7. (2024·东台期中) 如图, AD 是 $△ ABC$ 中 BC 边上的中线. 若 $AB=5, AC=9$, 则 AD 的取值范围是
（）

A.$4＜ AD＜14$
B.$2＜ AD＜7$
C.$5＜ AD＜9$
D.$4＜ AD＜9$

7.B

8. (2024·盐都区月考)如图,小丽坐在秋千的起始位置 A 处,OA 与地面垂直,小丽两脚在地面上用力一蹬,妈妈在 B 处接住她后用力一推,爸爸在 C 处接住她. 若点 B 距离地面的高度为1.5 m,点 B 到 OA 的距离 BD 为 1.7 m,点 C 距离地面的高度是 1.6 m,$∠ BOC=90°$,则点 C到 OA 的距离 CE 为m.

8.1.8

9. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$E$ 为 $BC$ 边的中点.若 $AE$ 平分$∠ BAD,∠ AED=90°,F$ 为 $AD$ 上一点,$AF=AB$.
求证:(1)$△ ABE ≌ △ AFE$;
(2)$AD=AB+CD$.

9. 证明:(1)$\because AE$平分$∠BAD,\therefore ∠BAE=∠FAE$.
在$△ ABE$和$△ AFE$中,$\begin{cases} AB=AF, \\ ∠BAE=∠FAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ AFE(\mathrm{SAS}).$
(2)由(1)知$△ ABE≌△ AFE$,
$\therefore EB=EF,∠AEB=∠AEF.$
$\because ∠BEC=180°,∠AED=90°,$
$\therefore ∠AEB+∠DEC=90°,∠AEF+∠DEF=90°,$
$\therefore ∠DEC=∠DEF.$
$\because E$为$BC$的中点,$\therefore EB=EC,\therefore EF=EC.$
在$△ ECD$和$△ EFD$中,$\begin{cases} EC=EF, \\ ∠DEC=∠DEF, \\ ED=ED, \end{cases}$
$\therefore △ ECD≌△ EFD(\mathrm{SAS}),\therefore DC=DF.$
$\because AD=AF+DF,AB=AF,\therefore AD=AB+CD.$

10. 如图①,$AB=4\ \mathrm{cm}$,$AC⊥ AB$,$BD⊥ AB$,$AC=BD=3\ \mathrm{cm}$. 点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动,同时,点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动. 它们运动的时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1) 若点$Q$的运动速度与点$P$的运动速度相等,当$t=1$时,$△ ACP$与$△ BPQ$是否全等? 判断此时线段$PC$和线段$PQ$的位置关系,并分别说明理由;
(2) 如图②,将“$AC⊥ AB$,$BD⊥ AB$”改为“$∠ CAB=∠ DBA=60°$”,其他条件不变. 设点$Q$的运动速度为$x\ \mathrm{cm/s}$,是否存在$x$,使得$△ ACP$与$△ BPQ$全等? 若存在,求出相应的$x$,$t$的值;若不存在,请说明理由.

10. 解:(1)$△ ACP≌△ BPQ,PC⊥ PQ$. 理由如下:
$\because AC⊥ AB,BD⊥ AB,\therefore ∠A=∠B=90°.$
当$t=1$时,$AP=BQ=1\ \mathrm{cm},BP=AC=3\ \mathrm{cm}$,
在$△ ACP$和$△ BPQ$中,$\begin{cases} AP=BQ, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BP, \end{cases}$
$\therefore △ ACP≌△ BPQ(\mathrm{SAS}),\therefore ∠ACP=∠BPQ,$
$\therefore ∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°,$
$\therefore ∠CPQ=90°,即PC⊥ PQ.$
(2)存在. ①若$△ ACP≌△ BPQ$,
则$AC=BP,AP=BQ$,则$\begin{cases} 3=4-t, \\ t=xt, \end{cases}$解得$\begin{cases} t=1, \\ x=1. \end{cases}$
②若$△ ACP≌△ BQP$,则$AC=BQ,AP=BP$,
则$\begin{cases} 3=xt, \\ t=4-t, \end{cases}$解得$\begin{cases} t=2, \\ x=\dfrac{3}{2}. \end{cases}$
综上所述,存在$\begin{cases} t=1, \\ x=1 \end{cases}$或$\begin{cases} t=2, \\ x=\dfrac{3}{2}, \end{cases}$使得$△ ACP$与$△ BPQ$全等.

【条件】如图①,②,$AB=AD,AC=AE,∠ BAD=∠ CAE$
【结论】$△ ABC ≌ △ ADE$

证明：
∵ ∠BAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD + ∠DAC = ∠CAE + ∠DAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD\quad (\mathrm{已知})\\∠BAC = ∠DAE\quad (\mathrm{已证})\\AC = AE\quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（SAS）。