1.将一直角三角尺与纸条按图示位置放置,下列条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ 3=∠ 4$;③$∠ 2+∠ 4=90°$;④$∠ 4+∠ 5=180°$.其中能说明纸条两边平行的有()


A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

C

根据平行线的判定定理逐一判断：
1. ①∠1和∠2是同位角，∠1=∠2，满足“同位角相等，两直线平行”，可说明纸条两边平行；
2. ②∠3和∠4是内错角，∠3=∠4，满足“内错角相等，两直线平行”，可说明纸条两边平行；
3. ③∠2+∠4=90°是直角三角尺的直角自带的性质，无论纸条两边是否平行都成立，不能说明纸条两边平行；
4. ④∠4和∠5是同旁内角，∠4+∠5=180°，满足“同旁内角互补，两直线平行”，可说明纸条两边平行。
综上，能说明纸条两边平行的条件共3个。

2.某校2 000名学生完成了每天体育锻炼时长的问卷,刘老师从中随机抽取部分学生的问卷,并将结果统计后绘制成条形统计图,如图所示,其中一部分被墨迹遮盖.已知每天锻炼时长为1 h的学生人数占样本总人数的36％,则下列说法正确的是（）

A.抽取的学生人数小于200
B.2 000名学生是样本
C.被调查的学生中,锻炼时长为1.5 h的人数最多
D.该校锻炼时长为2 h的学生约有200名

C

1. 计算样本总人数：已知锻炼时长为1h的学生有72人，占样本总人数的36%，因此抽取的样本总人数为 $72÷36\% = 200$ 人。
2. 逐一判断选项：
A选项：抽取的学生人数为200，不小于200，A错误。
B选项：2000名学生的体育锻炼时长情况是总体，本次抽取的部分学生问卷是样本，B错误。
C选项：锻炼时长为1.5h的人数为 $200-18-72-25=85$，85＞72＞25＞18，因此锻炼时长为1.5h的人数最多，C正确。
D选项：该校锻炼时长为2h的学生约为 $2000×\frac{25}{200}=250$ 名，不是200名，D错误。

3. 二果问价问题:九百九十九文钱,甜果苦果买一千,甜果九个十一文,苦果七个四文钱,试问甜苦果几个?又问各该几个钱?若求甜果、苦果分别是多少钱,设买甜果用$ x $文钱,买苦果用$ y $文钱,则可列方程组为.

$\begin{cases} x+y=999 \\ \dfrac{9x}{11}+\dfrac{7y}{4}=1000 \end{cases}$

本题考查根据古代实际问题列二元一次方程组，解题步骤如下：
1. 确定第一个等量关系：买甜果的总钱数加买苦果的总钱数等于总钱数999文，可列方程$x + y = 999$；
2. 确定第二个等量关系：甜果总个数加苦果总个数等于两种果子的总数量1000个。
已知甜果9个卖11文，那么1文钱可以买$\frac{9}{11}$个甜果，$x$文钱对应的甜果数量为$\frac{9x}{11}$个；苦果7个卖4文，1文钱可以买$\frac{7}{4}$个苦果，$y$文钱对应的苦果数量为$\frac{7y}{4}$个，因此可列第二个方程$\frac{9x}{11}+\frac{7y}{4}=1000$。
将两个方程联立即可得到所求方程组。

4. 观察下列各式：
$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}=1+\frac{1}{1×2}$；$\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}=1+\frac{1}{2×3}$；$\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}=1+\frac{1}{3×4}$.
$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$；$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$.
请利用你所发现的规律，解答下列问题：
（1）发现规律$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=$______；
（2）计算$\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}}+\dots+\sqrt{1+\frac{1}{2\,025^2}+\frac{1}{2\,026^2}}$.

（1）$1+\frac{1}{4×5}$（或$\frac{21}{20}$）；（2）$2025\frac{2025}{2026}$

（1）观察已知等式可总结通用规律：对任意正整数$n$，满足$\sqrt{1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{(n+1)^2}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$，将$n=4$代入该规律，可得$\sqrt{1+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}}=1+\frac{1}{4×5}$。
（2）先根据上述规律将原式中所有二次根式化简：
$\begin{aligned}原式&=(1+\frac{1}{1×2})+(1+\frac{1}{2×3})+(1+\frac{1}{3×4})+\dots+(1+\frac{1}{2025×2026})\\&=\underbrace{1+1+1+\dots+1}_{共2025个1} + (\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026})\end{aligned}$
整数部分求和得2025，剩余分数部分利用已知裂项公式$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$展开抵消：
$\begin{aligned}\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\dots+\frac{1}{2025×2026}&=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=1-\frac{1}{2026}=\frac{2025}{2026}\end{aligned}$
最终总和为$2025+\frac{2025}{2026}=2025\frac{2025}{2026}$。