17. 如图所示,已知一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行.离开港口2小时后,两船相距()

A.25海里
B.30海里
C.35海里
D.40海里

D

由题意可知，东北方向与东南方向的夹角为90°，两船的航行路线构成直角三角形的两条直角边。
计算两船2小时的航行路程：向东北航行的船路程为16×2=32海里，向东南航行的船路程为12×2=24海里。
根据勾股定理，两船相距距离为$\sqrt{32^2 + 24^2}=\sqrt{1600}=40$海里。

18. 宽为2 cm的长方形纸条折叠后的形状如图所示,折痕PQ的长是()

A.$\frac{2}{3}\sqrt{3}$ cm
B.$\frac{4}{3}\sqrt{3}$ cm
C.$\sqrt{5}$ cm
D.2 cm

B

过点Q作纸条长边沿的垂线，垂足为R，可得QR=2cm，即纸条的宽度。由长方形对边平行的性质和折叠的对称性，可知Rt△PQR中∠QPR=60°，因此∠PQR=30°，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，设PR=x，则PQ=2x。由勾股定理得：$x^2 + 2^2 = (2x)^2$，解得$x=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，因此$PQ=2x=\frac{4}{3}\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。

19. 如图所示,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ A=30°$,$BC=2$.将$△ ABC$绕点$C$按顺时针方向旋转$n$度后得到$△ EDC$,此时点$D$在$AB$边上,斜边$DE$交$AC$边于点$F$,则$n$的大小和图中阴影部分的面积分别为()


A.$30,2$
B.$60,2$
C.$60,\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$60,\sqrt{3}$

C

在$Rt△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=30°$，因此$∠ B=60°$，$AB=2BC=4$。
由旋转性质得$CB=CD$，故$△ BCD$是等边三角形，$∠ BCD=60°$，即旋转角$n=60°$。
由此可得$∠ DCF=∠ ACB-∠ BCD=90°-60°=30°$，由旋转性质得$∠ EDC=∠ B=60°$，因此$∠ DFC=180°-30°-60°=90°$。
在$Rt△DCF$中，$CD=BC=2$，$∠ DCF=30°$，得$DF=\frac{1}{2}CD=1$，由勾股定理得$CF=\sqrt{CD^2-DF^2}=\sqrt{3}$。
阴影部分面积为$S_{△ DCF}=\frac{1}{2}× DF× CF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

20. 如图所示,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为7 cm,则正方形A,B,C,D的面积之和为 cm².

$\boldsymbol{49}$

解：
根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
设正方形A、B、C、D的面积分别为$S_A$、$S_B$、$S_C$、$S_D$，
可得$S_A + S_B$等于A、B所夹直角三角形斜边对应的正方形的面积，
$S_C + S_D$等于C、D所夹直角三角形斜边对应的正方形的面积，
上述两个正方形的面积之和等于最大正方形的面积。
因此$S_A + S_B + S_C + S_D = 7^2 = 49\ \mathrm{cm}^2$。
最终