6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,$BQ$和$AP$分别为$∠ ABC$和$∠ BAC$的平分线,若$△ ABQ$的周长为18,$BP=4$,求$AB$的长.

6. 解:$\because BQ$ 平分$∠ ABC,\therefore∠ CBQ=\frac{1}{2}∠ ABC.$
$\because∠ ABC=2∠ C,\therefore∠ CBQ=∠ C,\therefore BQ=CQ,$
$\therefore BQ+AQ=CQ+AQ=AC\textcircled{1}.$
过点 $P$ 作 $PD// BQ$ 交 $CQ$ 于点 $D$,如答图,
第6题答图
则$∠ CPD=∠ CBQ=∠ C,∠ ADP=∠ AQB,$
$\therefore PD=CD.$
$\because∠ AQB=∠ C+∠ CBQ=2∠ C,\therefore∠ ABC=∠ ADP.$
$\because AP$ 平分$∠ BAC,\therefore∠ BAP=∠ CAP.$
在$△ ABP$ 和$△ ADP$ 中,$\begin{cases} ∠ ABP=∠ ADP,\\ ∠ BAP=∠ DAP,\\ AP=AP, \end{cases}$
$\therefore△ ABP≌△ ADP(\mathrm{AAS}),\therefore AB=AD,BP=PD,$
$\therefore AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC\textcircled{2},$
由$\textcircled{1}\textcircled{2}$得 $BQ+AQ=AB+BP.$
$\because△ ABQ$ 的周长为 $18,BP=4,\therefore AB+BQ+AQ=AB+BP+AB=2AB+4=18,\therefore AB=7.$

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=60°$,$D,E$分别为$AB,BC$上的点,且$AE,CD$交于点$F$.若$AE,CD$分别为$△ ABC$的角平分线.
(1)求证:$∠ AFC=120°$;
(2)若$AD=6,CE=4$,求$AC$的长.

7. (1)证明:$\because AE,CD$ 分别为$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore∠ FAC=\frac{1}{2}∠ BAC,∠ FCA=\frac{1}{2}∠ BCA.$
$\because∠ B=60°,\therefore∠ BAC+∠ BCA=120°,$
$\therefore∠ AFC=180°-∠ FAC-∠ FCA=180°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ BCA)=180°-\frac{1}{2}×120°=120°.$
(2)解:如答图,在 $AC$ 上截取 $AG=AD$,连接 $FG$.
$\because AE,CD$ 分别为$△ ABC$ 的角平分线,
$\therefore∠ FAG=∠ FAD,∠ FCG=∠ FCE.$
$\because∠ AFC=120°,\therefore∠ AFD=∠ CFE=60°.$
在$△ ADF$ 和$△ AGF$ 中,$\begin{cases} AD=AG,\\ ∠ FAD=∠ FAG,\\ AF=AF, \end{cases}$
$\therefore△ ADF≌△ AGF(\mathrm{SAS}),\therefore∠ AFD=∠ AFG=60°,$
$\therefore∠ GFC=∠ AFC-∠ AFG=60°,$
$\therefore∠ GFC=∠ CFE.$
在$△ CGF$ 和$△ CEF$ 中,$\begin{cases} ∠ GFC=∠ EFC,\\ CF=CF,\\ ∠ FCG=∠ FCE, \end{cases}$
$\therefore△ CGF≌△ CEF(\mathrm{ASA}),\therefore CG=CE,$
$\therefore AC=AG+CG=AD+CE=10.$
第7题答图

8. 如图①，$AD$ 平分 $∠ BAC$，$∠ B + ∠ C = 180°$，$∠ B = 90°$，易知 $DB = DC$.
(1) 如图②，$AD$ 平分 $∠ BAC$，$∠ ABD + ∠ ACD = 180°$，$∠ ABD ＜ 90°$. 求证：$DB = DC$；
(2) 如图③，在四边形 $ABDC$ 中，$∠ B = 45°$，$∠ C = 135°$，$DB = DC$，$DE ⊥ AB$. 求证：$AB - AC = 2BE$.

8. 证明:(1)如答图①,过点 $D$ 作 $DE⊥ AB$ 于点 $E,DF⊥ AC$,交 $AC$ 的延长线于点 $F$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC,\therefore∠ DAC=∠ DAB.$
在$△ DAF$ 和$△ DAE$ 中,$\begin{cases} ∠ DAF=∠ DAE,\\ ∠ DFA=∠ DEA,\\ AD=AD, \end{cases}$
$\therefore△ DAF≌△ DAE(\mathrm{AAS}),\therefore DF=DE.$
$\because∠ ABD+∠ ACD=180°,∠ ACD+∠ FCD=180°,$
$\therefore∠ ABD=∠ FCD.$
在$△ DFC$ 和$△ DEB$ 中,$\begin{cases} ∠ DFC=∠ DEB,\\ ∠ FCD=∠ EBD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore△ DFC≌△ DEB(\mathrm{AAS}),\therefore DB=DC.$
(2)如答图②,连接 $AD$,过点 $D$ 作 $DF⊥ AC$,交 $AC$ 的延长线于点 $F$.
$\because∠ ACD=135°,\therefore∠ FCD=180°-∠ ACD=45°.$
$\because∠ B=45°,\therefore∠ FCD=∠ B.$
在$△ DFC$ 和$△ DEB$ 中,$\begin{cases} ∠ DFC=∠ DEB=90°,\\ ∠ FCD=∠ B,\\ DC=DB, \end{cases}$
$\therefore△ DFC≌△ DEB(\mathrm{AAS}),\therefore DF=DE,CF=BE.$
在$\mathrm{Rt}△ ADF$ 和$\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,$\begin{cases} AD=AD,\\ DF=DE, \end{cases}$
$\therefore\mathrm{Rt}△ ADF≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL}),\therefore AF=AE,$
$\therefore AB=AE+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,$
$\therefore AB-AC=2BE.$
第8题答图