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1. 在平面直角坐标系中，坐标是整数的点称作格点. 若第一象限的格点 $P(x,y)$ 满足$2x+3y=7$，则满足条件的点 $P$ 有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1. A
2. 如图为 $A,B,C$ 三点在平面直角坐标系中的位置图. 若点 $A,B,C$ 的横坐标的数字总和为 $a$, 纵坐标的数字总和为 $b$, 则 $a-b$ 的值为
（
A.$5$
B.$3$
C.$-3$
D.$-5$
（
A
）A.$5$
B.$3$
C.$-3$
D.$-5$
答案
2. A
3. (2026 宿迁市期末)在平面直角坐标系中,若点 $M(m,n)$ 在第二象限,则点 $N(mn,m)$ 在
（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
（
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
3. C
4. 如果$m$是任意实数，那么点$P(m-4,m+1)$一定不在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
4. D 提示:因为 $m+1-(m-4)=m+1-m+4=5$,所以点 $P$ 的纵坐标一定大于横坐标.所以点 $P$ 一定不在第四象限.
5.（2026 南京市鼓楼区期末）在平面直角坐标系中,已知点 $M(2,-3),MN=5$, 则点 $N$的坐标可以是
$(-3,-3)$(答案不唯一)
（写出一个即可）.答案
5. $(-3,-3)$(答案不唯一)
6. 已知等边三角形$ABC$的顶点$A,B$的坐标分别为$(1,0),(3,0)$.若第三个顶点$C$在第四象限,则点$C$的坐标是
$(2,-\sqrt{3})$
.答案
6. $(2,-\sqrt{3})$ 提示:如图,根据题意,得 $AC=AB=2$.过点 $C$ 作 $CD ⊥ AB$ 于点 $D$,则 $AD=1$,所以 $CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{3}$.因为顶点 $C$ 在第四象限,所以点 $C$ 的坐标是$(2,-\sqrt{3})$.
7. 在平面直角坐标系中,已知点$A(2,4)$,$B(-2,0)$,$C(a,0)$.若$△ ABC$的面积为10,则$a$的值为
$3或-7$
.答案
7. 3或$-7$ 提示:当点 $C$ 在点 $B$ 右侧时,由题意,得$\dfrac{1}{2} × 4(a+2)=10$,解得 $a=3$;当点 $C$ 在点 $B$ 左侧时,由题意,得$\dfrac{1}{2} × 4(-2-a)=10$,解得 $a=-7$.所以 $a$ 的值为 3 或 $-7$.
8. 在平面直角坐标系中有两点 $M(a,b)$，$N(c,d)$，规定 $(a,b) \bigoplus (c,d)=(a+c,b+d)$，则称 $Q(a+c,b+d)$ 为点 $M,N$ 的“和点”. 若以坐标原点 $O$ 与任意两点及它们的“和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为“和点四边形”. 现有点 $A(2,5)$，$B(-1,3)$，若以 $O,A,B,C$ 四点为顶点的四边形是“和点四边形”，则点 $C$ 的坐标是
$(1,8)或(-3,-2)或(3,2)$
.答案
8. $(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$ 提示:当 $C$ 为点 $A,B$ 的“和点”时,点 $C$ 的坐标为$(1,8)$;当 $B$ 为点 $A,C$ 的“和点”时,设点 $C$ 的坐标为$(x_1,y_1)$,则$\begin{cases}-1=2+x_1,\\3=5+y_1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_1=-3,\\y_1=-2,\end{cases}$ 所以点 $C$ 的坐标为$(-3,-2)$;当 $A$ 为点 $B,C$ 的“和点”时,设点 $C$ 的坐标为$(x_2,y_2)$,则 $\begin{cases}2=-1+x_2,\\5=3+y_2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x_2=3,\\y_2=2,\end{cases}$ 所以点 $C$ 的坐标为$(3,2)$.综上所述,点 $C$ 的坐标是$(1,8)$或$(-3,-2)$或$(3,2)$.
9. (2026 扬州市期末)在平面直角坐标系中,给出如下定义:点 P 到 x 轴、y 轴的距离的较大值称为点 P 的“长距”,点 Q 到 x 轴、y 轴的距离相等时,称点 Q 为“角平分线点”.
(1) 点 $A(-3,5)$ 的“长距”为
(2) 若点 $B(4-2a,-2)$ 是“角平分线点”,求 a 的值.
(3) 若点 $C(-2,3b-2)$ 的长距为 4,且点 C 在第二象限,点 D 的坐标为 $(9-2b,-5)$,请判断点 D 是否为“角平分线点”,并说明理由.
(1) 点 $A(-3,5)$ 的“长距”为
$5$
.(2) 若点 $B(4-2a,-2)$ 是“角平分线点”,求 a 的值.
(3) 若点 $C(-2,3b-2)$ 的长距为 4,且点 C 在第二象限,点 D 的坐标为 $(9-2b,-5)$,请判断点 D 是否为“角平分线点”,并说明理由.
答案
9. 解:(1) 5
(2) 因为点 $B(4-2a,-2)$ 是“角平分线点”,所以$|4-2a|=|-2|$.所以 $4-2a=2$或 $4-2a=-2$.解得 $a=1$ 或 $a=3$.
(3) 点 $D$ 是“角平分线点”.理由如下:因为点 $C(-2,3b-2)$ 的长距为 4,且点 $C$ 在第二象限,所以 $3b-2=4$,解得 $b=2$,所以 $9-2b=5$.所以点 $D$ 的坐标为$(5,-5)$.所以点 $D$ 到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离都是 5,所以点 $D$ 是“角平分线点”.
(2) 因为点 $B(4-2a,-2)$ 是“角平分线点”,所以$|4-2a|=|-2|$.所以 $4-2a=2$或 $4-2a=-2$.解得 $a=1$ 或 $a=3$.
(3) 点 $D$ 是“角平分线点”.理由如下:因为点 $C(-2,3b-2)$ 的长距为 4,且点 $C$ 在第二象限,所以 $3b-2=4$,解得 $b=2$,所以 $9-2b=5$.所以点 $D$ 的坐标为$(5,-5)$.所以点 $D$ 到 $x$ 轴、$y$ 轴的距离都是 5,所以点 $D$ 是“角平分线点”.
