例
如图，水平桌面上有甲、乙两个圆柱形的容器，内部底面积分别为 $ 60 \, \mathrm{cm}^2 $ 和 $ 80 \, \mathrm{cm}^2 $，且甲容器装满水，乙容器是空的。若将甲容器中的水全部倒入乙容器，则乙容器中的水位高度比原先甲容器中的水位高度低 $ 8 \, \mathrm{cm} $，则甲容器的容积为 $ \mathrm{cm}^3 $。

例
[答案] $ 1920 $

【分析】
解题思路：首先明确核心等量关系——甲容器装满的水全部倒入乙容器，水的总体积是不变的，也就是甲容器的容积等于水的体积。我们可以先设甲容器原先的水位高度为x cm，那么甲的容积就是底面积乘以高即60x cm³；将水倒入乙容器后，乙容器内的水位高度就等于水的体积除以乙的底面积，也就是$\frac{60x}{80}$ cm。题目给出乙容器水位比原甲容器水位低8cm，据此就可以列出关于x的一元一次方程，解出x后再乘以甲的底面积就能得到甲的容积。也可以直接设甲的容积为V，利用“原甲水位高度 - 乙现水位高度=8cm”直接列方程求解，两种方法都很简便。
【解析】
解：设甲容器中原先的水位高度为$x\ \mathrm{cm}$，则甲容器的容积为$60x\ \mathrm{cm}^3$。
将甲容器的水全部倒入乙容器后，乙容器内的水位高度为$\frac{60x}{80}\ \mathrm{cm}$。
根据题意，乙容器水位高度比原甲容器水位高度低8cm，可列方程：
$x - \frac{60x}{80} = 8$
化简得：
$x - \frac{3}{4}x = 8$
$\frac{1}{4}x = 8$
解得：$x=32$
因此甲容器的容积为$60×32=1920\ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
$1920$
【知识点】
圆柱体积计算，一元一次方程应用
【点评】
本题的核心突破口是抓住“水的体积不变”这个隐含条件，利用两个容器底面积的差异带来的水位高度差建立等量关系，解题时不需要复杂的推导，只要理清体积、底面积、高三者的对应关系就能快速列出方程求解，属于基础的方程应用题型。
【难度系数】
0.7

1. 用 $ 7.8 \, \mathrm{m} $ 长的铁丝做成一个长方形框架，使长比宽多 $ 1.2 \, \mathrm{m} $，求这个长方形框架的宽是多少米。设长方形的宽是 $ x \, \mathrm{m} $，可列方程为()。

A.$ x + (x + 1.2) = 7.8 $
B.$ x + (x - 1.2) = 7.8 $
C.$ 2 [x + (x + 1.2)] = 7.8 $
D.$ 2 [x + (x - 1.2)] = 7.8 $

1. C

【分析】
我们先梳理解题思路：首先明确铁丝的总长度就是这个长方形框架的周长，题目已经设宽为x m，第一步根据“长比宽多1.2 m”，可以直接用含x的代数式表示出长为(x+1.2)m；第二步回忆长方形的周长计算公式，周长等于2倍的（长+宽）；第三步把已知的周长7.8 m、表示好的长和宽代入周长公式，就能列出对应的方程，再和选项比对即可选出正确答案。
【解析】
解：设长方形的宽是$x \, \mathrm{m}$，
由长比宽多$1.2 \, \mathrm{m}$，可得长为$(x+1.2) \, \mathrm{m}$。
铁丝的总长度7.8 m就是长方形框架的周长，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，代入对应数值可得方程：
$2 [x + (x + 1.2)] = 7.8$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
长方形周长公式，一元一次方程应用
【点评】
本题是一元一次方程的基础实际应用题，易错点是容易忽略长方形周长是2倍的长加宽，直接将长加宽的和等同于铁丝总长度，错选A选项。解题时要明确铁丝围成长方形框架的总长度就是图形的周长，不要漏乘周长公式里的系数2。
【难度系数】
0.8

2. 内径(内径是圆柱形玻璃杯内圆的直径)长为 $ 300 \, \mathrm{mm} $，内高为 $ 32 \, \mathrm{mm} $ 的圆柱形玻璃杯内盛满水，将它里边的水倒入内径长为 $ 120 \, \mathrm{mm} $ 的圆柱形玻璃杯，刚好倒满，则内径长为 $ 120 \, \mathrm{mm} $ 的玻璃杯的内高为()。

A.$ 150 \, \mathrm{mm} $
B.$ 200 \, \mathrm{mm} $
C.$ 250 \, \mathrm{mm} $
D.$ 300 \, \mathrm{mm} $

2. B

设内径长为$120\,\mathrm{mm}$的玻璃杯的内高为$h\,\mathrm{mm}$。
根据圆柱体积公式$V = π r^2 h$，水的体积不变，可得：
$π × (\frac{300}{2})^2 × 32 = π × (\frac{120}{2})^2 × h$
化简得：
$π × 150^2 × 32 = π × 60^2 × h$
$22500 × 32 = 3600h$
$720000 = 3600h$
$h = 200$
B

3. 如图，10 块相同的小长方形墙砖能拼成一个大长方形，已知大长方形的宽为 $ 35 \, \mathrm{cm} $，则一块小长方形墙砖的面积为()。


A.$ 147 \, \mathrm{cm}^2 $
B.$ 75 \, \mathrm{cm}^2 $
C.$ 35 \, \mathrm{cm}^2 $
D.$ 21 \, \mathrm{cm}^2 $

3. A

设小长方形的长为$x\,\mathrm{cm}$，宽为$y\,\mathrm{cm}$。
由图可知：$2x = x + 3y$，$x + 2y = 35$。
由$2x = x + 3y$得$x = 3y$。
将$x = 3y$代入$x + 2y = 35$，得$3y + 2y = 35$，$5y = 35$，$y = 7$。
则$x = 3y = 21$。
小长方形面积为$x × y = 21 × 7 = 147\,\mathrm{cm}^2$。
A

4. 有一种足球是由 32 块黑白相间的牛皮缝制而成的。黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形。设白皮有 $ x $ 块，则黑皮有 $ (32 - x) $ 块，每块白皮有六条边，共 $ 6x $ 条边。因每块白皮有三条边和黑皮连在一起，故黑皮共有 $ 3x $ 条边。要求白皮、黑皮的块数，列出的方程正确的是()。


A.$ 3x = 32 - x $
B.$ 3x = 5(32 - x) $
C.$ 5x = 3(32 - x) $
D.$ 6x = (32 - x) $

4. B

设白皮有$x$块，则黑皮有$(32 - x)$块。
每块白皮有6条边，共$6x$条边，其中3条边与黑皮相连，故白皮与黑皮相连的边数为$3x$。
每块黑皮有5条边，共$5(32 - x)$条边，且黑皮的边均与白皮相连。
因此，$3x = 5(32 - x)$。
答案：B

5. 校本课上，同学们用彩泥制作作品。现有一块长、宽、高分别为 $ 2 \, \mathrm{cm} $，$ 3 \, \mathrm{cm} $，$ 4 \, \mathrm{cm} $ 的长方体彩泥材料，小文要取材料的 $ \frac{1}{3} $ 制作一个正方体模型，则小文制作的模型棱长为 $ \mathrm{cm} $。

5. 2

长方体彩泥体积：$2×3×4 = 24\,\mathrm{cm}^3$
取材料的$\frac{1}{3}$，体积为：$24×\frac{1}{3}=8\,\mathrm{cm}^3$
设正方体模型棱长为$a\,\mathrm{cm}$，则$a^3 = 8$，解得$a = 2$

6. 如图，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为 $ 3 \, \mathrm{cm} $ 的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 $ 4 \, \mathrm{cm} $ 的长条。如果两次剪下的长条面积正好相等，求原正方形的面积。

6. 解：设原正方形的边长为x cm。
由题意可列方程$3x = 4(x - 3)$，
解得$x = 12$。
$12×12 = 144(cm^{2})$。
因此，原正方形的面积为$144cm^{2}$。

【分析】
这道题的核心等量关系是两次剪下的长条面积相等，我们可以通过设未知数建立方程求解：
1. 首先设原正方形的边长为x cm，第一次剪下的宽为3cm的长条是长方形，它的长和原正方形的边长完全相等，所以第一次剪下长条的面积为3x cm²。
2. 第一次剪完宽3cm的长条后，剩余的纸片是长方形，它的对应边长比原正方形边长少了3cm，也就是剩余长方形的长为(x-3)cm，第二次剪下的宽为4cm的长条的长就等于这个剩余的长度，因此第二次剪下长条的面积为4(x-3) cm²。
3. 利用“两次剪下的长条面积相等”的条件列出方程，求解得到原正方形的边长，再代入正方形面积公式计算即可得到最终结果。
【解析】
解：设原正方形的边长为x cm，
根据两次剪下的长条面积相等，可列方程：
$3x = 4(x-3)$
展开移项得：$3x = 4x -12$
解得：$x=12$
计算原正方形的面积：$12×12=144\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
$144\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
一元一次方程应用，正方形面积计算，长方形面积计算
【点评】
本题属于基础的几何类一元一次方程应用题，解题的易错点是误将第二次剪下长条的长当成原正方形的边长，只要结合图形分析第一次裁剪后剩余图形的边长变化，就能准确表示出两个长条的面积，顺利建立等量关系求解。
【难度系数】
0.7