登录
7. 如图,在$□ ABCD$中,$AD=5$,对角线$AC$与$BD$相交于点$O$,$AC+BD=12$,则$△ BOC$的周长为（
A.10
B.11
C.12
D.14
B
）A.10
B.11
C.12
D.14
答案
7.B
解析
【分析】
要求△BOC的周长，需先明确其三边分别为BO、OC、BC。首先利用平行四边形的性质：平行四边形对边相等，可得到BC与已知边AD的等量关系；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，可将BO+OC转化为对角线和的一半，结合已知的AC+BD的长度，即可求出△BOC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5，且对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
已知$AC+BD=12$，则：
$BO+OC=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×12=6$
∴$△ BOC$的周长$=BO+OC+BC=6+5=11$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，将所求三角形的边长与已知条件建立关联，计算过程简单，是平行四边形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要求△BOC的周长，需先明确其三边分别为BO、OC、BC。首先利用平行四边形的性质：平行四边形对边相等，可得到BC与已知边AD的等量关系；再利用平行四边形对角线互相平分的性质，可将BO+OC转化为对角线和的一半，结合已知的AC+BD的长度，即可求出△BOC的周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5，且对角线互相平分，即$OC=\frac{1}{2}AC$，$BO=\frac{1}{2}BD$
已知$AC+BD=12$，则：
$BO+OC=\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}×12=6$
∴$△ BOC$的周长$=BO+OC+BC=6+5=11$
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形周长计算
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，解题核心是熟练运用平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，将所求三角形的边长与已知条件建立关联，计算过程简单，是平行四边形章节的典型基础题。
【难度系数】
0.8
8. 如图，平行四边形纸片ABCD和EFGH上下叠放，AD//EH且AD=EH，CE交GH于点O，已知$S_{□ ABCD}=m$，$S_{□ EFGH}=n(m ＜ n)$，则$S_{阴影}$等于（
A.$n - m$
B.$\frac{1}{2}(n - m)$
C.$\frac{1}{2}m$
D.$\frac{1}{2}n$
D
）A.$n - m$
B.$\frac{1}{2}(n - m)$
C.$\frac{1}{2}m$
D.$\frac{1}{2}n$
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，由已知AD//EH且AD=EH，可推出EH与BC平行且相等。我们可以用特殊值法简化思考：假设两个平行四边形上下对齐使AD与EH完全重合，此时阴影部分为平行四边形EFGH被对角线分成的其中一个三角形，面积为EFGH的一半，和ABCD的面积m无关，即可快速锁定答案；也可通过证明三角形全等，将阴影面积转化为平行四边形EFGH面积的一半。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又
∵AD//EH，AD=EH，
∴EH//BC，EH=BC。
取特殊情况：令AD与EH完全重合，此时点C与点G重合，CE即为平行四边形EFGH的对角线EG，
根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{□EFGH}=\frac{1}{2}n$，该结果与$S_{□ABCD}=m$无关，排除含m的选项。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，特殊值法应用
【点评】
本题灵活考察平行四边形的性质，解题时可利用特殊值法降低推导难度，注意题干中的m是干扰条件，无需参与运算，掌握面积转化的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平行四边形对边平行且相等的性质，由已知AD//EH且AD=EH，可推出EH与BC平行且相等。我们可以用特殊值法简化思考：假设两个平行四边形上下对齐使AD与EH完全重合，此时阴影部分为平行四边形EFGH被对角线分成的其中一个三角形，面积为EFGH的一半，和ABCD的面积m无关，即可快速锁定答案；也可通过证明三角形全等，将阴影面积转化为平行四边形EFGH面积的一半。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC，
又
∵AD//EH，AD=EH，
∴EH//BC，EH=BC。
取特殊情况：令AD与EH完全重合，此时点C与点G重合，CE即为平行四边形EFGH的对角线EG，
根据平行四边形的性质，对角线将平行四边形分成面积相等的两个三角形，
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}S_{□EFGH}=\frac{1}{2}n$，该结果与$S_{□ABCD}=m$无关，排除含m的选项。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，特殊值法应用
【点评】
本题灵活考察平行四边形的性质，解题时可利用特殊值法降低推导难度，注意题干中的m是干扰条件，无需参与运算，掌握面积转化的思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
9.一个多边形过顶点剪去一个角后,所得多边形的内角和为$720°$,则原多边形的边数是
6或7
.答案
9.6或7
解析
【分析】
解题时首先根据多边形内角和公式求出剪去一个角后所得多边形的边数；再明确过顶点剪多边形一个角时的边数变化规律：过1个顶点剪时新多边形边数与原多边形相等，过2个顶点剪时新多边形边数比原多边形少1，最后结合新多边形边数反推原多边形的边数即可。
【解析】
设剪去一个角后所得多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
解得：$n=6$
接下来分类讨论过顶点剪角的情况：
1. 若剪角时仅经过1个顶点，此时新多边形边数与原多边形边数相等，原多边形边数为$6$；
2. 若剪角时经过2个顶点（即沿相邻角的对角线剪），此时新多边形边数比原多边形少1，原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为6或7。
【答案】
6或7
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形截角的边数变化
【点评】
本题需要结合多边形内角和公式与截角后边数的变化规律解题，易错点是容易遗漏截角时的两种情况导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据多边形内角和公式求出剪去一个角后所得多边形的边数；再明确过顶点剪多边形一个角时的边数变化规律：过1个顶点剪时新多边形边数与原多边形相等，过2个顶点剪时新多边形边数比原多边形少1，最后结合新多边形边数反推原多边形的边数即可。
【解析】
设剪去一个角后所得多边形的边数为$n$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=720°$
解得：$n=6$
接下来分类讨论过顶点剪角的情况：
1. 若剪角时仅经过1个顶点，此时新多边形边数与原多边形边数相等，原多边形边数为$6$；
2. 若剪角时经过2个顶点（即沿相邻角的对角线剪），此时新多边形边数比原多边形少1，原多边形边数为$6+1=7$。
综上，原多边形的边数为6或7。
【答案】
6或7
【知识点】
1. 多边形内角和公式
2. 多边形截角的边数变化
【点评】
本题需要结合多边形内角和公式与截角后边数的变化规律解题，易错点是容易遗漏截角时的两种情况导致漏解，解题时要养成分类讨论的习惯。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$□ ABCD$中,$BD=CD$,$AE ⊥ BD$于点$E$,若$∠ C=70°$,则$∠ BAE =$
50°
.答案
10.50°
解析
【分析】
求解本题可以按照以下思路逐步推导：首先，由已知BD=CD可知△BDC为等腰三角形，结合∠C的度数可先算出∠BDC的度数；其次，根据平行四边形对边平行的性质，AB与CD平行，可得∠ABD和∠BDC是内错角，二者相等，从而得到∠ABD的度数；最后，AE垂直BD，△ABE是直角三角形，两个锐角互余，用90°减去∠ABD的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
∵BD=CD，∠C=70°，
∴△BDC是等腰三角形，∠DBC=∠C=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BDC=180°-∠ C-∠ DBC=180°-70°-70°=40°$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴$∠ ABD=∠ BDC=40°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵AE⊥BD，
∴$∠ AEB=90°$，
在Rt△ABE中，$∠ BAE+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ ABD=90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，主要考察常见几何图形的性质应用，解题核心是利用平行线的内错角相等实现角度的转移，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
求解本题可以按照以下思路逐步推导：首先，由已知BD=CD可知△BDC为等腰三角形，结合∠C的度数可先算出∠BDC的度数；其次，根据平行四边形对边平行的性质，AB与CD平行，可得∠ABD和∠BDC是内错角，二者相等，从而得到∠ABD的度数；最后，AE垂直BD，△ABE是直角三角形，两个锐角互余，用90°减去∠ABD的度数即可求出∠BAE的大小。
【解析】
解：
∵BD=CD，∠C=70°，
∴△BDC是等腰三角形，∠DBC=∠C=70°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ BDC=180°-∠ C-∠ DBC=180°-70°-70°=40°$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，
∴$∠ ABD=∠ BDC=40°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵AE⊥BD，
∴$∠ AEB=90°$，
在Rt△ABE中，$∠ BAE+∠ ABD=90°$，
∴$∠ BAE=90°-∠ ABD=90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何综合题，主要考察常见几何图形的性质应用，解题核心是利用平行线的内错角相等实现角度的转移，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. 如图，$□ ABCD$中，BD为对角线，分别以点A，B为圆心，以大于$\frac{1}{2}AB$的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN交AD于点E，交AB于点F，若$AD ⊥ BD$，$BD=4$，$BC=8$，则AE的长为
5
.答案
11.5
解析
【分析】
首先根据题中的尺规作图方法，可判断MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AE=BE；再结合平行四边形对边相等的性质，得到AD的长度；已知AD⊥BD，即△BDE是直角三角形，我们可以设AE的长度为x，用含x的式子表示出DE的长度，最后在直角三角形BDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ $AE = BE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC = 8$。
∵ $AD⊥BD$，
∴ $∠EDB = 90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
设$AE = x$，则$BE = x$，$DE = AD - AE = 8 - x$，
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2 + BD^2 = BE^2$，
代入数值：$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开得：$64 - 16x + x^2 + 16 = x^2$，
整理得：$80 - 16x = 0$，
解得：$x = 5$，即$AE$的长为5。
【答案】
5
【知识点】
垂直平分线的性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先识别出尺规作图得到的是AB的垂直平分线，再结合平行四边形性质找到直角三角形的边长关系，利用勾股定理列方程计算即可，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的尺规作图方法，可判断MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得AE=BE；再结合平行四边形对边相等的性质，得到AD的长度；已知AD⊥BD，即△BDE是直角三角形，我们可以设AE的长度为x，用含x的式子表示出DE的长度，最后在直角三角形BDE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由尺规作图的方法可知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴ $AE = BE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD = BC = 8$。
∵ $AD⊥BD$，
∴ $∠EDB = 90°$，即$△ BDE$是直角三角形。
设$AE = x$，则$BE = x$，$DE = AD - AE = 8 - x$，
在$Rt△ BDE$中，由勾股定理得：$DE^2 + BD^2 = BE^2$，
代入数值：$(8 - x)^2 + 4^2 = x^2$，
展开得：$64 - 16x + x^2 + 16 = x^2$，
整理得：$80 - 16x = 0$，
解得：$x = 5$，即$AE$的长为5。
【答案】
5
【知识点】
垂直平分线的性质；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是先识别出尺规作图得到的是AB的垂直平分线，再结合平行四边形性质找到直角三角形的边长关系，利用勾股定理列方程计算即可，侧重对基础知识点的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
12.如图，E是$□ ABCD$的边AB上的点，连接CE，Q是CE的中点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF，与DE相交于点P，若$S_{△ APD}=3\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△ BQC}=7\ \mathrm{cm}^2$，则阴影部分的面积为
17
$\mathrm{cm}^2$。答案
12.17
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行的性质，结合Q是CE中点，证明△BEQ和△FCQ全等，得到BE=CF、BQ=QF，进而推出四边形AEDF、BCFE都是平行四边形；2. 利用三角形中线平分面积的性质，由已知$S_{△ APD}=3$推出△ADE相关小三角形面积，由$S_{△ BQC}=7$推出△BCE相关小三角形面积；3. 根据平行四边形对角线分图形为等面积小三角形的性质，将阴影部分拆分为几个小三角形求和即可。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ EBQ=∠ CFQ$，$∠ BEQ=∠ FCQ$。
∵Q是CE中点，
∴$EQ=CQ$，在△BEQ和△FCQ中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBQ=∠ CFQ\\ ∠ BEQ=∠ FCQ\\ EQ=CQ\end{array} $
∴$△ BEQ≌△ FCQ$（AAS），
∴$BE=CF$，$BQ=QF$。
2. 由$AB=CD$、$BE=CF$得$AE=DF$，又$AE// DF$，
∴四边形AEDF是平行四边形；
由$BE// CF$、$BE=CF$，得四边形BCFE是平行四边形。
3. 平行四边形AEDF中，对角线AF、DE交于点P，
∴P是DE中点，即AP是△ADE的中线，
∴$S_{△ APE}=S_{△ APD}=3\mathrm{cm}^2$，且平行四边形对角线分四个小三角形面积相等，得$S_{△ EPF}=S_{△ APD}=3\mathrm{cm}^2$。
4. Q是CE中点，即BQ是△BCE的中线，
∴$S_{△ BEQ}=S_{△ BQC}=7\mathrm{cm}^2$；平行四边形BCFE中，对角线CE、BF交于Q，对角线分四个小三角形面积相等，得$S_{△ EQF}=S_{△ BQC}=7\mathrm{cm}^2$。
5. 阴影部分面积 = $S_{△ BEQ}+S_{△ EQF}+S_{△ EPF}=7+7+3=17\mathrm{cm}^2$。
【答案】
17
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形与三角形面积的综合应用，解题的关键是通过全等证明得到平行四边形，再结合中线平分三角形面积的性质完成面积转化，对图形的观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
解题思路如下：1. 先利用平行四边形对边平行的性质，结合Q是CE中点，证明△BEQ和△FCQ全等，得到BE=CF、BQ=QF，进而推出四边形AEDF、BCFE都是平行四边形；2. 利用三角形中线平分面积的性质，由已知$S_{△ APD}=3$推出△ADE相关小三角形面积，由$S_{△ BQC}=7$推出△BCE相关小三角形面积；3. 根据平行四边形对角线分图形为等面积小三角形的性质，将阴影部分拆分为几个小三角形求和即可。
【解析】
1.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AB// CD$，$AB=CD$，
∴$∠ EBQ=∠ CFQ$，$∠ BEQ=∠ FCQ$。
∵Q是CE中点，
∴$EQ=CQ$，在△BEQ和△FCQ中：
$\{\begin{array}{l}∠ EBQ=∠ CFQ\\ ∠ BEQ=∠ FCQ\\ EQ=CQ\end{array} $
∴$△ BEQ≌△ FCQ$（AAS），
∴$BE=CF$，$BQ=QF$。
2. 由$AB=CD$、$BE=CF$得$AE=DF$，又$AE// DF$，
∴四边形AEDF是平行四边形；
由$BE// CF$、$BE=CF$，得四边形BCFE是平行四边形。
3. 平行四边形AEDF中，对角线AF、DE交于点P，
∴P是DE中点，即AP是△ADE的中线，
∴$S_{△ APE}=S_{△ APD}=3\mathrm{cm}^2$，且平行四边形对角线分四个小三角形面积相等，得$S_{△ EPF}=S_{△ APD}=3\mathrm{cm}^2$。
4. Q是CE中点，即BQ是△BCE的中线，
∴$S_{△ BEQ}=S_{△ BQC}=7\mathrm{cm}^2$；平行四边形BCFE中，对角线CE、BF交于Q，对角线分四个小三角形面积相等，得$S_{△ EQF}=S_{△ BQC}=7\mathrm{cm}^2$。
5. 阴影部分面积 = $S_{△ BEQ}+S_{△ EQF}+S_{△ EPF}=7+7+3=17\mathrm{cm}^2$。
【答案】
17
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积计算
【点评】
本题主要考查平行四边形与三角形面积的综合应用，解题的关键是通过全等证明得到平行四边形，再结合中线平分三角形面积的性质完成面积转化，对图形的观察和转化能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
善于动脑的谷超豪
谷超豪是我国著名的数学家，复旦大学教授，中国科学院院士.2010年1月11日，谷超豪院士获得2009年度国家最高科学技术奖.
他从小就喜欢动脑筋，喜欢深入思考问题，对困难问题要一探究竟.有一次，数学老师在课堂上出了一道题：一个四边形，每边边长都是1，问面积是不是1.
许多同学都肯定地回答是1，谷超豪却有不一样的看法.他解释说：因为四边形每边都是1，如果把它压扁变成一条线，这样面积就差不多没有了，所以面积不一定都是1，可以是1，也可以比1小很多.
同学们，你觉得他说的对吗？为什么？
【分析】 其实，这个问题我们可以不用四边形的知识解决，因为四边形每一条边上的高都是一条垂线段，根据垂线段最短，另一条边总是大于等于高的，所以除正方形以外，其余情况下乘积都会小于1.
谷超豪是我国著名的数学家，复旦大学教授，中国科学院院士.2010年1月11日，谷超豪院士获得2009年度国家最高科学技术奖.
他从小就喜欢动脑筋，喜欢深入思考问题，对困难问题要一探究竟.有一次，数学老师在课堂上出了一道题：一个四边形，每边边长都是1，问面积是不是1.
许多同学都肯定地回答是1，谷超豪却有不一样的看法.他解释说：因为四边形每边都是1，如果把它压扁变成一条线，这样面积就差不多没有了，所以面积不一定都是1，可以是1，也可以比1小很多.
同学们，你觉得他说的对吗？为什么？
【分析】 其实，这个问题我们可以不用四边形的知识解决，因为四边形每一条边上的高都是一条垂线段，根据垂线段最短，另一条边总是大于等于高的，所以除正方形以外，其余情况下乘积都会小于1.
答案
解：谷超豪的说法是正确的。
理由：四边形具有不稳定性，仅当所有边长都为1的四边形是正方形时，它的面积为1。
若该四边形是边长为1的菱形，它的面积计算公式为底×底边上的高，底边长为1，根据“垂线段最短”的性质，菱形的侧边是斜线段，必然大于等于对应底边上的高，即高≤1，仅当菱形为正方形时高等于1，其余所有情况高都小于1，因此对应面积小于1。
当这个四边形被压扁到四个顶点几乎共线时，它的面积趋近于0，远小于1。
因此边长全为1的四边形的面积满足0＜S≤1，面积不一定是1，也可以比1小很多，谷超豪的说法正确。
理由：四边形具有不稳定性，仅当所有边长都为1的四边形是正方形时，它的面积为1。
若该四边形是边长为1的菱形，它的面积计算公式为底×底边上的高，底边长为1，根据“垂线段最短”的性质，菱形的侧边是斜线段，必然大于等于对应底边上的高，即高≤1，仅当菱形为正方形时高等于1，其余所有情况高都小于1，因此对应面积小于1。
当这个四边形被压扁到四个顶点几乎共线时，它的面积趋近于0，远小于1。
因此边长全为1的四边形的面积满足0＜S≤1，面积不一定是1，也可以比1小很多，谷超豪的说法正确。
解析
【分析】
解题时可按以下思路思考：首先，思考四边长度固定的四边形形状是否唯一，结合四边形的性质可知四边形具有不稳定性，边长固定也可发生形变；其次，分别计算不同形状下四边为1的四边形的面积：当它是正方形时，面积为1；当它变形为其他四边形时，以菱形为例用“底×高”计算面积，结合“垂线段最短”的性质可判断底边上的高≤边长1，仅正方形时高等于1，其余情况高都小于1，因此面积小于1，压扁时高趋近于0，面积也趋近于0；最后即可判断谷超豪的说法是否正确。
【解析】
谷超豪的说法是正确的，理由如下：
1. 四边形具有不稳定性，因此四条边长都为1的四边形形状不是唯一的，可以发生形变。
2. 当该四边形是边长为1的正方形时，面积=边长×边长=1×1=1。
3. 若该四边形是边长为1的菱形，面积计算公式为：面积=底×底边上的高。已知底边长为1，根据“垂线段最短”的性质，底边上的高是垂线段，长度小于等于作为斜线段的侧边长度1，即高≤1；仅当菱形为正方形时高等于1，其余所有情况高都小于1，因此此时面积=1×高＜1。
4. 当这个四边形被压扁到四个顶点几乎共线时，底边上的高趋近于0，对应的面积也趋近于0，远小于1。
综上，边长全为1的四边形的面积满足0＜S≤1，因此面积不一定是1，也可以比1小很多，谷超豪的说法正确。
【答案】
谷超豪的说法正确，边长全为1的四边形面积范围为0＜S≤1，面积不一定是1，也可以比1小很多。
【知识点】
四边形的不稳定性；垂线段最短；四边形面积计算
【点评】
本题结合数学家的趣味探究经历出题，既考查了四边形的基础性质，又能引导学生打破思维定势，养成主动思考、深入探究问题的好习惯。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路思考：首先，思考四边长度固定的四边形形状是否唯一，结合四边形的性质可知四边形具有不稳定性，边长固定也可发生形变；其次，分别计算不同形状下四边为1的四边形的面积：当它是正方形时，面积为1；当它变形为其他四边形时，以菱形为例用“底×高”计算面积，结合“垂线段最短”的性质可判断底边上的高≤边长1，仅正方形时高等于1，其余情况高都小于1，因此面积小于1，压扁时高趋近于0，面积也趋近于0；最后即可判断谷超豪的说法是否正确。
【解析】
谷超豪的说法是正确的，理由如下：
1. 四边形具有不稳定性，因此四条边长都为1的四边形形状不是唯一的，可以发生形变。
2. 当该四边形是边长为1的正方形时，面积=边长×边长=1×1=1。
3. 若该四边形是边长为1的菱形，面积计算公式为：面积=底×底边上的高。已知底边长为1，根据“垂线段最短”的性质，底边上的高是垂线段，长度小于等于作为斜线段的侧边长度1，即高≤1；仅当菱形为正方形时高等于1，其余所有情况高都小于1，因此此时面积=1×高＜1。
4. 当这个四边形被压扁到四个顶点几乎共线时，底边上的高趋近于0，对应的面积也趋近于0，远小于1。
综上，边长全为1的四边形的面积满足0＜S≤1，因此面积不一定是1，也可以比1小很多，谷超豪的说法正确。
【答案】
谷超豪的说法正确，边长全为1的四边形面积范围为0＜S≤1，面积不一定是1，也可以比1小很多。
【知识点】
四边形的不稳定性；垂线段最短；四边形面积计算
【点评】
本题结合数学家的趣味探究经历出题，既考查了四边形的基础性质，又能引导学生打破思维定势，养成主动思考、深入探究问题的好习惯。
【难度系数】
0.7
