1 (1) 阅读课本 P119 活动 1,可知：
$6 × 14 - 7 × 13 =$ ; $16 × 24 - 17 × 23 =$ ; $20 × 28 - 27 × 21 =$ .
由此可得,在不跨月的条件下,任意月历中的“$2 × 2$”的方框内均满足“对角线乘积差为 ”.
试证明你的发现.
(2) 拓展:如图,用空心十字框框住 4 个位置上的数,将其中左右相对的两数的积减去上下相对的两数的积,例如:$7 × 9 - 1 × 15 =$ ,$18 × 20 - 12 × 26 =$ .不难发现,结果都是 .
① 把上面的空填写完整,并猜想规律;
② 用同样的空心十字框再框 4 个位置上的数,看看是否符合这个规律;
③ 请你利用整式的运算对以上规律加以证明.

1. (1) 设左上角的数为 x,则其他三个数分别为 x+1,x+7,x+8.
∴ x(x+8)-(x+1)(x+7)=x²+8x-(x²+8x+7)=-7
(2) ① 规律:空心十字框中左右相对的两数的积减去上下相对的两数的积的结果为 48
② 框的数不唯一,如 22×24−16×30=48 符合规律
③ 设空心十字框中的 4 个数围起来的中间的数为 x,则空心十字框中的数分别为 x−7,x−1,x+1,x+7. 由题意,得(x−1)(x+1)−(x−7)(x+7)=(x²−1)−(x²−49)=x²−1−x²+49=48

【分析】
首先计算(1)中给出的三个式子，观察结果发现共性规律；再利用月历中数的排列特点（左右相邻差1，上下相邻差7），设2×2方框左上角的数为未知数，通过整式运算证明规律。对于(2)，先计算例子中的数值，发现结果的一致性，再设空心十字框中间的数为未知数，用代数式表示四个数，通过整式运算严谨证明规律，整体遵循“具体计算→猜想规律→代数证明”的思路。
【解析】
(1) 计算三个式子：
$6×14 -7×13 =84 -91=-7$；
$16×24 -17×23=384 -391=-7$；
$20×28 -27×21=560 -567=-7$；
观察结果，可得2×2方框内对角线乘积差为$-7$。
证明：设2×2方框左上角的数为$x$，则右上角为$x+1$，左下角为$x+7$，右下角为$x+8$。
对角线乘积差为：$x(x+8)-(x+1)(x+7)=x^2+8x-(x^2+8x+7)=-7$，规律成立。
(2) 计算例子：
$7×9 -1×15=63 -15=48$；
$18×20 -12×26=360 -312=48$；
结果都是$48$，猜想规律：空心十字框中左右相对两数的积减去上下相对两数的积结果为$48$。
② 举例验证：如框出22、24、16、30，计算$22×24 -16×30=528 -480=48$，符合规律。
③ 证明：设空心十字框中间的数为$x$，则左数为$x-1$，右数为$x+1$，上数为$x-7$，下数为$x+7$。
左右乘积减上下乘积为：$(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=(x^2-1)-(x^2-49)=48$，规律成立。
【答案】
(1) $-7$；$-7$；$-7$；$-7$；(2) $48$；$48$；$48$；规律为空心十字框中左右相对两数的积减去上下相对两数的积结果为48，举例符合，证明如上。
【知识点】
整式的运算；规律探究；代数式的应用
【点评】
本题是月历中的规律探究题，通过具体计算、猜想规律、代数证明的步骤，考查整式的乘法与化简，培养学生的观察、推理能力，是典型的代数应用类题目。
【难度系数】
0.5

2 观察下列各式：
① $60 × 60 = 60^2 - 0^2 = 3\ 600$；
② $59 × 61 = (60 - 1) × (60 + 1) = 60^2 - 1^2 = 3\ 599$；
③ $58 × 62 = (60 - 2) × (60 + 2) = 60^2 - 2^2 = 3\ 596$；
④ $57 × 63 = (60 - 3) × (60 + 3) = 60^2 - 3^2 = 3\ 591$；
……
探究：
(1) 上面的式子表示的规律是$(60 + m)(60 - m) =$；观察各等式的左边，发现两数的和都是120，而两数的积却随着两数的接近程度在变化，即当两数时，乘积最大。
应用：
(2) 根据上面的规律，若$a + b = 400$，则$ab$的最大值是。
拓展：
(3) 用一根长40 cm的铁丝围成一个长方形(无剩余)，设它的一边长为$x$ cm，面积为$S\ \mathrm{cm}^2$，写出$S$与$x$之间的等量关系. 当$x$为何值时，$S$取得最大值？

2. (1) $60^2 - m^2$ 相等 (2) 40 000 (3)
∵ 长方形的周长为40 cm,一边长为 x cm,
∴ 与该边相邻的边的长为(20−x)cm.
由长方形的面积公式,可得 S=x(20−x)=20x−x². 由(1)中的规律,知当 x=20−x,即 x=10 时,x(20−x)有最大值,此时S取得最大值

【分析】
首先观察给出的等式，发现均符合平方差公式的形式，据此总结代数规律；再通过等式中乘积的变化，明确两数和为定值时乘积最大的条件；最后将规律应用到代数式求值和长方形面积最值问题中，解决实际问题。
【解析】
(1) 根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，对$(60+m)(60-m)$，令$a=60$，$b=m$，可得结果为$60^2 - m^2$；观察等式，当$m=0$时，乘积$60^2 - 0^2=3600$最大，此时两数均为60，即两数相等时乘积最大。
(2) 已知$a+b=400$，根据(1)的规律，当$a=b$时，$ab$最大，此时$a=b=400÷2=200$，故$ab$的最大值为$200×200=40000$。
(3) 长方形周长为40cm，一边长为$x$cm，则相邻边长为$(20 - x)$cm，根据长方形面积公式，面积$S=x(20 - x)$；由(1)的规律，当两数和为定值时，两数相等时乘积最大，这里$x$与$(20 - x)$的和为20，令$x=20 - x$，解得$x=10$，即当$x=10$时，$S$取得最大值。
【答案】
(1) $60^2 - m^2$；相等 (2) $40000$ (3) $S=x(20 - x)$，当$x=10$时，$S$取得最大值
【知识点】
平方差公式，代数式最值，长方形面积计算
【点评】
本题通过具体等式引导学生归纳规律，考查平方差公式的应用及代数最值的求解，需学生具备观察、归纳和规律应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.7