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1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统.约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.如二进制数$(101)_2$转换为十进制数是$1×2^2 + 0×2^1 + 1×2^0 =5$，二进制数$(1101)_2$转换为十进制数是$1×2^3 +1×2^2 +0×2^1 +1×2^0=13$[规定：$a^0=1(a≠0)$]，则二进制数$(10010)_2$转换为十进制数是
（
A.18
B.16
C.14
D.8
（
A
）A.18
B.16
C.14
D.8
答案
1. A 【解析】二进制数$(10010)_2$转换为十进制数为$1×2^4 +0×2^3+0×2^2+1×2^1+0×2^0=18.$
解析
【分析】
解决这道题首先要明确二进制转十进制的运算规则，结合题目给出的示例可知：转换时需要把二进制数的每一位数字，乘以2的对应次方，次方数从二进制数最右侧的个位开始，从0往左依次递增，最后将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。首先确定二进制数$(10010)_2$共5位，从左到右每一位对应的次方依次是4、3、2、1、0，再逐位计算乘积后求和即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则，计算过程如下：
$\begin{aligned}(10010)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 \\&= 1×16 + 0 + 0 + 1×2 + 0 \\&= 16 + 2 \\&= 18\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算类基础题，核心考查对题目给出的进制转换规则的理解应用能力，结合已学的乘方、有理数加法运算即可求解，解题时需要注意准确对应每一位数字的次方数，避免因次方数对应错误失分。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确二进制转十进制的运算规则，结合题目给出的示例可知：转换时需要把二进制数的每一位数字，乘以2的对应次方，次方数从二进制数最右侧的个位开始，从0往左依次递增，最后将所有乘积相加，得到的结果就是对应的十进制数。首先确定二进制数$(10010)_2$共5位，从左到右每一位对应的次方依次是4、3、2、1、0，再逐位计算乘积后求和即可。
【解析】
根据二进制转十进制的规则，计算过程如下：
$\begin{aligned}(10010)_2 &= 1×2^4 + 0×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0 \\&= 1×16 + 0 + 0 + 1×2 + 0 \\&= 16 + 2 \\&= 18\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
进制转换、乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题属于新定义运算类基础题，核心考查对题目给出的进制转换规则的理解应用能力，结合已学的乘方、有理数加法运算即可求解，解题时需要注意准确对应每一位数字的次方数，避免因次方数对应错误失分。
【难度系数】
0.8
2 我国古代质量单位制的“半斤八两”与十六进制有关. 十六进制数$(61)_{16}$换算成十进制数是$6×16^{1}+1×16^{0}=96+1=97(16^{0}=1)$，则十进制数88换算成十六进制数是
$(58)_{16}$
.答案
2. $(58)_{16}$ 【解析】因为$5×16^1 +8×16^0=80+8=88$,所以十进制数88换算成十六进制数是$(58)_{16}.$
解析
【分析】
要解决十进制转十六进制的问题，首先结合题目给出的十六进制转十进制的规则，明确十六进制每一位的数值对应16的若干次幂的和。首先找到不超过待转换数88的最大16的幂次，16²=256＞88，所以最高位是16¹对应的数位。接下来计算88里包含多少个16，商就是16¹位上的数字，余数就是16⁰位上的数字，组合即可得到结果。
【解析】
首先计算16的幂次：$16^1=16$，$16^2=256$，因为$256＞88$，所以88对应的十六进制数最高位为$16^1$位。
计算$88÷16=5······8$，即商为5，余数为8。
因此$16^1$位上的数字是5，$16^0$位上的数字是8，验证可得：$5×16^1 +8×16^0=80+8=88$，符合要求。
【答案】
$(58)_{16}$
【知识点】
1. 进位制转换
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题结合我国古代传统质量单位的背景考查进位制换算，解题核心是掌握十六进制的计数规则，结合题目给出的换算示例即可顺利求解，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要解决十进制转十六进制的问题，首先结合题目给出的十六进制转十进制的规则，明确十六进制每一位的数值对应16的若干次幂的和。首先找到不超过待转换数88的最大16的幂次，16²=256＞88，所以最高位是16¹对应的数位。接下来计算88里包含多少个16，商就是16¹位上的数字，余数就是16⁰位上的数字，组合即可得到结果。
【解析】
首先计算16的幂次：$16^1=16$，$16^2=256$，因为$256＞88$，所以88对应的十六进制数最高位为$16^1$位。
计算$88÷16=5······8$，即商为5，余数为8。
因此$16^1$位上的数字是5，$16^0$位上的数字是8，验证可得：$5×16^1 +8×16^0=80+8=88$，符合要求。
【答案】
$(58)_{16}$
【知识点】
1. 进位制转换
2. 有理数乘方运算
【点评】
本题结合我国古代传统质量单位的背景考查进位制换算，解题核心是掌握十六进制的计数规则，结合题目给出的换算示例即可顺利求解，注重对知识迁移应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
3 一个其他进制数可以表示成各个数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，从而转化成一个十进制数，反之，可以将一个十进制数表示成一个其他进制数（一般不考虑首位为0的情况）。
规定:当$ a≠0 $时，$ a^0=1 $。
例如:$ (1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11 $，即$ (1011)_2=11 $；
$ (135)_6=1×6^2+3×6^1+5×6^0=59 $，即$ (135)_6=59 $；
$ 64=1×7^2+2×7^1+1×7^0=(121)_7 $，即$ 64=(121)_7 $。
(1) ① 把$ (12021)_3 $转化为十进制数为
② 请把$ (1010111)_2 $转化为八进制数。
(2) 类比十进制数的四则运算可进行其他进位制数的运算，例如:$ (11011)_2+(1101)_2=(101000)_2 $。计算:
① $ (21011)_3+(10112)_3 $；
② $ (24103)_5×2 $。
(3) 小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，所以不同进制数也可以进行加法运算。例如:$ (101011)_2+(2011)_3=43+58=101 $。若$ (mm3)_4+(nn1)_6=234 $，则$ (m5)_8+(n3)_7= $
规定:当$ a≠0 $时，$ a^0=1 $。
例如:$ (1011)_2=1×2^3+0×2^2+1×2^1+1×2^0=11 $，即$ (1011)_2=11 $；
$ (135)_6=1×6^2+3×6^1+5×6^0=59 $，即$ (135)_6=59 $；
$ 64=1×7^2+2×7^1+1×7^0=(121)_7 $，即$ 64=(121)_7 $。
(1) ① 把$ (12021)_3 $转化为十进制数为
142
；② 请把$ (1010111)_2 $转化为八进制数。
(2) 类比十进制数的四则运算可进行其他进位制数的运算，例如:$ (11011)_2+(1101)_2=(101000)_2 $。计算:
① $ (21011)_3+(10112)_3 $；
② $ (24103)_5×2 $。
(3) 小聪发现不同进制数都可以化为十进制数，所以不同进制数也可以进行加法运算。例如:$ (101011)_2+(2011)_3=43+58=101 $。若$ (mm3)_4+(nn1)_6=234 $，则$ (m5)_8+(n3)_7= $
51
（结果用十进制数表示）。答案
3. (1) ① 142 ② 因为$(1010111)_2=1×2^6 +0+1×2^4 +0+1×2^2 +1×2^1 +1×2^0=64+16+4+2+1=87$,$87=1×8^2 +2×8^1 +7×8^0$,所以$(1010111)_2$转化为八进制数为$(127)_8$
(2) ① 原式$=(101200)_3$ ② 原式$=(103211)_5$ (3) 51
【解析】因为$(mm3)_4 + (nn1)_6 = 234$,所以$16m +4m +3 +36n +6n +1=234$. 所以$20m +42n=230$,即$10m +21n=115$.
因为$m＜4$,$n＜6$,且$m,n$为正整数,所以$m=1$,$n=5$. 所以$(m5)_8 + (n3)_7=8m +5 +7n +3=8×1 +5 +7×5 +3=8+5+35+3=51.$
(2) ① 原式$=(101200)_3$ ② 原式$=(103211)_5$ (3) 51
【解析】因为$(mm3)_4 + (nn1)_6 = 234$,所以$16m +4m +3 +36n +6n +1=234$. 所以$20m +42n=230$,即$10m +21n=115$.
因为$m＜4$,$n＜6$,且$m,n$为正整数,所以$m=1$,$n=5$. 所以$(m5)_8 + (n3)_7=8m +5 +7n +3=8×1 +5 +7×5 +3=8+5+35+3=51.$
解析
【分析】
解题前先明确进位制的核心规则：①k进制转十进制：从右往左，第i位（从0开始计数）的数字乘$k^i$，所有结果相加就是对应的十进制数；②十进制转k进制：可分解为k的幂次和的形式，对应得到每一位的数字；③k进制的四则运算遵循“满k进1”的规则；④k进制中每一位的数字都小于k，且首位数字不为0。
(1)①直接套用三进制转十进制的公式计算即可；(1)②先将二进制转十进制，再将十进制转八进制；(2)①用三进制加法规则“满3进1”逐位计算，或先转十进制相加再转回三进制；(2)②用五进制乘法规则，每一位乘2后“满5进1”计算；(3)先把两个加数都转成十进制，得到关于m、n的方程，结合m、n的取值范围（四进制首位$1≤m＜4$，六进制首位$1≤n＜6$，均为正整数）枚举求出m、n，再代入所求式子转十进制计算即可。
【解析】
(1)① 三进制转十进制：
$\begin{aligned}(12021)_3 &= 1×3^4 + 2×3^3 + 0×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0\\&=81 + 54 + 0 + 6 + 1\\&=142\end{aligned}$
② 先转十进制：
$\begin{aligned}(1010111)_2 &= 1×2^6 + 0×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=64+16+4+2+1\\&=87\end{aligned}$
再转八进制：$87=1×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0$，即对应八进制数为$(127)_8$。
(2)① 三进制加法，从右往左逐位相加，满3进1：
个位$1+2=3$，记0进1；十位$1+1+1=3$，记0进1；百位$0+1+1=2$，记2无进位；千位$1+0=1$，记1无进位；万位$2+1=3$，记0进1；最高位加进位得1，最终结果为$(101200)_3$。
② 五进制乘2，从右往左逐位计算，满5进1：
个位$3×2=6$，记1进1；十位$0×2+1=1$，记1无进位；百位$1×2=2$，记2无进位；千位$4×2=8$，记3进1；万位$2×2+1=5$，记0进1；最高位加进位得1，最终结果为$(103211)_5$。
(3) 先将两个加数转十进制：
$(mm3)_4 = 16m +4m +3=20m+3$，$(nn1)_6=36n+6n+1=42n+1$
由题意得$20m+3+42n+1=234$，化简得$10m+21n=115$。
结合$1≤m＜4$、$1≤n＜6$且均为正整数，枚举得仅当$n=5$时，$m=1$符合要求。
代入所求式子：
$(15)_8 + (53)_7=(1×8+5)+(5×7+3)=13+38=51$。
【答案】
(1) ① $\boxed{142}$；② $\boxed{(127)_8}$
(2) ① $\boxed{(101200)_3}$；② $\boxed{(103211)_5}$
(3) $\boxed{51}$
【知识点】
进位制互化，进位制运算，不定方程整数解
【点评】
本题以进位制新定义为载体，既考查对新规则的阅读理解与应用能力，也融合了整数运算、方程求解的知识，解题时需注意不同进制下数位数字的取值限制，细心计算即可得解。
【难度系数】
0.6
解题前先明确进位制的核心规则：①k进制转十进制：从右往左，第i位（从0开始计数）的数字乘$k^i$，所有结果相加就是对应的十进制数；②十进制转k进制：可分解为k的幂次和的形式，对应得到每一位的数字；③k进制的四则运算遵循“满k进1”的规则；④k进制中每一位的数字都小于k，且首位数字不为0。
(1)①直接套用三进制转十进制的公式计算即可；(1)②先将二进制转十进制，再将十进制转八进制；(2)①用三进制加法规则“满3进1”逐位计算，或先转十进制相加再转回三进制；(2)②用五进制乘法规则，每一位乘2后“满5进1”计算；(3)先把两个加数都转成十进制，得到关于m、n的方程，结合m、n的取值范围（四进制首位$1≤m＜4$，六进制首位$1≤n＜6$，均为正整数）枚举求出m、n，再代入所求式子转十进制计算即可。
【解析】
(1)① 三进制转十进制：
$\begin{aligned}(12021)_3 &= 1×3^4 + 2×3^3 + 0×3^2 + 2×3^1 + 1×3^0\\&=81 + 54 + 0 + 6 + 1\\&=142\end{aligned}$
② 先转十进制：
$\begin{aligned}(1010111)_2 &= 1×2^6 + 0×2^5 + 1×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=64+16+4+2+1\\&=87\end{aligned}$
再转八进制：$87=1×8^2 + 2×8^1 + 7×8^0$，即对应八进制数为$(127)_8$。
(2)① 三进制加法，从右往左逐位相加，满3进1：
个位$1+2=3$，记0进1；十位$1+1+1=3$，记0进1；百位$0+1+1=2$，记2无进位；千位$1+0=1$，记1无进位；万位$2+1=3$，记0进1；最高位加进位得1，最终结果为$(101200)_3$。
② 五进制乘2，从右往左逐位计算，满5进1：
个位$3×2=6$，记1进1；十位$0×2+1=1$，记1无进位；百位$1×2=2$，记2无进位；千位$4×2=8$，记3进1；万位$2×2+1=5$，记0进1；最高位加进位得1，最终结果为$(103211)_5$。
(3) 先将两个加数转十进制：
$(mm3)_4 = 16m +4m +3=20m+3$，$(nn1)_6=36n+6n+1=42n+1$
由题意得$20m+3+42n+1=234$，化简得$10m+21n=115$。
结合$1≤m＜4$、$1≤n＜6$且均为正整数，枚举得仅当$n=5$时，$m=1$符合要求。
代入所求式子：
$(15)_8 + (53)_7=(1×8+5)+(5×7+3)=13+38=51$。
【答案】
(1) ① $\boxed{142}$；② $\boxed{(127)_8}$
(2) ① $\boxed{(101200)_3}$；② $\boxed{(103211)_5}$
(3) $\boxed{51}$
【知识点】
进位制互化，进位制运算，不定方程整数解
【点评】
本题以进位制新定义为载体，既考查对新规则的阅读理解与应用能力，也融合了整数运算、方程求解的知识，解题时需注意不同进制下数位数字的取值限制，细心计算即可得解。
【难度系数】
0.6
