9. 一题多解 已知方程$x^2 -6x + q = 0$配方后是$(x-p)^2 = 16$，则方程$x^2 +6x + q = 0$配方后是（）

A.$(x-p)^2 = 14$
B.$(x+p)^2 = 14$
C.$(x-p)^2 = 18$
D.$(x+p)^2 = 16$

通解 $\because$ 方程$x^2 -6x + q = 0$配方后是$(x - p)^2 = 16$,
$\therefore x^2 - 2px + p^2 = 16$,$\therefore - 2p = - 6$,$\therefore p = 3$,即$(x - 3)^2 = 16$,
$\therefore x^2 - 6x + 9 = 16$,$\therefore q = - 7$,$\therefore$ 将$x^2 + 6x - 7 = 0$配方得$(x + 3)^2 = 16$,$\therefore (x + p)^2 = 16$.
另解 将$x^2 -6x + q = 0$配方,得$x^2 - 6x + 9 = - q + 9$,即$(x - 3)^2 = - q + 9$. $\because$ 方程$x^2 -6x + q = 0$配方后是$(x - p)^2 = 16$,$\therefore p = 3$,$- q + 9 = 16$,$\therefore q = - 7$,$\therefore x^2 + 6x + q = 0$为$x^2 + 6x - 7 = 0$. 配方,得$x^2 + 6x + 9 = 7 + 9$,即$(x + 3)^2 = 16$,$\therefore$ 方程$x^2 + 6x + q = 0$配方后是$(x + p)^2 = 16$.

10. [2025 泰州姜堰区二模] 若代数式 $ P = 2a^2 - 2a + 3, Q = a^2 + 1 $，则 $ P $ 和 $ Q $ 的大小关系是()

A.$ P ＞ Q $
B.$ P = Q $
C.$ P ＜ Q $
D.无法确定

$\because P = 2a^2 - 2a + 3$,$Q = a^2 + 1$,$\therefore P - Q = (2a^2 - 2a + 3) - (a^2 + 1) = a^2 - 2a + 2 = (a - 1)^2 + 1 ≥ 1$,$\therefore$ 对于任意实数$a$,均有$P - Q ＞ 0$,即$P ＞ Q$.

11. [2025 盐城建湖期中] 若方程 $x^2 - 4100625 = 0$ 的两根为 $x_1 = 2025, x_2 = -2025$，则方程 $x^2 + 2x - 4100624 = 0$ 的两根为。

$\because$ 方程$x^2 - 4\ 100\ 625 = 0$的两根为$x_1 = 2\ 025$,$x_2 = - 2\ 025$,$\therefore 2\ 025^2 = 4\ 100\ 625$. 将$x^2 + 2x - 4\ 100\ 624 = 0$配方,得$x^2 + 2x + 1 = 4\ 100\ 625$,即$(x + 1)^2 = 2\ 025^2$,$\therefore x + 1 = 2\ 025$或$x + 1 = - 2\ 025$,$\therefore x_1 = 2\ 024$,$x_2 = - 2\ 026$.

12. 解下列方程:
(1)$x(x - 2) - 1 = 2x$;
(2)$x(x - 2\sqrt{2}) + 1 = 2x^2 - 3$.

(1)整理,得$x^2 - 4x - 1 = 0$,
移项,得$x^2 - 4x = 1$,
配方,得$x^2 - 2 · x · 2 + 2^2 = 1 + 2^2$,
即$(x - 2)^2 = 5$.
解这个方程,得$x - 2 = \pm \sqrt{5}$,
所以$x_1 = \sqrt{5} + 2$ ,$x_2 = - \sqrt{5} + 2$.
(2)原方程可化为$x^2 + 2\sqrt{2}x = 4$,
配方,得$x^2 + 2 · x · \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = 4 + (\sqrt{2})^2$,
$(x + \sqrt{2})^2 = 6$.
解这个方程,得$x + \sqrt{2} = \pm \sqrt{6}$,
所以$x_1 = - \sqrt{2} + \sqrt{6}$,$x_2 = - \sqrt{2} - \sqrt{6}$.

13. [2025泰州靖江靖城中学等八校联盟月考节选] 如图，在矩形ABCD中，AB=a(a＜2)，BC=2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD于点E，交BD于点F.请指出图中哪条线段的长度是方程$x^2 + 2ax = 4$的一个根，并说明理由.

$BF$的长为方程$x^2 + 2ax = 4$的一个根. 理由如下:
$\because$ 矩形$ABCD$中,$AB = a(a ＜ 2)$,$BC = 2$,
$\therefore AD = BC = 2$,$CD = AB = a$,$∠ A = 90°$,
$\therefore BD = \sqrt{a^2 + 2^2} = \sqrt{a^2 + 4}$.
由作图,知$DF = DC = a$,$\therefore BF = BD - DF = \sqrt{a^2 + 4} - a$.
将$x^2 + 2ax = 4$配方,得$x^2 + 2ax + a^2 = a^2 + 4$,
即$(x + a)^2 = a^2 + 4$,$\therefore x + a = \pm \sqrt{a^2 + 4}$,
$\therefore x_1 = \sqrt{a^2 + 4} - a$,$x_2 = - \sqrt{a^2 + 4} - a$,
$\therefore BF$的长为方程$x^2 + 2ax = 4$的一个根.

14. 应用意识 [2026 徐州树人初级中学月考]
配方法是数学中重要的一种方法.
它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数式的变形中,并结合非负数的性质来解决一些问题.
比如 $x^2 + 4x +5 = x^2 +4x +4 +1 = (x+2)^2 +1$.
$\because (x+2)^2 ≥ 0, \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $(x+2)^2$ 的值最小,最小值是 $0, \therefore (x+2)^2 +1 ≥ 1$,
$\therefore$ 当 $(x+2)^2 =0$ 时,即 $x=-2$ 时, $(x+2)^2 +1$ 的值最小,最小值是 $1$,即 $x^2 +4x +5$ 的最小值是 $1$.
(1) 求 $x^2 -8x +10$ 的最小值;
(2) 已知 $x^2 + y^2 -2x +4y +5 =0$, 则 $x + y =$ ;
(3) 已知有理数 $x,y$ 满足 $-x^2 +5x + y -10 =0$, 求 $y -x$ 的最小值.

(1)$x^2 - 8x + 10 = (x - 4)^2 - 6$,
$\therefore$ 当$x = 4$时,$(x - 4)^2$的值最小,最小值是$0$,
$\therefore (x - 4)^2 - 6 ≥ - 6$,
即$x^2 - 8x + 10$的最小值为$-6$.
(2)$-1$
由题意,知$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 0$,$\therefore (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 0$. $\because (x - 1)^2 ≥ 0$,$(y + 2)^2 ≥ 0$,$\therefore (x - 1)^2 = 0$,$(y + 2)^2 = 0$,
$\therefore x - 1 = 0$,$y + 2 = 0$,$\therefore x = 1$,$y = - 2$,$\therefore x + y = 1 - 2 = - 1$.
(3)由题意,知$y = x^2 - 5x + 10$,
$\therefore y - x = x^2 - 5x + 10 - x = x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + 1$.
$\because (x - 3)^2 ≥ 0$,
$\therefore$ 当$x = 3$时,$(x - 3)^2$的值最小,最小值是$0$,
$\therefore (x - 3)^2 + 1 ≥ 1$,
即$y - x$的最小值为$1$.