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六、把下面的分数按要求分类。
$\frac{4}{10}$ $\frac{16}{40}$ $\frac{7}{21}$ $\frac{4}{12}$ $\frac{8}{20}$ $\frac{10}{30}$ $\frac{5}{15}$ $\frac{10}{25}$
1. 与$\frac{1}{3}$相等的分数有：。
2. 与$\frac{2}{5}$相等的分数有：。
$\frac{4}{10}$ $\frac{16}{40}$ $\frac{7}{21}$ $\frac{4}{12}$ $\frac{8}{20}$ $\frac{10}{30}$ $\frac{5}{15}$ $\frac{10}{25}$
1. 与$\frac{1}{3}$相等的分数有：。
2. 与$\frac{2}{5}$相等的分数有：。
答案
1. 与$\frac{1}{3}$相等的分数有：$\frac{7}{21}$、$\frac{4}{12}$、$\frac{10}{30}$、$\frac{5}{15}$。
2. 与$\frac{2}{5}$相等的分数有：$\frac{4}{10}$、$\frac{16}{40}$、$\frac{8}{20}$、$\frac{10}{25}$。
2. 与$\frac{2}{5}$相等的分数有：$\frac{4}{10}$、$\frac{16}{40}$、$\frac{8}{20}$、$\frac{10}{25}$。
解析
【分析】
要判断哪些分数和$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{5}$相等，我们可以利用约分的方法：先把题目给出的所有分数约分成最简分数，再和目标分数对比，最简分数相同的即为大小相等的分数。解题时第一步逐一将8个分数约分，第二步按约分结果分类即可。
【解析】
先对每个分数约分：
1. $\frac{4}{10}=\frac{4÷2}{10÷2}=\frac{2}{5}$
2. $\frac{16}{40}=\frac{16÷8}{40÷8}=\frac{2}{5}$
3. $\frac{7}{21}=\frac{7÷7}{21÷7}=\frac{1}{3}$
4. $\frac{4}{12}=\frac{4÷4}{12÷4}=\frac{1}{3}$
5. $\frac{8}{20}=\frac{8÷4}{20÷4}=\frac{2}{5}$
6. $\frac{10}{30}=\frac{10÷10}{30÷10}=\frac{1}{3}$
7. $\frac{5}{15}=\frac{5÷5}{15÷5}=\frac{1}{3}$
8. $\frac{10}{25}=\frac{10÷5}{25÷5}=\frac{2}{5}$
再按约分结果分类：
和$\frac{1}{3}$相等的是约分后为$\frac{1}{3}$的分数，和$\frac{2}{5}$相等的是约分后为$\frac{2}{5}$的分数。
【答案】
1. $\frac{7}{21}$、$\frac{4}{12}$、$\frac{10}{30}$、$\frac{5}{15}$
2. $\frac{4}{10}$、$\frac{16}{40}$、$\frac{8}{20}$、$\frac{10}{25}$
【知识点】
分数的基本性质、约分、最简分数
【点评】
本题考查约分的实际应用，熟练掌握约分方法、找准分子分母的最大公因数，就能快速准确完成分类，计算时要注意避免约分不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
要判断哪些分数和$\frac{1}{3}$、$\frac{2}{5}$相等，我们可以利用约分的方法：先把题目给出的所有分数约分成最简分数，再和目标分数对比，最简分数相同的即为大小相等的分数。解题时第一步逐一将8个分数约分，第二步按约分结果分类即可。
【解析】
先对每个分数约分：
1. $\frac{4}{10}=\frac{4÷2}{10÷2}=\frac{2}{5}$
2. $\frac{16}{40}=\frac{16÷8}{40÷8}=\frac{2}{5}$
3. $\frac{7}{21}=\frac{7÷7}{21÷7}=\frac{1}{3}$
4. $\frac{4}{12}=\frac{4÷4}{12÷4}=\frac{1}{3}$
5. $\frac{8}{20}=\frac{8÷4}{20÷4}=\frac{2}{5}$
6. $\frac{10}{30}=\frac{10÷10}{30÷10}=\frac{1}{3}$
7. $\frac{5}{15}=\frac{5÷5}{15÷5}=\frac{1}{3}$
8. $\frac{10}{25}=\frac{10÷5}{25÷5}=\frac{2}{5}$
再按约分结果分类：
和$\frac{1}{3}$相等的是约分后为$\frac{1}{3}$的分数，和$\frac{2}{5}$相等的是约分后为$\frac{2}{5}$的分数。
【答案】
1. $\frac{7}{21}$、$\frac{4}{12}$、$\frac{10}{30}$、$\frac{5}{15}$
2. $\frac{4}{10}$、$\frac{16}{40}$、$\frac{8}{20}$、$\frac{10}{25}$
【知识点】
分数的基本性质、约分、最简分数
【点评】
本题考查约分的实际应用，熟练掌握约分方法、找准分子分母的最大公因数，就能快速准确完成分类，计算时要注意避免约分不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
七、解决问题。
1. 一批货物共有 600 吨,已经运走了 250 吨。
(1)运走的货物占这批货物的几分之几?
(2)剩下的货物占这批货物的几分之几?
1. 一批货物共有 600 吨,已经运走了 250 吨。
(1)运走的货物占这批货物的几分之几?
(2)剩下的货物占这批货物的几分之几?
答案
(1)
$250÷600=\frac{5}{12}$
(2)
$600-250=350$（吨）
$350÷600=\frac{7}{12}$
答：运走的货物占这批货物的$\frac{5}{12}$，剩下的货物占这批货物的$\frac{7}{12}$。
$250÷600=\frac{5}{12}$
(2)
$600-250=350$（吨）
$350÷600=\frac{7}{12}$
答：运走的货物占这批货物的$\frac{5}{12}$，剩下的货物占这批货物的$\frac{7}{12}$。
解析
【分析】
解决“一个数占另一个数的几分之几”类问题，核心方法是用前者的数量除以后者的数量，最终结果要约分为最简分数。
第(1)问：求运走的货物占总货物的几分之几，直接用运走的货物重量除以这批货物的总重量计算即可。
第(2)问：可以先计算出剩余货物的重量，再用剩余重量除以总货物重量得到占比，也可以将总货物看作单位“1”，用1减去运走货物的占比得到结果，两种方法均可，这里用先算剩余重量的方法更直观易懂。
【解析】
(1) 运走的货物重量÷总货物重量=运走货物的占比：
$250÷600=\frac{250}{600}=\frac{5}{12}$
(2) 先计算剩下的货物重量：
$600-250=350$（吨）
再用剩下的货物重量÷总货物重量=剩余货物的占比：
$350÷600=\frac{350}{600}=\frac{7}{12}$
答：运走的货物占这批货物的$\frac{5}{12}$，剩下的货物占这批货物的$\frac{7}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{12}$；(2) $\frac{7}{12}$
【知识点】
1. 求一个数占另一个数的几分之几
2. 分数约分
3. 整数减法运算
【点评】
本题属于分数基础应用题，解题核心是掌握占比问题的计算逻辑，计算时注意最终分数要化简为最简形式，整体解题步骤简单，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
解决“一个数占另一个数的几分之几”类问题，核心方法是用前者的数量除以后者的数量，最终结果要约分为最简分数。
第(1)问：求运走的货物占总货物的几分之几，直接用运走的货物重量除以这批货物的总重量计算即可。
第(2)问：可以先计算出剩余货物的重量，再用剩余重量除以总货物重量得到占比，也可以将总货物看作单位“1”，用1减去运走货物的占比得到结果，两种方法均可，这里用先算剩余重量的方法更直观易懂。
【解析】
(1) 运走的货物重量÷总货物重量=运走货物的占比：
$250÷600=\frac{250}{600}=\frac{5}{12}$
(2) 先计算剩下的货物重量：
$600-250=350$（吨）
再用剩下的货物重量÷总货物重量=剩余货物的占比：
$350÷600=\frac{350}{600}=\frac{7}{12}$
答：运走的货物占这批货物的$\frac{5}{12}$，剩下的货物占这批货物的$\frac{7}{12}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{12}$；(2) $\frac{7}{12}$
【知识点】
1. 求一个数占另一个数的几分之几
2. 分数约分
3. 整数减法运算
【点评】
本题属于分数基础应用题，解题核心是掌握占比问题的计算逻辑，计算时注意最终分数要化简为最简形式，整体解题步骤简单，逻辑清晰。
【难度系数】
0.85
2. 把一个分数约分，用2约了2次，用3约了1次，得$\frac{2}{5}$，原来这个分数是多少？
答案
分子：$2×2×2×3=24$
分母：$5×2×2×3=60$
答：原来这个分数是$\frac{24}{60}$。
分母：$5×2×2×3=60$
答：原来这个分数是$\frac{24}{60}$。
解析
【分析】约分的本质是分数的分子和分母同时除以相同的非0数，分数的大小不变。已知最终约分结果和每一步约去的数，我们可以用逆推法还原原分数：把约分过程中分子、分母除以的数，依次乘回现在的分子和分母上即可。本题中用2约了2次，说明分子分母都除以了2两次，逆推要乘2两次；用3约了1次，说明除以了3一次，逆推要乘3一次。
【解析】
计算原来的分子：约分后分子为2，还原时依次乘2两次、乘3一次，即 $2×2×2×3=24$
计算原来的分母：约分后分母为5，还原时依次乘2两次、乘3一次，即 $5×2×2×3=60$
因此原来的分数是$\frac{24}{60}$。
【答案】
$\frac{24}{60}$
【知识点】
分数的基本性质；约分；逆推策略
【点评】
本题是约分的基础应用题型，核心考察对约分本质的理解，只要熟练掌握分数的基本性质，学会用逆推思路还原计算，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
【解析】
计算原来的分子：约分后分子为2，还原时依次乘2两次、乘3一次，即 $2×2×2×3=24$
计算原来的分母：约分后分母为5，还原时依次乘2两次、乘3一次，即 $5×2×2×3=60$
因此原来的分数是$\frac{24}{60}$。
【答案】
$\frac{24}{60}$
【知识点】
分数的基本性质；约分；逆推策略
【点评】
本题是约分的基础应用题型，核心考察对约分本质的理解，只要熟练掌握分数的基本性质，学会用逆推思路还原计算，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
3. 爷爷家种的小麦地的面积是$\frac{9}{10}$公顷，棉花地的面积是0.6公顷，哪块地的面积大一些？
答案
$\frac{9}{10}=0.9$
$0.9＞0.6$
答：小麦地的面积大一些。
$0.9＞0.6$
答：小麦地的面积大一些。
解析
【分析】
要比较两块地的面积大小，两块地面积的单位相同，只需比较数值$\frac{9}{10}$和0.6的大小即可。由于两个数一个是分数、一个是小数，无法直接比较大小，因此需要先将它们转化为相同形式的数，这里将分母为10的分数化为小数更简便，转化后再比较两个小数的大小就能得出结论。
【解析】
先把分数$\frac{9}{10}$转化为小数：$\frac{9}{10}=0.9$
再比较两个小数的大小：0.9和0.6的整数部分相同，比较十分位可得9＞6，所以$0.9＞0.6$，即小麦地的面积更大。
【答案】
小麦地的面积大一些。
【知识点】
分数与小数的互化、小数大小比较
【点评】
本题属于基础的实际应用类比较题，核心是掌握不同形式数的大小比较方法，先统一数的形式再比较，是对基础知识的直接考察。
【难度系数】
0.8
要比较两块地的面积大小，两块地面积的单位相同，只需比较数值$\frac{9}{10}$和0.6的大小即可。由于两个数一个是分数、一个是小数，无法直接比较大小，因此需要先将它们转化为相同形式的数，这里将分母为10的分数化为小数更简便，转化后再比较两个小数的大小就能得出结论。
【解析】
先把分数$\frac{9}{10}$转化为小数：$\frac{9}{10}=0.9$
再比较两个小数的大小：0.9和0.6的整数部分相同，比较十分位可得9＞6，所以$0.9＞0.6$，即小麦地的面积更大。
【答案】
小麦地的面积大一些。
【知识点】
分数与小数的互化、小数大小比较
【点评】
本题属于基础的实际应用类比较题，核心是掌握不同形式数的大小比较方法，先统一数的形式再比较，是对基础知识的直接考察。
【难度系数】
0.8
