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| 主题 | 已知三角形三边之长求出三角形的面积 |
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| 素材 | “海伦—秦九韶公式”
海伦公式告诉你计算的方法是：$S=\sqrt{p\left ( p-a\right )\left ( p-b\right )\left ( p-c\right )}$，其中$S$表示三角形的面积，$a$，$b$，$c$分别表示三边之长，$p$表示周长之半，即$p=\dfrac{a+b+c}{2}$.
我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，因此这个公式也可以叫“海伦—秦九韶公式”. |
| 任务1 | 在$△ ABC$中，$AB=9$，$BC=10$，$AC=11$.求$△ ABC$的面积. |
| 任务2 | 计算任务1中$△ ABC$的$BC$边上的高. |

13. 任务1 $30\sqrt{2}$
任务2 $6\sqrt{2}$

【分析】
要解决本题可按两个任务分别梳理思路：
1. 任务1求三角形面积：题目直接给出海伦-秦九韶公式，首先计算三角形周长的一半$p$，再将$p$和三边长代入公式，最后化简二次根式就能得到面积。
2. 任务2求BC边上的高：利用三角形通用面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，已知BC为底，任务1已经求出面积，将已知量代入公式解方程即可求出高。
【解析】
任务1解答：
已知$△ ABC$三边长$AB=9$，$BC=10$，$AC=11$，
先计算周长之半：$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{9+10+11}{2}=15$，
代入海伦公式$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$得：
$\begin{aligned}S&=\sqrt{15×(15-10)×(15-11)×(15-9)}\\&=\sqrt{15×5×4×6}\\&=\sqrt{1800}\\&=30\sqrt{2}\end{aligned}$
任务2解答：
设BC边上的高为$h$，根据三角形面积公式，以BC为底可得：
$S=\frac{1}{2}×BC×h$
将$S=30\sqrt{2}$，$BC=10$代入上式：
$30\sqrt{2}=\frac{1}{2}×10×h$
化简得$5h=30\sqrt{2}$，解得$h=6\sqrt{2}$
【答案】
任务1：$30\sqrt{2}$；任务2：$6\sqrt{2}$
【知识点】
海伦-秦九韶公式应用；三角形面积计算
【点评】
本题属于材料阅读类题目，核心考查对新公式的理解运用能力和二次根式的化简能力，只要准确读取材料中的公式，按步骤代入计算即可，注意最终二次根式结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8