登录
1. 下列命题不正确的是（
A.经过一点有无数个圆
B.经过两点有无数个圆
C.三点确定一个圆
D.三角形的外接圆有且只有一个
C
）A.经过一点有无数个圆
B.经过两点有无数个圆
C.三点确定一个圆
D.三角形的外接圆有且只有一个
答案
1. C 解析:
∵不在同一条直线上的三点确定一个圆,
∴经过一点有无数个圆,经过两点有无数个圆,故A,B正确;C错误,应强调不在同一直线上的三点确定一个圆;D正确,是公理.故选C.
∵不在同一条直线上的三点确定一个圆,
∴经过一点有无数个圆,经过两点有无数个圆,故A,B正确;C错误,应强调不在同一直线上的三点确定一个圆;D正确,是公理.故选C.
解析
【分析】
要判断各命题的正确性，需先回忆圆的确定相关定理：①经过一点，圆心可在该点外任意位置，半径任意，因此有无数个圆；②经过两点，圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个半径，因此有无数个圆；③确定圆的条件是“不在同一条直线上的三点”，若三点共线则无法确定一个圆；④三角形的三个顶点不共线，其外接圆有且只有一个。据此逐一分析选项即可找出不正确的命题。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：经过一点时，圆心可选取该点外任意位置，半径无限制，因此能画出无数个圆，该命题正确；
选项B：经过两点时，圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个半径，因此能画出无数个圆，该命题正确；
选项C：只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，该命题未强调“不在同一直线上”的前提，因此错误；
选项D：三角形的三个顶点不共线，根据确定圆的条件，其外接圆有且只有一个，该命题正确。
综上，不正确的命题是C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件，三角形的外接圆
【点评】
本题考查圆的确定的基础概念，核心是牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”，易忽略该前提条件导致误判，需准确掌握相关定理细节。
【难度系数】
0.6
要判断各命题的正确性，需先回忆圆的确定相关定理：①经过一点，圆心可在该点外任意位置，半径任意，因此有无数个圆；②经过两点，圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个半径，因此有无数个圆；③确定圆的条件是“不在同一条直线上的三点”，若三点共线则无法确定一个圆；④三角形的三个顶点不共线，其外接圆有且只有一个。据此逐一分析选项即可找出不正确的命题。
【解析】
逐个分析选项：
选项A：经过一点时，圆心可选取该点外任意位置，半径无限制，因此能画出无数个圆，该命题正确；
选项B：经过两点时，圆心在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，对应无数个半径，因此能画出无数个圆，该命题正确；
选项C：只有不在同一条直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，该命题未强调“不在同一直线上”的前提，因此错误；
选项D：三角形的三个顶点不共线，根据确定圆的条件，其外接圆有且只有一个，该命题正确。
综上，不正确的命题是C。
【答案】
C
【知识点】
确定圆的条件，三角形的外接圆
【点评】
本题考查圆的确定的基础概念，核心是牢记“不在同一直线上的三点确定一个圆”，易忽略该前提条件导致误判，需准确掌握相关定理细节。
【难度系数】
0.6
2. (2025·无锡期中)小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中三块碎片如图所示,三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
2. A 解析:第①块出现两条完整的弦,作出这两条弦的垂直平分线,两条垂直平分线的交点就是圆心,进而可得到半径的长.故选A.
解析
【分析】要配到与原来一样大小的圆形镜子，核心是确定原圆的圆心和半径，依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的定理，需找到能确定圆心的条件。观察三块碎片，①包含两条完整的弦，可通过弦的垂直平分线找到圆心；而②和③没有完整的两条弦，无法确定圆心，因此需判断哪块碎片能满足确定圆心的条件。
【解析】根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，要确定原圆，需找到圆心和半径。对于碎片①，存在两条完整的弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弦的距离结合弦长可得到半径，从而确定原圆的大小；碎片②和③没有完整的两条弦，无法作出两条弦的垂直平分线，不能确定圆心和半径，因此无法配到原来的圆形镜子。故选A。
【答案】A
【知识点】圆的确定、垂直平分线的性质
【点评】本题结合实际生活中的镜子碎片问题，考查圆的确定条件，需要理解利用弦的垂直平分线确定圆心的方法，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】根据圆的确定方法：不在同一直线上的三个点确定一个圆，要确定原圆，需找到圆心和半径。对于碎片①，存在两条完整的弦，分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弦的距离结合弦长可得到半径，从而确定原圆的大小；碎片②和③没有完整的两条弦，无法作出两条弦的垂直平分线，不能确定圆心和半径，因此无法配到原来的圆形镜子。故选A。
【答案】A
【知识点】圆的确定、垂直平分线的性质
【点评】本题结合实际生活中的镜子碎片问题，考查圆的确定条件，需要理解利用弦的垂直平分线确定圆心的方法，属于基础几何应用题目，难度适中。
【难度系数】0.6
3. (1)若三角形的三边长分别为6,8,10,则此三角形的外接圆半径是
(2)(宁夏中考)已知等边三角形$ABC$的边长为6,那么能够完全覆盖这个等边三角形$ABC$的最小圆的半径是
5
；(2)(宁夏中考)已知等边三角形$ABC$的边长为6,那么能够完全覆盖这个等边三角形$ABC$的最小圆的半径是
$2\sqrt{3}$
.答案
3. (1)5 解析:如图①,⊙O是△ABC的外接圆,AC=6,BC=8,AB=10,
∵AC²+BC²=6²+8²=100,AB²=10²=100,
∴AC²+BC²=AB²,
∴△ABC是直角三角形,且∠C=90°,
∵点O到点A,B,C的距离相等且在线段AB,AC,BC的垂直平分线上,
∴点O位于斜边AB中点,
∴OA=$\frac{1}{2}$AB=5,
∴此三角形的外接圆半径是5.
(2)$2\sqrt{3}$ 解析:能够完全覆盖等边三角形ABC的最小圆是△ABC的外接圆,如图②,⊙O是△ABC的外接圆,连接OB,OC,则OB=OC.
∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴BC=6,∠BOC=$\frac{1}{3}$×360°=120°,
∴∠OBC=∠OCB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BOC)=30°,作OD⊥BC于点D,由外接圆性质可得直线OD是线段BC的垂直平分线,则∠ODB=90°,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=3,
∴OD=$\frac{1}{2}$OB,
∴BD=$\sqrt{OB^2-OD^2}$=$\sqrt{OB^2-(\frac{1}{2}OB)^2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OB=3,
∴OB=2√3,
∴能够完全覆盖这个等边三角形ABC的最小圆的半径是2√3.
解析
【分析】
第(1)问：先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半，据此计算；第(2)问：完全覆盖等边三角形的最小圆是其外接圆，结合等边三角形性质和外接圆的圆心角特点，通过直角三角形的勾股定理计算外接圆半径。
【解析】
(1) 已知三角形三边长为6,8,10，计算得$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，斜边长度为10。直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，因此外接圆半径为斜边的一半，即$\frac{1}{2}×10 = 5$。
(2) 能够完全覆盖等边三角形$ABC$的最小圆是它的外接圆，设外接圆圆心为$O$，连接$OB$、$OC$，过$O$作$OD⊥BC$于$D$。等边三角形$ABC$边长为6，故$BC=6$，圆心角$∠BOC = \frac{360°}{3}=120°$，由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=3$，$∠OBC=∠OCB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。在$Rt△OBD$中，$∠OBD=30°$，则$OD=\frac{1}{2}OB$，根据勾股定理：$BD^2 + OD^2 = OB^2$，代入得$3^2 + (\frac{1}{2}OB)^2 = OB^2$，解得$OB=2\sqrt{3}$，即外接圆半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
3. (1)5 (2)$2\sqrt{3}$
【知识点】
三角形外接圆、勾股定理、等边三角形性质
【点评】
本题考查三角形外接圆半径的计算，涉及直角三角形和等边三角形的外接圆特性，需掌握勾股定理逆定理、等边三角形性质及外接圆相关性质，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.6
第(1)问：先利用勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半，据此计算；第(2)问：完全覆盖等边三角形的最小圆是其外接圆，结合等边三角形性质和外接圆的圆心角特点，通过直角三角形的勾股定理计算外接圆半径。
【解析】
(1) 已知三角形三边长为6,8,10，计算得$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形是直角三角形，斜边长度为10。直角三角形的外接圆圆心在斜边中点，因此外接圆半径为斜边的一半，即$\frac{1}{2}×10 = 5$。
(2) 能够完全覆盖等边三角形$ABC$的最小圆是它的外接圆，设外接圆圆心为$O$，连接$OB$、$OC$，过$O$作$OD⊥BC$于$D$。等边三角形$ABC$边长为6，故$BC=6$，圆心角$∠BOC = \frac{360°}{3}=120°$，由等腰三角形性质得$BD=\frac{1}{2}BC=3$，$∠OBC=∠OCB=\frac{180°-120°}{2}=30°$。在$Rt△OBD$中，$∠OBD=30°$，则$OD=\frac{1}{2}OB$，根据勾股定理：$BD^2 + OD^2 = OB^2$，代入得$3^2 + (\frac{1}{2}OB)^2 = OB^2$，解得$OB=2\sqrt{3}$，即外接圆半径为$2\sqrt{3}$。
【答案】
3. (1)5
(2)$2\sqrt{3}$【知识点】
三角形外接圆、勾股定理、等边三角形性质
【点评】
本题考查三角形外接圆半径的计算，涉及直角三角形和等边三角形的外接圆特性，需掌握勾股定理逆定理、等边三角形性质及外接圆相关性质，属于基础几何计算题。
【难度系数】
0.6
4. (2026·泰州校级月考) 如图，$△ ABC$ 外接圆的圆心坐标是
(0,3)
.答案
4. (0,3) 解析:分别作AB和AC的垂直平分线,交于点(0,3),
∴△ABC外接圆的圆心坐标为(0,3).
∴△ABC外接圆的圆心坐标为(0,3).
解析
【分析】
要确定△ABC外接圆的圆心，需明确：三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，该点到三个顶点的距离相等。解题时，先从图中确定△ABC各顶点的坐标，再分别作两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心。
【解析】
1. 确定顶点坐标：由网格图可得，A(-1,0)，B(1,0)，C(-3,2)。
2. 求AB边的垂直平分线：AB在x轴上，中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{0+0}{2})=(0,0)$，AB平行于x轴，故其垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=0$（y轴）。
3. 求AC边的垂直平分线：AC的中点坐标为$(\frac{-1-3}{2},\frac{0+2}{2})=(-2,1)$，AC的斜率$k_{AC}=\frac{2-0}{-3-(-1)}=-1$，则AC垂直平分线的斜率为其负倒数1，因此AC垂直平分线的方程为$y-1=1×(x+2)$，即$y=x+3$。
4. 求交点：联立两条垂直平分线的方程$\begin{cases}x=0\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，即交点坐标为$(0,3)$，该点就是△ABC外接圆的圆心。
【答案】
(0,3)
【知识点】
三角形外接圆圆心；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查三角形外心的确定，核心是利用外心的定义，通过坐标计算垂直平分线的交点，属于基础几何题，需掌握坐标与垂直平分线的相关知识。
【难度系数】
0.5
要确定△ABC外接圆的圆心，需明确：三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，该点到三个顶点的距离相等。解题时，先从图中确定△ABC各顶点的坐标，再分别作两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为所求圆心。
【解析】
1. 确定顶点坐标：由网格图可得，A(-1,0)，B(1,0)，C(-3,2)。
2. 求AB边的垂直平分线：AB在x轴上，中点坐标为$(\frac{-1+1}{2},\frac{0+0}{2})=(0,0)$，AB平行于x轴，故其垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=0$（y轴）。
3. 求AC边的垂直平分线：AC的中点坐标为$(\frac{-1-3}{2},\frac{0+2}{2})=(-2,1)$，AC的斜率$k_{AC}=\frac{2-0}{-3-(-1)}=-1$，则AC垂直平分线的斜率为其负倒数1，因此AC垂直平分线的方程为$y-1=1×(x+2)$，即$y=x+3$。
4. 求交点：联立两条垂直平分线的方程$\begin{cases}x=0\\y=x+3\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}$，即交点坐标为$(0,3)$，该点就是△ABC外接圆的圆心。
【答案】
(0,3)
【知识点】
三角形外接圆圆心；垂直平分线的性质
【点评】
本题考查三角形外心的确定，核心是利用外心的定义，通过坐标计算垂直平分线的交点，属于基础几何题，需掌握坐标与垂直平分线的相关知识。
【难度系数】
0.5
5. 教材变式 利用尺规作图：
(1) 如图①,已知直线$a$和直线外的两点$A,B,$经过点$A,B$作一圆,使它的圆心在直线$a$上.
(2) 如图②,补全下面不完整的圆.
(1) 如图①,已知直线$a$和直线外的两点$A,B,$经过点$A,B$作一圆,使它的圆心在直线$a$上.
(2) 如图②,补全下面不完整的圆.
答案
5. (1)如图①,⊙O即为所求.
(2)如图②,⊙O即为所求.
解析
【分析】
要解决这两个尺规作图问题，需利用圆的核心性质：圆心到圆上任意两点距离相等，因此圆心在两点连线的垂直平分线上；同时“不在同一直线上的三点确定一个圆”。对于第(1)问，需找到同时在AB垂直平分线和直线a上的点作为圆心；第(2)问需在残缺圆弧上取三点，通过作两点连线的垂直平分线确定圆心，进而补全圆。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接线段AB，作AB的垂直平分线；
② AB的垂直平分线与直线a的交点即为所求圆心O；
③ 以O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，得到的⊙O即为符合要求的圆。
(2) 作图步骤：
① 在残缺的圆弧上选取三个不共线的点A、B、C；
② 分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；
③ 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径作圆，即可补全完整的圆。
【答案】
5. (1)如图①,⊙O即为所求.
(2)如图②,⊙O即为所求.
【知识点】
尺规作图、垂直平分线、圆的确定
【点评】
本题考查利用尺规作图确定圆的方法，核心是运用垂直平分线的性质和圆的确定条件，作图逻辑清晰，属于基础尺规作图题，考查学生对圆的性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决这两个尺规作图问题，需利用圆的核心性质：圆心到圆上任意两点距离相等，因此圆心在两点连线的垂直平分线上；同时“不在同一直线上的三点确定一个圆”。对于第(1)问，需找到同时在AB垂直平分线和直线a上的点作为圆心；第(2)问需在残缺圆弧上取三点，通过作两点连线的垂直平分线确定圆心，进而补全圆。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 连接线段AB，作AB的垂直平分线；
② AB的垂直平分线与直线a的交点即为所求圆心O；
③ 以O为圆心，OA（或OB）的长度为半径作圆，得到的⊙O即为符合要求的圆。
(2) 作图步骤：
① 在残缺的圆弧上选取三个不共线的点A、B、C；
② 分别作线段AB和BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O；
③ 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长度为半径作圆，即可补全完整的圆。
【答案】
5. (1)如图①,⊙O即为所求.
(2)如图②,⊙O即为所求.
【知识点】
尺规作图、垂直平分线、圆的确定
【点评】
本题考查利用尺规作图确定圆的方法，核心是运用垂直平分线的性质和圆的确定条件，作图逻辑清晰，属于基础尺规作图题，考查学生对圆的性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5
6. 下列命题中,真命题的个数是 （
①三角形外心是三角形三个内角平分线的交点;②任意一个圆有且仅有一个内接三角形;
③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等;④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形.
A.4
B.3
C.2
D.1
C
）①三角形外心是三角形三个内角平分线的交点;②任意一个圆有且仅有一个内接三角形;
③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等;④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形.
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
6. C 解析:①三角形外心是三角形三条边垂直平分线的交点,故错误;②任意一个圆有无数个内接三角形,故错误;③三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,正确;④外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形,正确.故选C.
解析
【分析】要判断真命题的个数，需逐一分析每个命题，先明确三角形外心的定义（三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等）、内心的定义（内角平分线交点），以及圆的内接三角形的概念（三个顶点都在圆上的三角形），再结合各命题描述判断对错，最后统计真命题数量。
【解析】逐一分析各命题：
1. 命题①：三角形外心是三角形三条边垂直平分线的交点，而三个内角平分线的交点是内心，故①错误；
2. 命题②：任意一个圆上有无数个点，可构成无数个内接三角形，并非仅有一个，故②错误；
3. 命题③：三角形外心是三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，该点到三角形三个顶点的距离相等，故③正确；
4. 命题④：直角三角形的外心在斜边的中点，即外心在三角形的一条边上，因此外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形，故④正确；
综上，真命题为③和④，共2个，故选C。
【答案】C
【知识点】三角形外心、圆的内接三角形
【点评】本题考查三角形外心的定义与性质、圆的内接三角形的概念，需准确区分易混淆的概念（外心与内心），属于基础概念辨析题。
【难度系数】0.6
【解析】逐一分析各命题：
1. 命题①：三角形外心是三角形三条边垂直平分线的交点，而三个内角平分线的交点是内心，故①错误；
2. 命题②：任意一个圆上有无数个点，可构成无数个内接三角形，并非仅有一个，故②错误；
3. 命题③：三角形外心是三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线的性质，该点到三角形三个顶点的距离相等，故③正确；
4. 命题④：直角三角形的外心在斜边的中点，即外心在三角形的一条边上，因此外心在三角形一条边上的三角形是直角三角形，故④正确；
综上，真命题为③和④，共2个，故选C。
【答案】C
【知识点】三角形外心、圆的内接三角形
【点评】本题考查三角形外心的定义与性质、圆的内接三角形的概念，需准确区分易混淆的概念（外心与内心），属于基础概念辨析题。
【难度系数】0.6
7. 如图,$O$为等腰三角形$ABC$的外心,$AB=AC$,连接$OB$,记$∠ C=α$,$∠ CBO=β$,则$α,β$满足的关系式为（
A.$2β-α=90°$
B.$2β-α=180°$
C.$\dfrac{1}{2}β+α=90°$
D.$2α-β=90°$
D
）A.$2β-α=90°$
B.$2β-α=180°$
C.$\dfrac{1}{2}β+α=90°$
D.$2α-β=90°$
答案
7. D 解析:
∵AB=AC,∠ACB=α,
∴∠ACB=∠ABC=α,
∴∠CAB=180°-2α.连接OC,OA,
∵O为等腰三角形ABC的外心,
∴OB=OA=OC,
∴∠CBO=∠BCO=β,
∴∠ABO=∠ACO=α-β,
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β,
∴∠CAB=2(α-β)=180°-2α,
∴2α-β=90°.故选D.
∵AB=AC,∠ACB=α,
∴∠ACB=∠ABC=α,
∴∠CAB=180°-2α.连接OC,OA,
∵O为等腰三角形ABC的外心,
∴OB=OA=OC,
∴∠CBO=∠BCO=β,
∴∠ABO=∠ACO=α-β,
∴∠CAO=∠ACO=∠ABO=∠BAO=α-β,
∴∠CAB=2(α-β)=180°-2α,
∴2α-β=90°.故选D.
解析
【分析】
要推导α和β的关系式，需结合等腰三角形性质、三角形内角和定理以及外心的性质逐步分析：首先由AB=AC确定△ABC的底角，求出顶角∠BAC；再利用外心到三顶点距离相等的性质，构造等腰三角形得到相关角度，最终建立α与β的等量关系。
【解析】
1. 因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得∠ABC=∠ACB=α。
2. 根据三角形内角和为180°，可得顶角∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α。
3. 连接OA、OC，由于O是△ABC的外心，根据外心的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，即OB=OA=OC。
4. 在△OBC中，OB=OC，故△OBC为等腰三角形，因此∠CBO=∠BCO=β，即∠BCO=β。
5. 由此可得∠ACO=∠ACB-∠BCO=α-β，又因为OA=OC，△OAC为等腰三角形，所以∠OAC=∠ACO=α-β。
6. 同理，在△OAB中，OA=OB，∠OBA=∠ABC-∠CBO=α-β，故∠OAB=∠OBA=α-β。
7. 因此∠BAC=∠OAC+∠OAB=(α-β)+(α-β)=2(α-β)。
8. 结合步骤2中∠BAC=180°-2α，可得等式：2(α-β)=180°-2α，整理得：2α-β=90°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、外心性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查几何角度推导，核心是利用外心的等距性构造等腰三角形，结合三角形内角和建立角度关系，对学生的逻辑推导能力有一定要求，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要推导α和β的关系式，需结合等腰三角形性质、三角形内角和定理以及外心的性质逐步分析：首先由AB=AC确定△ABC的底角，求出顶角∠BAC；再利用外心到三顶点距离相等的性质，构造等腰三角形得到相关角度，最终建立α与β的等量关系。
【解析】
1. 因为AB=AC，所以△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，得∠ABC=∠ACB=α。
2. 根据三角形内角和为180°，可得顶角∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2α。
3. 连接OA、OC，由于O是△ABC的外心，根据外心的性质，外心到三角形三个顶点的距离相等，即OB=OA=OC。
4. 在△OBC中，OB=OC，故△OBC为等腰三角形，因此∠CBO=∠BCO=β，即∠BCO=β。
5. 由此可得∠ACO=∠ACB-∠BCO=α-β，又因为OA=OC，△OAC为等腰三角形，所以∠OAC=∠ACO=α-β。
6. 同理，在△OAB中，OA=OB，∠OBA=∠ABC-∠CBO=α-β，故∠OAB=∠OBA=α-β。
7. 因此∠BAC=∠OAC+∠OAB=(α-β)+(α-β)=2(α-β)。
8. 结合步骤2中∠BAC=180°-2α，可得等式：2(α-β)=180°-2α，整理得：2α-β=90°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形性质、外心性质、三角形内角和
【点评】
本题综合考查几何角度推导，核心是利用外心的等距性构造等腰三角形，结合三角形内角和建立角度关系，对学生的逻辑推导能力有一定要求，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
8. (2026·六安期末)平面上有不在同一直线上的4个点,过其中3个点作圆,可以作出$n$个圆,那么$n$的值不可能为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8. B 解析:分三种情况讨论:①当A,B,C,D四个点中有三个点在同一条直线上,另外一个点不在这条直线上时,可以确定3个圆,如图①所示;
②当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,而且它们共圆时,只能确定1个圆,如图②所示;
③当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,并且四个点不共圆时,则任意三点都能确定1个圆,一共可以确定4个圆,如图③所示.
综上所述,这四个点可以确定圆的个数为3或1或4.故选B.
解析
【分析】要解决本题，需依据“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，对平面上四个不在同一直线上的点的位置进行分类讨论，分析不同位置关系下能确定的圆的个数，进而找出不可能的n值。
【解析】分三种情况讨论：
1. 当四个点中有三个点在同一直线上，第四个点不在这条直线上时，过不共线的三点可作一个圆，共能确定3个圆，对应图①；
2. 当四个点中任意三点不共线，且四个点共圆时，所有点都在同一个圆上，只能确定1个圆，对应图②；
3. 当四个点中任意三点不共线，且四个点不共圆时，每三个点可确定一个圆，共能确定4个圆，对应图③；
综上，n的可能值为1、3、4，不可能为2，故选B。
【答案】B 解析:分三种情况讨论:①当A,B,C,D四个点中有三个点在同一条直线上,另外一个点不在这条直线上时,可以确定3个圆,如图①所示;
②当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,而且它们共圆时,只能确定1个圆,如图②所示;
③当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,并且四个点不共圆时,则任意三点都能确定1个圆,一共可以确定4个圆,如图③所示.
综上所述,这四个点可以确定圆的个数为3或1或4.故选B.
【知识点】确定圆的条件、分类讨论思想
【点评】本题考查确定圆的条件，核心是通过分类讨论全面分析四个点的位置关系，避免遗漏情况，培养学生的逻辑思维能力。
【难度系数】0.5
【解析】分三种情况讨论：
1. 当四个点中有三个点在同一直线上，第四个点不在这条直线上时，过不共线的三点可作一个圆，共能确定3个圆，对应图①；
2. 当四个点中任意三点不共线，且四个点共圆时，所有点都在同一个圆上，只能确定1个圆，对应图②；
3. 当四个点中任意三点不共线，且四个点不共圆时，每三个点可确定一个圆，共能确定4个圆，对应图③；
综上，n的可能值为1、3、4，不可能为2，故选B。
【答案】B 解析:分三种情况讨论:①当A,B,C,D四个点中有三个点在同一条直线上,另外一个点不在这条直线上时,可以确定3个圆,如图①所示;
②当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,而且它们共圆时,只能确定1个圆,如图②所示;
③当A,B,C,D四个点中任意三个点都不在同一条直线上,并且四个点不共圆时,则任意三点都能确定1个圆,一共可以确定4个圆,如图③所示.
综上所述,这四个点可以确定圆的个数为3或1或4.故选B.
【知识点】确定圆的条件、分类讨论思想
【点评】本题考查确定圆的条件，核心是通过分类讨论全面分析四个点的位置关系，避免遗漏情况，培养学生的逻辑思维能力。
【难度系数】0.5
9. (1) 在 $△ A B C$ 中, $A B=A C, B C=12$, 已知 $\odot O$ 是$△ A B C$ 的外接圆, 且半径为 10 , 则 $B C$ 边上的高为
(2) 已知 $\odot O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆, $\odot O$ 的半径为$2, A B=2, A C=2 \sqrt{2}$, 则 $∠ B A C$ 的度数为
2或18
;(2) 已知 $\odot O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆, $\odot O$ 的半径为$2, A B=2, A C=2 \sqrt{2}$, 则 $∠ B A C$ 的度数为
15°或105°
.答案
9. (1)2或18 解析:作AD⊥BC于点D,
∵AB=AC,
∴AD垂直平分BC,△ABC的外接圆的圆心O在直线AD上.当△ABC为锐角三角形时,如图①,点O在线段AD上,连接OB,
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=6,OB=OA=10.在Rt△OBD中,OD=$\sqrt{10^2-6^2}$=8,
∴AD=AO+DO=10+8=18;当△ABC为钝角三角形时,如图②,O点在线段AD的延长线上,连接OB,同理可得OD=8,
∴AD=AO-DO=10-8=2.综上所述,BC边上的高为2或18.
(2)15°或105° 解析:如图③,当AB和AC在OA的两侧时,连接OA,OB,OC.
∵AB=OB=OA=2,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠BAO=60°.
∵OA=2,OC=2,AC=2√2,
∴OA²+OC²=AC²,
∴△OAC为等腰直角三角形,
∴∠OAC=45°,
∴∠BAC=∠BAO+∠OAC=60°+45°=105°;当AB和AC在OA的同侧时,AB'=2.同理可得∠B'AC=∠B'AO-∠OAC=60°-45°=15°.综上所述,∠BAC的度数为15°或105°.
解析
【分析】
第(1)问中，△ABC是等腰三角形，其外接圆圆心在底边BC的垂直平分线（即高AD所在直线）上，需分△ABC为锐角、钝角两种情况确定圆心位置，结合勾股定理计算高；第(2)问中，已知外接圆半径和两边长，需分AB、AC在圆心OA的两侧、同侧两种情况，利用等边三角形、等腰直角三角形的角度性质计算∠BAC，核心是分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，△ABC的外接圆圆心O在直线AD上。
① 当△ABC为锐角三角形时（如图①），点O在线段AD上，连接OB，BD=CD=½BC=6，OB=OA=10。在Rt△OBD中，OD=√(OB² - BD²)=√(10² - 6²)=8，
∴AD=AO + OD=10 + 8=18；
② 当△ABC为钝角三角形时（如图②），点O在线段AD的延长线上，同理OD=8，
∴AD=AO - OD=10 - 8=2。
综上，BC边上的高为2或18。
(2) 如图③，连接OA、OB、OC，⊙O半径为2，故OA=OB=OC=2。
① 当AB、AC在OA两侧时，AB=2，
∴OA=OB=AB=2，△OAB为等边三角形，∠BAO=60°；又OA=OC=2，AC=2√2，OA² + OC²=2² + 2²=8=(2√2)²=AC²，
∴△OAC为等腰直角三角形，∠OAC=45°，
∴∠BAC=∠BAO + ∠OAC=60° + 45°=105°；
② 当AB、AC在OA同侧时，同理得△OAB为等边三角形（∠B'AO=60°），△OAC为等腰直角三角形（∠OAC=45°），
∴∠B'AC=∠B'AO - ∠OAC=60° - 45°=15°。
综上，∠BAC的度数为15°或105°。
【答案】
9. (1)2或18
(2)15°或105°
【知识点】
等腰三角形外接圆、勾股定理逆定理、圆周角性质
【点评】
本题需通过分类讨论确定外接圆圆心位置及两边相对于圆心的位置，考查等腰三角形、圆的性质与分类思想，易因漏解出错。
【难度系数】
0.4
第(1)问中，△ABC是等腰三角形，其外接圆圆心在底边BC的垂直平分线（即高AD所在直线）上，需分△ABC为锐角、钝角两种情况确定圆心位置，结合勾股定理计算高；第(2)问中，已知外接圆半径和两边长，需分AB、AC在圆心OA的两侧、同侧两种情况，利用等边三角形、等腰直角三角形的角度性质计算∠BAC，核心是分类讨论避免漏解。
【解析】
(1) 作AD⊥BC于点D，
∵AB=AC，
∴AD垂直平分BC，△ABC的外接圆圆心O在直线AD上。
① 当△ABC为锐角三角形时（如图①），点O在线段AD上，连接OB，BD=CD=½BC=6，OB=OA=10。在Rt△OBD中，OD=√(OB² - BD²)=√(10² - 6²)=8，
∴AD=AO + OD=10 + 8=18；
② 当△ABC为钝角三角形时（如图②），点O在线段AD的延长线上，同理OD=8，
∴AD=AO - OD=10 - 8=2。
综上，BC边上的高为2或18。
(2) 如图③，连接OA、OB、OC，⊙O半径为2，故OA=OB=OC=2。
① 当AB、AC在OA两侧时，AB=2，
∴OA=OB=AB=2，△OAB为等边三角形，∠BAO=60°；又OA=OC=2，AC=2√2，OA² + OC²=2² + 2²=8=(2√2)²=AC²，
∴△OAC为等腰直角三角形，∠OAC=45°，
∴∠BAC=∠BAO + ∠OAC=60° + 45°=105°；
② 当AB、AC在OA同侧时，同理得△OAB为等边三角形（∠B'AO=60°），△OAC为等腰直角三角形（∠OAC=45°），
∴∠B'AC=∠B'AO - ∠OAC=60° - 45°=15°。
综上，∠BAC的度数为15°或105°。
【答案】
9. (1)2或18
(2)15°或105°
【知识点】
等腰三角形外接圆、勾股定理逆定理、圆周角性质
【点评】
本题需通过分类讨论确定外接圆圆心位置及两边相对于圆心的位置，考查等腰三角形、圆的性质与分类思想，易因漏解出错。
【难度系数】
0.4
