的水平距离为$y$(cm),根据杠杆平衡原理可得$y$是关于$x$的一次函数. |
| 素材3 | 为了便捷地利用杆秤称重,需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系,其制作过程如下:
(1)标记零刻线:当秤盘不放重物时,移动秤砣,直至杆秤平衡,标出零刻线.
(2)标记末刻线:当秤盘放入杆秤允许的最大质量(即杆秤的最大量程)重物时,移动秤砣,直至杆秤平衡,标出末刻线.
(3)标记计量刻线:量出零刻线与末刻线之间的距离,将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格,每大格再等间距分割成10小格. |
小明根据素材3制作了最大量程为1000 g的杆秤,若干次称重时所记录的一些数据
如下表所示:
(1) 若称一重物时的读数为5大格3小格,则此时称得的重物的质量为
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式.
(3) 求此杆秤的每小格的长度.
| 背景 | 杆秤,是中国人发明的人类最早的衡器,它凝聚了古代劳动人民的智慧,你知道杆秤中隐含的数学原理吗? |
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| 素材1 | 杆秤称物符合杠杆原理:如图1,要使杆秤平衡,杆秤左端物体的质量M、左端物体到秤纽O(即杆秤的支点)的水平距离$l_1$与右端秤砣的质量m、秤砣到秤纽的水平距离$l_2$满足等式:$M × l_1 = m × l_2$. |
| 素材2 | 如图2,利用杆秤称重时,当秤盘所托重物为$x$(g)(不包括秤盘的质量)时,秤砣到秤纽的水平距离为$y$(cm),根据杠杆平衡原理可得$y$是关于$x$的一次函数. |
| 素材3 | 为了便捷地利用杆秤称重,需在杆秤上标记分布均匀的刻线来刻画刻度与重物质量的对应关系,其制作过程如下:
(1)标记零刻线:当秤盘不放重物时,移动秤砣,直至杆秤平衡,标出零刻线.
(2)标记末刻线:当秤盘放入杆秤允许的最大质量(即杆秤的最大量程)重物时,移动秤砣,直至杆秤平衡,标出末刻线.
(3)标记计量刻线:量出零刻线与末刻线之间的距离,将零刻线与末刻线之间的距离等间距分割成10大格,每大格再等间距分割成10小格. |
小明根据素材3制作了最大量程为1000 g的杆秤,若干次称重时所记录的一些数据
如下表所示:
(1) 若称一重物时的读数为5大格3小格,则此时称得的重物的质量为
530
g.(2) 求$y$关于$x$的函数表达式.
(3) 求此杆秤的每小格的长度.
答案
1. 解:(1) 530 提示:10 大格表示 1 000 g,每一大格表示 100 g,所以 5 大格表示 500 g,3 小格表示30 g,所以此时称得的重物的质量为 530 g.
(2) 设 $y = kx + b$,则$\begin{cases}25k + b = 2.5,\\50k + b = 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{50},\\b=2.\end{cases}$ 所以 $y=\dfrac{1}{50}x+2$.
(3) 当$x=0$时,$y=2$;当$x=1 000$时,$y=20+2=22$.所以$\dfrac{22-2}{100}=0.2(\mathrm{cm})$.
答:此杆秤的每小格的长度为 0.2 cm.
(2) 设 $y = kx + b$,则$\begin{cases}25k + b = 2.5,\\50k + b = 3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\dfrac{1}{50},\\b=2.\end{cases}$ 所以 $y=\dfrac{1}{50}x+2$.
(3) 当$x=0$时,$y=2$;当$x=1 000$时,$y=20+2=22$.所以$\dfrac{22-2}{100}=0.2(\mathrm{cm})$.
答:此杆秤的每小格的长度为 0.2 cm.
2.（2025 常州市期末）如图，杠杆是我国传统的称重工具，它利用秤砣到秤纽的水平距离，得出秤钩上所挂物体的质量.
（1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的质量$y_1(\mathrm{kg})$是秤砣到小秤纽的水平距离$x(\mathrm{cm})$的一次函数，所记录的若干次称重数据如下表所示：
①$y_1$关于$x$的函数表达式为
②若秤砣到小秤纽的最大水平距离为30 cm，求提小秤纽可称的最大物重.
（2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的质量$y_2(\mathrm{kg})$是秤砣到大秤纽的水平距离$m(\mathrm{cm})$的一次函数.已知大、小秤纽的水平距离为6 cm，提大秤纽称9 kg、14 kg 物重的秤砣位置分别与提小秤纽称2 kg、3 kg 物重的秤砣位置重合，求提大秤纽可称的最大物重.
（1）当提小秤纽称重时，秤钩上所挂物体的质量$y_1(\mathrm{kg})$是秤砣到小秤纽的水平距离$x(\mathrm{cm})$的一次函数，所记录的若干次称重数据如下表所示：
①$y_1$关于$x$的函数表达式为
$y_1=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$
.②若秤砣到小秤纽的最大水平距离为30 cm，求提小秤纽可称的最大物重.
（2）在（1）的条件下，若物重大于提小秤纽可称的最大物重，则提大秤纽称重，此时秤钩上所挂物体的质量$y_2(\mathrm{kg})$是秤砣到大秤纽的水平距离$m(\mathrm{cm})$的一次函数.已知大、小秤纽的水平距离为6 cm，提大秤纽称9 kg、14 kg 物重的秤砣位置分别与提小秤纽称2 kg、3 kg 物重的秤砣位置重合，求提大秤纽可称的最大物重.
答案
2. 解:(1) ①$y_1=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$ 提示:设 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1=k_1x+b_1$. 将 $x=2,y_1=1$ 和 $x=6,y_1=2$ 分别代入 $y_1=k_1x+b_1$,得$\begin{cases}2k_1 + b_1 = 1,\\6k_1 + b_1 = 2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_1=\dfrac{1}{4},\\b_1=\dfrac{1}{2}.\end{cases}$ 所以 $y_1$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y_1=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}$.
②因为$\dfrac{1}{4}＞0$,所以 $y_1$ 随 $x$ 的增大而增大.
因为 $0≤ x≤30$,所以当 $x=30$ 时,$y_1$ 的值最大,$y_{1\mathrm{最大}}=\dfrac{1}{4}×30+\dfrac{1}{2}=8(\mathrm{kg})$.
答:提小秤纽可称的最大物重为 8 kg.
(2) 设 $y_2$ 关于 $m$ 的函数表达式为 $y_2=k_2m+b_2$. 当 $y_1=2$ 时,得$\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}=2$,解得$x=6$. 此时 $m=6+6=12$. 当 $y_1=3$ 时,得$\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}=3$,解得 $x=10$. 此时 $m=10+6=16$. 将 $m=12,y_2=9$ 和 $m=16,y_2=14$,分别代入 $y_2=k_2m+b_2$,得$\begin{cases}12k_2 + b_2 = 9,\\16k_2 + b_2 = 14,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\dfrac{5}{4},\\b_2=-6.\end{cases}$ 所以 $y_2$ 关于 $m$ 的函数表达式为 $y_2=\dfrac{5}{4}m-6$. 因为$\dfrac{5}{4}＞0$,所以 $y_2$ 随 $m$ 的增大而增大. 因为 $6≤ m≤36$,所以当 $m=36$ 时, $y_2$ 的值最大, $y_{2\mathrm{最大}}=\dfrac{5}{4}×36-6=39(\mathrm{kg})$.
答:提大秤纽可称的最大物重为 39 kg.
②因为$\dfrac{1}{4}＞0$,所以 $y_1$ 随 $x$ 的增大而增大.
因为 $0≤ x≤30$,所以当 $x=30$ 时,$y_1$ 的值最大,$y_{1\mathrm{最大}}=\dfrac{1}{4}×30+\dfrac{1}{2}=8(\mathrm{kg})$.
答:提小秤纽可称的最大物重为 8 kg.
(2) 设 $y_2$ 关于 $m$ 的函数表达式为 $y_2=k_2m+b_2$. 当 $y_1=2$ 时,得$\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}=2$,解得$x=6$. 此时 $m=6+6=12$. 当 $y_1=3$ 时,得$\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}=3$,解得 $x=10$. 此时 $m=10+6=16$. 将 $m=12,y_2=9$ 和 $m=16,y_2=14$,分别代入 $y_2=k_2m+b_2$,得$\begin{cases}12k_2 + b_2 = 9,\\16k_2 + b_2 = 14,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k_2=\dfrac{5}{4},\\b_2=-6.\end{cases}$ 所以 $y_2$ 关于 $m$ 的函数表达式为 $y_2=\dfrac{5}{4}m-6$. 因为$\dfrac{5}{4}＞0$,所以 $y_2$ 随 $m$ 的增大而增大. 因为 $6≤ m≤36$,所以当 $m=36$ 时, $y_2$ 的值最大, $y_{2\mathrm{最大}}=\dfrac{5}{4}×36-6=39(\mathrm{kg})$.
答:提大秤纽可称的最大物重为 39 kg.
