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27. 阅读素材,解决下列问题.
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$a^2 + b^2 = c^2$.
毕达哥拉斯树的绘制过程
图1形如一棵树,有人称之为“勾股树”.绘制这个图案时,需要先画一个如图2所示的图形,再以图形中的两个较小的正方形为基础,在两个小正方形的上方,分别作出两个形状与图2相同的图形,如图3所示.如此重复下去,最后填充颜色,就可以得到类似于图1的“勾股树”.
问题解决
任务1 (1)在上述毕达哥拉斯树中,“树根”面积($S_A$)与“树干”面积和($S_B + S_C$)的关系为.
任务2 (2)如图4所示,是一幅“蜗螺线”图案,已知每个直角三角形的斜边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},···$,请说明该“蜗螺线”图案是如何利用勾股定理绘制的.
任务3 (3)如图5所示,是一棵由正方形和含$30°$角的直角三角形按一定规律长成的“勾股树”,“树”的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为$S_1$,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为$S_2,···$,第$n$个正方形和第$n$个直角三角形的面积之和为$S_n$.设第一个正方形的边长为1.
①$S_1 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8}),S_3 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$.
②观察规律,得$S_n =$(用含$n$的代数式表示).
核心素养:模型观念、应用意识、运算能力.
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$a^2 + b^2 = c^2$.
毕达哥拉斯树的绘制过程
图1形如一棵树,有人称之为“勾股树”.绘制这个图案时,需要先画一个如图2所示的图形,再以图形中的两个较小的正方形为基础,在两个小正方形的上方,分别作出两个形状与图2相同的图形,如图3所示.如此重复下去,最后填充颜色,就可以得到类似于图1的“勾股树”.
问题解决
任务1 (1)在上述毕达哥拉斯树中,“树根”面积($S_A$)与“树干”面积和($S_B + S_C$)的关系为.
任务2 (2)如图4所示,是一幅“蜗螺线”图案,已知每个直角三角形的斜边长分别为$\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5},···$,请说明该“蜗螺线”图案是如何利用勾股定理绘制的.
任务3 (3)如图5所示,是一棵由正方形和含$30°$角的直角三角形按一定规律长成的“勾股树”,“树”的主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为$S_1$,第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为$S_2,···$,第$n$个正方形和第$n$个直角三角形的面积之和为$S_n$.设第一个正方形的边长为1.
①$S_1 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8}),S_3 =\_\_\_\_\_\_· (1 + \frac{\sqrt{3}}{8})$.
②观察规律,得$S_n =$(用含$n$的代数式表示).
答案
解：
(1) $S_A = S_B + S_C$
(2) 绘制方法：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得该直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一个直角三角形的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新直角三角形斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作，始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4},\sqrt{5},\dots$的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ① 第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$，对应的含$30°$角的直角三角形斜边长为1，两条直角边分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1+\frac{\sqrt{3}}{8}=1·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{32}=\frac{3}{4}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边$\frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{128}=\frac{9}{16}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$。
三个空依次填：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$。
② 观察规律可得：$S_n = \boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
(1) $S_A = S_B + S_C$
(2) 绘制方法：
1. 先作两条直角边长均为1的直角三角形，由勾股定理可得该直角三角形斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；
2. 以上一个直角三角形的斜边$\sqrt{2}$作为新直角三角形的一条直角边，作另一条直角边长为1的直角三角形，由勾股定理得新直角三角形斜边长为$\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}$；
3. 重复上述操作，始终以上一个直角三角形的斜边作为下一个直角三角形的一条直角边，保持另一条直角边长度为1，依次得到斜边长为$\sqrt{4},\sqrt{5},\dots$的直角三角形；
4. 将所有得到的直角三角形绕同一个公共顶点依次相邻排列，即可得到该“蜗螺线”图案。
(3) ① 第一个正方形边长为1，面积为$1^2=1$，对应的含$30°$角的直角三角形斜边长为1，两条直角边分别为$\frac{1}{2}$和$\frac{\sqrt{3}}{2}$，三角形面积为$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8}$，因此$S_1=1+\frac{\sqrt{3}}{8}=1·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第二个正方形的边长为第一个直角三角形的长直角边$\frac{\sqrt{3}}{2}$，面积为$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{3}{4}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{3}{4}$，因此$S_2=\frac{3}{4}+\frac{3\sqrt{3}}{32}=\frac{3}{4}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$；
第三个正方形的边长为第二个直角三角形的长直角边$\frac{3}{4}$，面积为$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，对应直角三角形面积为$\frac{\sqrt{3}}{8}×\frac{9}{16}$，因此$S_3=\frac{9}{16}+\frac{9\sqrt{3}}{128}=\frac{9}{16}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})$。
三个空依次填：$\boldsymbol{1}$，$\boldsymbol{\frac{3}{4}}$，$\boldsymbol{\frac{9}{16}}$。
② 观察规律可得：$S_n = \boldsymbol{(\frac{3}{4})^{n-1}·(1+\frac{\sqrt{3}}{8})}$
