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7 投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a、b。那么方程$x^2 + ax - b = 0$有解的概率是
1
。答案
1
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确投掷两次骰子的总等可能结果数，再结合一元二次方程根的判别式判断方程有解的条件，最后计算概率。首先回忆一元二次方程根的判别式：对于方程$x^2+ax+c=0$，判别式$\Delta=a^2-4c$，当$\Delta≥0$时方程有解。本题中方程为$x^2+ax-b=0$，因此需计算判别式$\Delta=a^2+4b$，结合骰子点数的范围分析是否所有情况都满足方程有解，进而求出概率。
【解析】
1. 计算总情况数：投掷两次质地均匀的骰子，每次有6种等可能结果，总情况数为$6×6=36$种。
2. 判断方程有解的条件：对于方程$x^2+ax-b=0$，其判别式$\Delta=a^2 - 4×1×(-b)=a^2+4b$。由于骰子点数$a,b$均为1到6的正整数，因此$a^2≥1$，$4b≥4$，故$\Delta=a^2+4b≥1+4=5＞0$，即所有可能的$(a,b)$组合都满足方程有解。
3. 计算概率：满足方程有解的情况数为36种，因此概率为$\frac{36}{36}=1$。
【答案】1
【知识点】概率计算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合概率与一元二次方程根的判别式，核心是利用判别式分析所有骰子点数组合均满足方程有解，从而快速得出概率，需掌握判别式的计算和概率的基本求解方法，难度适中。
【难度系数】0.3
要解决这个问题，需先明确投掷两次骰子的总等可能结果数，再结合一元二次方程根的判别式判断方程有解的条件，最后计算概率。首先回忆一元二次方程根的判别式：对于方程$x^2+ax+c=0$，判别式$\Delta=a^2-4c$，当$\Delta≥0$时方程有解。本题中方程为$x^2+ax-b=0$，因此需计算判别式$\Delta=a^2+4b$，结合骰子点数的范围分析是否所有情况都满足方程有解，进而求出概率。
【解析】
1. 计算总情况数：投掷两次质地均匀的骰子，每次有6种等可能结果，总情况数为$6×6=36$种。
2. 判断方程有解的条件：对于方程$x^2+ax-b=0$，其判别式$\Delta=a^2 - 4×1×(-b)=a^2+4b$。由于骰子点数$a,b$均为1到6的正整数，因此$a^2≥1$，$4b≥4$，故$\Delta=a^2+4b≥1+4=5＞0$，即所有可能的$(a,b)$组合都满足方程有解。
3. 计算概率：满足方程有解的情况数为36种，因此概率为$\frac{36}{36}=1$。
【答案】1
【知识点】概率计算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合概率与一元二次方程根的判别式，核心是利用判别式分析所有骰子点数组合均满足方程有解，从而快速得出概率，需掌握判别式的计算和概率的基本求解方法，难度适中。
【难度系数】0.3
8 在如图所示的电路图中，随机闭合开关$S_1$、$S_2$、$S_3$中的两个，能让灯泡$L_1$发光的概率是
$\dfrac{1}{3}$
。答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决该概率问题，需先明确随机闭合两个开关的所有等可能情况，再结合电路图的电流路径判断灯泡$L_1$发光的情况，最后根据概率公式计算结果。
【解析】
步骤1：列举随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_3$中两个开关的所有等可能组合，共3种：
① 闭合$S_1$和$S_2$；② 闭合$S_1$和$S_3$；③ 闭合$S_2$和$S_3$。
步骤2：分析每种组合下$L_1$是否发光：
闭合$S_1$和$S_2$时，电流路径为：电源→$S_1$→$S_2$→$L_1$→电源，$L_1$有电流通过，发光；
闭合$S_1$和$S_3$时，电流路径为：电源→$S_1$→$S_3$→$L_2$→电源，仅$L_2$发光，$L_1$不发光；
闭合$S_2$和$S_3$时，$S_1$断开，电路无电流，$L_1$不发光。
步骤3：计算概率：符合$L_1$发光的情况有1种，总情况数为3种，故概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路分析
【点评】
本题结合电路知识与概率计算，解题关键是准确列举所有开关组合并判断电流路径，属于基础跨学科题型，需注意等可能情况的完整性。
【难度系数】
0.5
要解决该概率问题，需先明确随机闭合两个开关的所有等可能情况，再结合电路图的电流路径判断灯泡$L_1$发光的情况，最后根据概率公式计算结果。
【解析】
步骤1：列举随机闭合$S_1$、$S_2$、$S_3$中两个开关的所有等可能组合，共3种：
① 闭合$S_1$和$S_2$；② 闭合$S_1$和$S_3$；③ 闭合$S_2$和$S_3$。
步骤2：分析每种组合下$L_1$是否发光：
闭合$S_1$和$S_2$时，电流路径为：电源→$S_1$→$S_2$→$L_1$→电源，$L_1$有电流通过，发光；
闭合$S_1$和$S_3$时，电流路径为：电源→$S_1$→$S_3$→$L_2$→电源，仅$L_2$发光，$L_1$不发光；
闭合$S_2$和$S_3$时，$S_1$断开，电路无电流，$L_1$不发光。
步骤3：计算概率：符合$L_1$发光的情况有1种，总情况数为3种，故概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率计算、电路分析
【点评】
本题结合电路知识与概率计算，解题关键是准确列举所有开关组合并判断电流路径，属于基础跨学科题型，需注意等可能情况的完整性。
【难度系数】
0.5
9 ①任意买一张电影票，所买到票的座位号恰好是偶数；②任意三角形的内角和为$180°$；③抛出的篮球会下落；④掷1枚硬币，有国徽的一面朝上。在这些事件中属于随机事件的有
①④
；属于必然事件的有②③
。（只填序号）答案
随机事件：①④；必然事件：②③
解析
【分析】
首先明确必然事件和随机事件的定义：必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来逐个分析题目中的四个事件：①买电影票时，座位号可能是奇数也可能是偶数，属于可能发生也可能不发生的情况；②根据三角形内角和定理，任意三角形内角和一定为180°，必然发生；③抛出的篮球受重力作用一定会下落，必然发生；④掷硬币时，有国徽的一面可能朝上也可能朝下，属于可能发生也可能不发生的情况，据此区分两类事件。
【解析】
根据事件分类定义逐一判断：
1. 事件①：买电影票的座位号可能是偶数，也可能是奇数，属于随机事件；
2. 事件②：任意三角形内角和为180°是数学定理，一定发生，属于必然事件；
3. 事件③：抛出的篮球受重力作用必然下落，属于必然事件；
4. 事件④：掷硬币时国徽面可能朝上也可能朝下，属于随机事件。
因此随机事件为①④，必然事件为②③。
【答案】
随机事件：①④；必然事件：②③
【知识点】
随机事件、必然事件
【点评】
本题考查随机事件与必然事件的基础概念，属于概率初步的入门题型，准确理解两类事件的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
首先明确必然事件和随机事件的定义：必然事件是指在一定条件下必然会发生的事件；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。接下来逐个分析题目中的四个事件：①买电影票时，座位号可能是奇数也可能是偶数，属于可能发生也可能不发生的情况；②根据三角形内角和定理，任意三角形内角和一定为180°，必然发生；③抛出的篮球受重力作用一定会下落，必然发生；④掷硬币时，有国徽的一面可能朝上也可能朝下，属于可能发生也可能不发生的情况，据此区分两类事件。
【解析】
根据事件分类定义逐一判断：
1. 事件①：买电影票的座位号可能是偶数，也可能是奇数，属于随机事件；
2. 事件②：任意三角形内角和为180°是数学定理，一定发生，属于必然事件；
3. 事件③：抛出的篮球受重力作用必然下落，属于必然事件；
4. 事件④：掷硬币时国徽面可能朝上也可能朝下，属于随机事件。
因此随机事件为①④，必然事件为②③。
【答案】
随机事件：①④；必然事件：②③
【知识点】
随机事件、必然事件
【点评】
本题考查随机事件与必然事件的基础概念，属于概率初步的入门题型，准确理解两类事件的定义即可正确解答。
【难度系数】
0.7
10 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的2个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回，则第一个人摸到红球且第二个人摸到白球的概率是
$\dfrac{1}{3}$
。答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】要解决这个概率问题，需先确定不放回摸球的所有等可能结果数，再找出“第一个人摸到红球且第二个人摸到白球”的符合条件的结果数，最后利用概率公式计算。由于摸球是不放回的，可通过分步计数原理或列举法清晰统计结果，避免遗漏或重复。
【解析】解：将2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，两人不放回依次摸球，总共有等可能的结果：第一次摸球有4种情况，第二次摸球有3种情况，因此总结果数为$4×3=12$种。
其中“第一个人摸到红球且第二个人摸到白球”的情况：第一次摸红球有2种选择，第二次摸白球有2种选择，符合条件的结果数为$2×2=4$种。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】简单事件的概率计算、不放回抽样的概率
【点评】本题考查基础概率的计算，通过分步计数原理统计结果即可快速求解，关键是明确不放回摸球的结果变化，属于常规题型，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】解：将2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，两人不放回依次摸球，总共有等可能的结果：第一次摸球有4种情况，第二次摸球有3种情况，因此总结果数为$4×3=12$种。
其中“第一个人摸到红球且第二个人摸到白球”的情况：第一次摸红球有2种选择，第二次摸白球有2种选择，符合条件的结果数为$2×2=4$种。
根据概率公式，所求概率为符合条件的结果数除以总结果数，即$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】简单事件的概率计算、不放回抽样的概率
【点评】本题考查基础概率的计算，通过分步计数原理统计结果即可快速求解，关键是明确不放回摸球的结果变化，属于常规题型，难度不大。
【难度系数】0.6
11 某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为
$\dfrac{1}{3}$
。答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用“频率稳定时可估计概率”的性质，先求出草鱼的数量，再计算鱼塘中鱼的总数量，最后根据概率公式求出捞到鲤鱼的概率。具体步骤：1. 由草鱼的频率稳定在0.5，估计草鱼的概率为0.5；2. 设草鱼数量为$x$，结合总鱼数列方程求解$x$；3. 计算总鱼数后，用鲤鱼数量除以总鱼数得到鲤鱼的概率。
【解析】
设鱼塘中草鱼的数量为$x$条。
因为捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，根据频率估计概率，可知草鱼的概率约为0.5。
鱼塘中鱼的总数量为$1600 + x + 800 = 2400 + x$条。
根据概率公式：$P(\mathrm{草鱼}) = \frac{\mathrm{草鱼数量}}{\mathrm{总鱼数}}$，代入得：
$\frac{x}{2400 + x} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5(2400 + x)$
$x = 1200 + 0.5x$
$0.5x = 1200$
$x = 2400$
则鱼塘中鱼的总数量为$2400 + 2400 = 4800$条。
捞到鲤鱼的概率为：$P(\mathrm{鲤鱼}) = \frac{1600}{4800} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
用频率估计概率、概率公式
【点评】
本题结合频率与概率的关系考查概率计算，属于基础应用题，关键是利用频率估计草鱼数量，再结合总鱼数计算目标概率，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需利用“频率稳定时可估计概率”的性质，先求出草鱼的数量，再计算鱼塘中鱼的总数量，最后根据概率公式求出捞到鲤鱼的概率。具体步骤：1. 由草鱼的频率稳定在0.5，估计草鱼的概率为0.5；2. 设草鱼数量为$x$，结合总鱼数列方程求解$x$；3. 计算总鱼数后，用鲤鱼数量除以总鱼数得到鲤鱼的概率。
【解析】
设鱼塘中草鱼的数量为$x$条。
因为捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，根据频率估计概率，可知草鱼的概率约为0.5。
鱼塘中鱼的总数量为$1600 + x + 800 = 2400 + x$条。
根据概率公式：$P(\mathrm{草鱼}) = \frac{\mathrm{草鱼数量}}{\mathrm{总鱼数}}$，代入得：
$\frac{x}{2400 + x} = 0.5$
解方程：
$x = 0.5(2400 + x)$
$x = 1200 + 0.5x$
$0.5x = 1200$
$x = 2400$
则鱼塘中鱼的总数量为$2400 + 2400 = 4800$条。
捞到鲤鱼的概率为：$P(\mathrm{鲤鱼}) = \frac{1600}{4800} = \frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
用频率估计概率、概率公式
【点评】
本题结合频率与概率的关系考查概率计算，属于基础应用题，关键是利用频率估计草鱼数量，再结合总鱼数计算目标概率，难度适中。
【难度系数】
0.6
12 在一个不透明的口袋中，有3个完全相同的小球，它们的标号分别是2、3、4，从袋中随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸取一个小球，则两次摸取的小球标号之和为5的概率是
$\dfrac{2}{9}$
。答案
$\dfrac{2}{9}$
解析
【分析】
本题是放回式摸球的概率问题，解题思路为：先通过列举法确定所有等可能的摸球结果，再从中找出两次摸取的小球标号之和为5的结果，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算所求概率。
【解析】
解：因为是放回式摸球，第一次摸球有3种等可能的结果，第二次摸球同样有3种等可能的结果，所以所有等可能的结果共有 $3 × 3 = 9$ 种，分别为：(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。
其中两次摸取的小球标号之和为5的结果有：(2,3)、(3,2)，共2种。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
概率的计算；列举法求概率
【点评】
本题考查基础概率的计算，通过列举所有等可能结果即可快速求解，属于概率部分的常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题是放回式摸球的概率问题，解题思路为：先通过列举法确定所有等可能的摸球结果，再从中找出两次摸取的小球标号之和为5的结果，最后根据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算所求概率。
【解析】
解：因为是放回式摸球，第一次摸球有3种等可能的结果，第二次摸球同样有3种等可能的结果，所以所有等可能的结果共有 $3 × 3 = 9$ 种，分别为：(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。
其中两次摸取的小球标号之和为5的结果有：(2,3)、(3,2)，共2种。
根据概率公式，所求概率为 $\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
概率的计算；列举法求概率
【点评】
本题考查基础概率的计算，通过列举所有等可能结果即可快速求解，属于概率部分的常规基础题，难度较低。
【难度系数】
0.7
13 分别写有数字$\frac{1}{3}$、$\sqrt{2}$、$-1$、$π$的四张大小和质地均相同的卡片，从中任意抽取一张后不放回再抽取一张，两次抽到的卡片都是无理数的概率是
$\dfrac{1}{6}$
。答案
$\dfrac{1}{6}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：1. 先判断四张卡片中哪些是无理数，确定无理数的数量；2. 计算不放回抽取两次的所有可能情况数；3. 计算两次抽到无理数的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
1. 识别无理数：无理数是无限不循环小数，题目中$\frac{1}{3}$、$-1$是有理数，$\sqrt{2}$、$π$是无理数，共2个无理数。
2. 计算总情况数：不放回抽取两张卡片，第一次抽取有4种可能，第二次抽取剩余3种，总情况数为$4×3=12$种。
3. 计算两次都是无理数的情况数：第一次抽无理数有2种选择，第二次抽剩余的1个无理数，情况数为$2×1=2$种。
4. 计算概率：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算、无理数的识别
【点评】
本题考查概率的基本计算，关键是准确判断无理数，明确不放回抽样的情况数计算，属于基础概率应用题，需注意区分放回与不放回抽样的差异。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需分三步思考：1. 先判断四张卡片中哪些是无理数，确定无理数的数量；2. 计算不放回抽取两次的所有可能情况数；3. 计算两次抽到无理数的情况数，最后用符合条件的情况数除以总情况数得到概率。
【解析】
1. 识别无理数：无理数是无限不循环小数，题目中$\frac{1}{3}$、$-1$是有理数，$\sqrt{2}$、$π$是无理数，共2个无理数。
2. 计算总情况数：不放回抽取两张卡片，第一次抽取有4种可能，第二次抽取剩余3种，总情况数为$4×3=12$种。
3. 计算两次都是无理数的情况数：第一次抽无理数有2种选择，第二次抽剩余的1个无理数，情况数为$2×1=2$种。
4. 计算概率：$P=\frac{符合条件的情况数}{总情况数}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
概率的计算、无理数的识别
【点评】
本题考查概率的基本计算，关键是准确判断无理数，明确不放回抽样的情况数计算，属于基础概率应用题，需注意区分放回与不放回抽样的差异。
【难度系数】
0.5
14 在一个不透明的口袋中装有四个标号分别为1、2、3、4的小球，它们除标号外其余全部相同，从中随机地摸出一个小球，放回后再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号之和为偶数的概率为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】首先，这是一道放回式的概率计算题，需明确：放回摸球时，两次摸球的所有可能结果数为4×4=16种，且每种结果等可能。两个数的和为偶数的条件是两数同奇或同偶，因此可通过计算同奇、同偶的情况数，结合古典概型公式求概率。
【解析】解：
∵口袋中有标号1、2、3、4的小球，共4个，放回摸球时，第一次摸球有4种结果，第二次摸球也有4种结果，
∴两次摸球的所有等可能结果总数为4×4=16种。
其中，奇数标号的小球有1、3，共2个；偶数标号的小球有2、4，共2个。
两次摸出的小球标号之和为偶数的情况为：两次都摸奇数，或两次都摸偶数。
两次都摸奇数的结果数：2×2=4种；两次都摸偶数的结果数：2×2=4种；
∴标号之和为偶数的结果总数为4+4=8种。
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】古典概型、放回抽样、奇偶性应用
【点评】本题属于基础概率题，利用放回试验的特点，结合奇偶性简化了概率计算，避免了列举所有结果，有助于理解古典概型的实际应用。
【难度系数】0.7
【解析】解：
∵口袋中有标号1、2、3、4的小球，共4个，放回摸球时，第一次摸球有4种结果，第二次摸球也有4种结果，
∴两次摸球的所有等可能结果总数为4×4=16种。
其中，奇数标号的小球有1、3，共2个；偶数标号的小球有2、4，共2个。
两次摸出的小球标号之和为偶数的情况为：两次都摸奇数，或两次都摸偶数。
两次都摸奇数的结果数：2×2=4种；两次都摸偶数的结果数：2×2=4种；
∴标号之和为偶数的结果总数为4+4=8种。
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】古典概型、放回抽样、奇偶性应用
【点评】本题属于基础概率题，利用放回试验的特点，结合奇偶性简化了概率计算，避免了列举所有结果，有助于理解古典概型的实际应用。
【难度系数】0.7
15 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1、2、3的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1个小球，记下数字，前后两次的数字分别记为x、y，并以此确定点$P(x,y)$，那么点P在函数$y=\frac{2}{x}$图像上的概率为
$\dfrac{2}{9}$
。答案
$\dfrac{2}{9}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，确定所有可能的点$P(x,y)$的总数，因为是放回抽取，第一次和第二次取球都有3种可能，总共有$3×3=9$种等可能的结果；第二步，找出满足函数$y=\frac{2}{x}$（即$xy=2$）的点，在数字1、2、3中找到乘积为2的数对，确定符合条件的点的数量；最后用符合条件的点的数量除以总点的数量，即可得到概率。
【解析】
1. 计算所有等可能的结果数：由于是有放回地抽取小球，第一次抽取有3种结果，第二次抽取也有3种结果，因此点$P(x,y)$的所有可能情况共有$3×3=9$种。
2. 找出满足函数$y=\frac{2}{x}$的点：函数$y=\frac{2}{x}$变形为$xy=2$，在数字1、2、3中，满足$xy=2$的数对为$(1,2)$和$(2,1)$，共2种情况。
3. 计算概率：概率=符合条件的情况数÷总情况数，即$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
概率计算、反比例函数图像上的点
【点评】
本题是概率与反比例函数结合的基础题，关键在于明确放回抽样的总情况数，避免误算为不放回的6种情况，同时准确找出满足反比例函数的点，难度较低，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步思考：第一步，确定所有可能的点$P(x,y)$的总数，因为是放回抽取，第一次和第二次取球都有3种可能，总共有$3×3=9$种等可能的结果；第二步，找出满足函数$y=\frac{2}{x}$（即$xy=2$）的点，在数字1、2、3中找到乘积为2的数对，确定符合条件的点的数量；最后用符合条件的点的数量除以总点的数量，即可得到概率。
【解析】
1. 计算所有等可能的结果数：由于是有放回地抽取小球，第一次抽取有3种结果，第二次抽取也有3种结果，因此点$P(x,y)$的所有可能情况共有$3×3=9$种。
2. 找出满足函数$y=\frac{2}{x}$的点：函数$y=\frac{2}{x}$变形为$xy=2$，在数字1、2、3中，满足$xy=2$的数对为$(1,2)$和$(2,1)$，共2种情况。
3. 计算概率：概率=符合条件的情况数÷总情况数，即$P=\frac{2}{9}$。
【答案】
$\dfrac{2}{9}$
【知识点】
概率计算、反比例函数图像上的点
【点评】
本题是概率与反比例函数结合的基础题，关键在于明确放回抽样的总情况数，避免误算为不放回的6种情况，同时准确找出满足反比例函数的点，难度较低，属于学生易掌握的题型。
【难度系数】
0.6
16 任取不等式组 $\begin{cases}k - 3 ≤ 0, \\ 2k + 7 ＞ 0\end{cases}$ 的一个整数解，则能使关于 $x$ 的方程 $2x + k = -1$ 的解为非负数的概率为 ______ 。
答案
$\dfrac{3}{7}$
解析
【分析】首先解不等式组确定k的取值范围，找出范围内的所有整数解；再解关于x的方程，根据解为非负数的条件筛选出符合要求的k值；最后用符合条件的k的个数除以整数解的总个数，即可得到所求概率。
【解析】解不等式组$\begin{cases}k - 3 ≤ 0 \\2k + 7 ＞ 0\end{cases}$：
解第一个不等式$k - 3 ≤ 0$，得$k ≤ 3$；
解第二个不等式$2k + 7 ＞ 0$，移项得$2k ＞ -7$，两边同除以2得$k ＞ -3.5$；
因此k的取值范围为$-3.5 ＜ k ≤ 3$，其中整数解为：$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$，共7个。
解方程$2x + k = -1$，移项得$2x = -1 - k$，解得$x = \frac{-1 - k}{2}$；
要求方程的解为非负数，即$x ≥ 0$，因此$\frac{-1 - k}{2} ≥ 0$，两边同乘2得$-1 - k ≥ 0$，移项得$-k ≥ 1$，两边同乘-1（不等号方向改变）得$k ≤ -1$；
在上述整数解中，满足$k ≤ -1$的有：$-3, -2, -1$，共3个；
所以所求概率为$\frac{3}{7}$。
【答案】$\dfrac{3}{7}$
【知识点】不等式组的整数解、一元一次方程的解、概率计算
【点评】本题综合考查不等式组、一元一次方程解的性质及概率的计算，解题关键是准确确定k的取值范围并筛选符合条件的整数解，步骤清晰，属于基础综合题。
【难度系数】0.6
【解析】解不等式组$\begin{cases}k - 3 ≤ 0 \\2k + 7 ＞ 0\end{cases}$：
解第一个不等式$k - 3 ≤ 0$，得$k ≤ 3$；
解第二个不等式$2k + 7 ＞ 0$，移项得$2k ＞ -7$，两边同除以2得$k ＞ -3.5$；
因此k的取值范围为$-3.5 ＜ k ≤ 3$，其中整数解为：$-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$，共7个。
解方程$2x + k = -1$，移项得$2x = -1 - k$，解得$x = \frac{-1 - k}{2}$；
要求方程的解为非负数，即$x ≥ 0$，因此$\frac{-1 - k}{2} ≥ 0$，两边同乘2得$-1 - k ≥ 0$，移项得$-k ≥ 1$，两边同乘-1（不等号方向改变）得$k ≤ -1$；
在上述整数解中，满足$k ≤ -1$的有：$-3, -2, -1$，共3个；
所以所求概率为$\frac{3}{7}$。
【答案】$\dfrac{3}{7}$
【知识点】不等式组的整数解、一元一次方程的解、概率计算
【点评】本题综合考查不等式组、一元一次方程解的性质及概率的计算，解题关键是准确确定k的取值范围并筛选符合条件的整数解，步骤清晰，属于基础综合题。
【难度系数】0.6
