1. 综合与实践,问题情境:
活动课上,同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动,如图1,已知△ABC中,AB=AC,∠B=30°.将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转,得到△ADE(点D,E分别是点B,C的对应点),旋转角为α(0°＜α＜100°),设线段AD与BC相交于点M,线段DE分别交BC,AC于点O,N.
特例分析:
(1)如图2,当旋转到AD⊥BC时,求旋转角α的度数为;
探究规律:
(2)如图3,在△ABC绕点A逆时针旋转过程中,"求真"小组的同学发现线段AM始终等于线段AN,请你证明这一结论;
拓展延伸:
(3)①当△DOM是等腰三角形时,求旋转角α的度数;
②在图3中,作直线BD,CE交于点P,直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数.

(1)60°
(2)证明:
∵ ∠BAC = ∠DAE,
∴ ∠BAC - ∠MAN = ∠DAE - ∠MAN,即 ∠BAM = ∠EAN. 在 △BAM 和 △EAN 中,
$\begin{cases}AB=AE,\\∠BAM=∠EAN,\\∠B=∠E,\end{cases}$
∴ △BAM≌△EAN(ASA).
∴ AM=AN.
(3)①如图1,当DM=OM时,∠MOD=∠D=30°,
∵ ∠B=∠D,∠AMB=∠DMO,
∴ ∠BAD=∠MOD=30°.
∴ α=30°;

如图2,当 $DM=DO$ 时, $∠DMO=∠DOM=\frac{180°-∠D}{2}=75°$,
∴ α=∠DOM=75°;如图3,当 OM=OD 时,∠OMD=∠D=30°,
∴ α=∠DOM=120°. 此时 AD 和 AC 重合,这种情形不存在. 综上所述:α=30°或75°.

②如图4,旋转角α为60°.

【分析】
(1) 先根据等腰三角形等边对等角的性质求出△ABC的顶角∠BAC的度数，再结合AD⊥BC时等腰三角形三线合一的性质，即可求出旋转角α的度数。
(2) 要证AM=AN，可通过证明AM、AN所在的三角形全等推导：先利用旋转的性质得到对应边、对应角相等，再推出两个三角形的两组对应角及夹边相等，用ASA判定三角形全等即可得到对应边相等。
(3) ①△DOM是等腰三角形需分三类讨论：DM=OM、DM=DO、OM=OD，结合等腰三角形内角和性质、对顶角相等推导旋转角α，同时根据旋转角0°＜α＜100°的限制舍去不符合条件的情况；②结合旋转性质、等腰三角形角的关系，推导△PDE为直角三角形时满足的角的条件，即可得到对应的旋转角。
【解析】
(1) 在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠BAC=180°-30°×2=120°。
当AD⊥BC时，由等腰三角形三线合一可知AD平分∠BAC，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，即旋转角α=60°。
(2) 证明：由旋转的性质可得△ABC≌△ADE，
∴AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC - ∠MAN = ∠DAE - ∠MAN，即∠BAM=∠EAN。
在△BAM和△EAN中：
$\begin{cases}∠BAM=∠EAN \\AB=AE \\∠B=∠E\end{cases}$
∴△BAM≌△EAN(ASA)，
∴AM=AN。
(3) ①由旋转的性质得∠D=∠B=30°，分三种情况讨论：

情况1：当DM=OM时，∠MOD=∠D=30°，
∵∠AMB=∠DMO（对顶角相等），∠B=∠D=30°，
∴∠BAD=∠MOD=30°，即α=30°，符合0°＜α＜100°；

情况2：当DM=DO时，∠DMO=∠DOM=$\frac{180°-∠D}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$，
同理可得∠BAD=∠DOM=75°，即α=75°，符合0°＜α＜100°；

情况3：当OM=OD时，∠OMD=∠D=30°，
∴∠DOM=180°-30°×2=120°，即α=120°，超出0°＜α＜100°的范围，舍去。
综上，旋转角α的度数为30°或75°。
②＜![CDATA[]]＞当△PDE是直角三角形时，旋转角α为60°。
【答案】
(1) $60°$
(2) 证明见解析，AM=AN成立；
(3) ①$α=30°$或$75°$；
②$α=60°$
【知识点】
等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题以等腰三角形的旋转为背景，综合考查了全等三角形的证明、等腰三角形的分类讨论，解题时需注意旋转角的取值范围，避免忽略限制条件出现多解错误，对几何逻辑推理能力有一定的锻炼价值。
【难度系数】
0.5